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editorial
SOLUCIÓN DÉBIL DE UN PROBLEMA ELÍPTICO
POR EL MÉTODO DE GALERKIN
Juan Luis Pillaca Meneses
Adrián Allaucca Paucar
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Víctor Alcides Coaquira Cárdenas
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SOLUCIÓN DÉBIL DE UN PROBLEMA ELÍPTICO
POR EL MÉTODO DE GALERKIN
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SOLUCIÓN DÉBIL DE UN PROBLEMA ELÍPTICO
POR EL MÉTODO DE GALERKIN
Juan Luis Pillaca Meneses
Adrián Allaucca Paucar
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Víctor Alcides Coaquira Cárdenas
Juan Luis Pillaca Meneses
Adrián Allaucca Paucar
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Víctor Alcides Coaquira Cárdenas
SOLUCIÓN DÉBIL DE UN PROBLEMA ELÍPTICO
POR EL MÉTODO DE GALERKIN
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Título:
SOLUCIÓN DÉBIL DE UN PROBLEMA ELÍPTICO
POR EL MÉTODO DE GALERKIN
Primera Edición: Julio 2022
ISBN:
Obra revisada previamente por la modalidad doble par ciego, en caso de
requerir información sobre el proceso comunicarse al correo electrónico
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El trabajo publicado expresa exclusivamente la opinión de los autores, de
manera que no compromete el pensamiento ni la responsabilidad del Savez
editorial
978-9942-600-40-0
Índice general
Dedicatoria I
Agradecimientos II
Índice General III
Resumen V
Abstract VI
Introducción VII
Notación IX
1 Marco Teórico 2
1.1 Antecedentes ................................... 2
1.1.1 Internacionales .............................. 2
1.1.2 Nacionales ................................ 2
1.2 Preliminares .................................... 2
1.2.1 Espacios Métricos ............................ 3
1.2.2 Espacios Normados ............................ 4
1.2.3 Espacios de Banach ............................ 5
1.2.4 Espacios de Hilbert ............................ 7
1.2.5 Topología Débil ............................. 9
1.2.6 Espacios Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.7 Espacios Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.8 Isomorfismos e Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.9 Medición de Lebesgue en R
n
y Funciones Medibles . . . . . . . . . . 12
1.2.10 La Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.11 Espacio L
p
(⌦) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.12 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.13 Derivada de una Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.14 Espacios de Sóbolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.15 Inmersiones de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.16 El Espacio W
m,p
0
(⌦) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Conceptos de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Aplicación de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Regularidad de la Solución Débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III
1.3.4 Teorema de Brower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.5 Teorema del Ángulo Agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.6 Desigualdad de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.7 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.8 Los Espacios H
m
0
,H
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.9 Desigualdad de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.10 Desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.11 Teorema de la Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.12 Representación de Riez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Metodología 36
2.1 Tipo de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Diseño de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Nivel de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Enfoque de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Método de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Resultados y Discusiones 38
3.1 Existencia de Solución para ⌦ Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Conclusiones 60
Referencias 61
A Anexo 63
Índice de figuras
3.1 Gráfica 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV
Resumen
En la presente investigación titulada Solución Débil de un Problema Elíptico por el
Método de Galerkin, se analizará un sistema elíptico en dominios acotados con la condición
de Dirichlet. Se muestra la existencia de soluciones débiles utilizando el método de Galerkin.
El objetivo principal es demostrar la existencia de la solución débil y la importancia de
conocer numerosas aplicaciones con sus propiedades en distintas áreas de la matemática que
se verá a lo largo de este trabajo.
Para abordar nuestro estudio se considerará la función Caratheodory, el teorema del ángulo
agudo, la definición de la solución débil, la desigualdad de Hólder, la desigualdad de Poincaré
y el teorema de Green.
La presente investigación posee valor teórico y utilidad práctica para estudiar las ecuaciones
diferenciales parciales, donde el trabajo de investigación se aborda desde la perspectiva de tipo
explicativo y usa el método inductivo - deductivo.
Para ello es fundamental conocer los conceptos básicos del análisis funcional: espacios
de Banach, espacios de Hilbert, teoría de distribuciones, espacios de Sobolev y teoremas
importantes para encontrar el problema de tipo elíptico con condición de dirichlet.
Palabras Claves
Espacios de Banach, espacios de Hilbert, teoría de Distribución, espacios de Sobolev y método
de Galerkin.
V
Abstract
In the present investigation titled textbf Weak Solution of an Elliptical Problem by
Galerkin’s Method, an elliptical system will be analyzed in bounded domains with the
Dirichlet condition. Weak solutions are shown using Galerkin’s method.
The main objective is to demonstrate the existence of the weak solution and the importance
of knowing numerous applications with its properties in different areas of mathematics that
will be seen throughout this work.
To address our study, we will consider the Caratheodory function, the acute angle theorem,
the definition of the weak solution, the Holder-Poincaré inequality and Green’s theorem.
This research has theoretical value and practical utility to study partial differential
equations, where the research work is approached from an explanatory perspective and uses
the inductive-deductive method.
For this, it is essential to know the basic concepts of functional analysis: Banach spaces,
Hilbert spaces, distribution theory, Sobolev spaces and important theorems to find the elliptical
type problem with dirichlet condition.
Keywords
Banach spaces, Hilbert spaces, Distribution theory, Sobolev spaces and Galerkin’s method.
VI
Introducción
Históricamente el Análisis Funcional abstracto se desarrolló para responder a las cuestiones
planteadas para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, en ella se muestra como
los teoremas de existencia abstracta permite resolver este tipo de problemas. (Brezis, 1984)
Hay varios artículos que se pueden encontrar en revistas científicas donde la información
que nos dan es muy relevante con respecto a los problemas elípticos no locales, como son los
modelos matemáticos que nos permiten estudiar y analizar diversas situaciones del mundo
real, así como también el impulso que dan a las carreras de ciencias física matemáticas en la
búsqueda e implementación de nuevas metodologías para su resolución.
La búsqueda de aquellas soluciones ha incentivado de manera notable la investigación en
las matemáticas como por ejemplo, el cálculo de variaciones, la series de Fourier, los espacios
generalizados de Lebesgue que están designados por L
p
(⌦) y los espacios generalizados de
Lebesgue - Sobolev que se designan por W
m,p
(⌦) (Kreyszig, 1984)
Con el transcurrir de los años, las investigaciones cambiarían debido a que se han
encontrado ecuaciones que no tienen solución clásica y para resolver estas dificultades se logró
desarrollar lo que se conoce como soluciones débiles.
Para el nuevo concepto de soluciones débiles se utilizó el espacio de Sobolev propuesto por
el matemático Sergei Sobolev. Definimos el espacio de funciones basándonos en el concepto
de derivadas débiles y consta de funciones L
p
(⌦).
El objetivo de está investigación es determinar las condiciones bajo las cuales se garantizará
la existencia de la solución débil de un problema elíptico por el método de Galerkin.
Las principales herramientas para tratar este problema es el espacio de Banach, espacio de
Hilbert, la integral de Lebesgue y espacio de Sobolev.
Para demostrar la existencia se tomará en cuenta algunos métodos como es el método de
Galerkin, regularidad de la solución débil, la función Caratheodory, teorema del ángulo agudo,
teorema de la convergencia, la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Poincaré, que van a
ser de gran ayuda para desarrollar el presente trabajo (Rudin, 1979).
VII
Se considera el problema a estudiar de la forma:
8
<
:
⇣
Z
⌦
f(x, u)dx
⌘
.u =
⇣
f(x, u)
⌘
↵
en ⌦
u =0sobre @⌦
(1)
Donde ↵ y son constantes reales f : ⌦ ⇥ [0, 1 >! [0, 1 > es una función Caratheodory
cuyas propiedades se verán en los siguientes capítulos con ⌦ ⇢ R
n
en un dominio abierto,
acotado y suficientemente regular.
El trabajo está basado en el paper On a class of nonlocal elliptic problems vía Galerkin
method de Francisco Julio S.A. Correa, Daniel C. de Morais Filho, donde se presenta un
estudio detallado del problema a tratar, en la cuál se ha incluido la demostración de algunos
resultados ya que el citado paper no contenia estas demostraciones, como son el teorema del
ángulo agudo, la representación de Riez, entre otros.
Del problema 1 se tiene en la primera línea el problema elíptico no local y en la segunda
línea está la condición de frontera.
El tema de investigación se ha dividido en cuatro capítulos:
En el capítulo uno está el marco teórico, los preliminares y los conceptos de investigación
como son los espacios de Banach, los espacios de Hilbert, la teoría distribucional, espacio de
Sobolev, teorema del ángulo agudo, método de Galerkin y otros.
El capítulo dos corresponde a la metodología: tenemos el tipo de investigación, diseño,
nivel, enfoque y método.
El capítulo tres se realizará el estudio de las condiciones en donde se garantice la existencia
de la solución para ⌦ acotado.
El capítulo cuatro se dará algunas conclusiones y/o recomendaciones del tema de
investigación.
VIII
Notación
Cuerpo K real R o complejo C.
k·k, es la norma en el espacio de Banach.
L(X, Y ) operadores lineales de X en Y .
B(X, Y ) operadores lineales acotados de X en Y .
R()=R(,A) familia de operador lineal acotado.
C([0, 1[; X) espacio de función continua de [0, 1[ en X.
C
1
([0,T]; X) espacio de función continua diferenciable de orden 1.
L
p
(R) espacio de Lebesgue en R de orden p, 0 <p<1.
|·| norma en espacio de Hilbert.
L
2
(0, 1) espacio de Lebesgue de funciones cuadráticamente integrables.
,!: inmersión continua.
c
,!: inmersión continua y compacta.
⌦ ⇢ R
N
abierto, limitado @⌦ de clase C
1
, N 2 N y 1 p<1
⌦ clausura o cerradura ⌦.
|⌦| significa la medida de ⌦
@⌦ frontera del conjunto ⌦.
sop(u) soporte de u.
Dado f : ⌦ ⇢ R
N
! R diferenciable, el gradiente de f, que se denota rf, define el
vector de R
N
así:
rf =
✓
@f
@x
1
, ··· ,
@f
@x
N
◆
IX
Dado F (x)=(f
1
(x), ··· ,f
N
(x)) campo vectorial de clase C
1
, se define la divergencia
de F (x), y se denota así:
divF =
N
X
i=1
@f
@x
i
donde r se define como:
r =
✓
@
@x
1
, ··· ,
@
@x
N
◆
L
p
(⌦) es un espacio de funciones p-integrables.
H
m
(⌦) llamado espacio de Sobolev W
m,2
(⌦).
H
0
1
(⌦) espacio de función en H
1
(⌦) que tiene traza nula.
B
r
(x) bola abierta cuyo centro es x y radio r>0. Si no tiene centro se dice que está en
el origen.
1
CAPÍTULO 1
MARCO TEÓRICO
1.1. Antecedentes
1.1.1. Internacionales
Según Cabada y Correa (2012), Existence of Solutions of a Nonlocal Elliptic System vía
Galerkin Method. En está investigación se estudió el sistema elíptico, con algunas preguntas
relacionadas a la existencia de la solución y se llegó a la conclusión de que el método
de Galerkin es una herramienta importante utilizado para resolver problemas en un sistema
elíptico. (Cabada, 2012)
1.1.2. Nacionales
Según Barahona (2018), Existencia de Soluciones Débiles de un Sistema Elíptico no
local Semilineal, sustentado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, finaliza que
el método de Galerkin tiene muchas aplicaciones para hallar problemas no locales, un caso
especial es ubicar la solución débil de tipo elíptico, el método empleado es aplicable a cierto
tipo de ecuación diferencial parcial y/o ordinaria, que sea diferente a la condición de frontera
(Barahona M., 2018).
1.2. Preliminares
Se comenzará introduciendo los conceptos topológicos que son de mucha importancia y
además temas de análisis funcional, que también son importantes para el desarrollo de este
trabajo. La gran mayoría de los cuales los hemos estudiado en el pregrado. (Rubiano, 2000)
Definición 1.1 Dado X un conjunto diferente del vacío una familia ⌧ de subconjuntos de X se
llamará topología para X y cumple los siguientes axiomas:
A
1
: ,X2 ⌧.
A
2
: Si {A
↵
}
↵2I
⇢ ⌧, donde I es la colección de índices de cardinal arbitrario,
[
↵2I
A
↵
2 ⌧
A
3
: Dado {A
i
}
n
i=1
⇢ ⌧, entonces
n
\
i=1
A
i
2 ⌧ (Bourbaki, 1966).
(X, ⌧) se le llamará espacio topológico, cuyos elementos del grupo ⌧ son conjuntos abiertos.
2
Observación 1.1 Si (X, ⌧) es un espacio topológico, un subconjunto B de X es llamado
cerrado si el complemento B
c
= X \ B es abierto en X, esto es B
c
2 ⌧.
Definición 1.2 Dados dos espacios topológicos (X, ⌧) y (Y,µ) una función f : X ! Y se
dice continua si, y sólo si, f
1
(U) 2 ⌧ para cada U 2 µ (Bourbaki, 1966).
Es posible definir lo que significa que una función f : X ! Y es continua en un punto x
0
2 X,
de está manera:
Definición 1.3 Sea X, Y espacios topológicos. Una función f : X ! Y es continua en un
punto x
0
2 X si para cada vecindad V de f ( x
0
) en Y existe una vecindad U de x
0
en X tal
que f (U) ✓ V .
De está última definición se concluye de manera inmediata que una función f : X ! Y es
continua si, y sólo si, f es continua en x para cada x 2 X.
Definición 1.4 Un espacio vectorial en el cuerpo K está dado por un conjunto no vacío X y
cumple lo siguiente:
+ : X ⇥ X ! X (adición de vectores)
• : K ⇥ X ! X (producto por escalar)
Tales que 8x, y, z 2 X y todo ↵, 2 K se verifica lo siguiente:
1. X se dice grupo abeliano respecto a la adición:
a) x + y = y + x.
b) (x + y)+z = x +(y + z).
c) Existe un único 0 2 X tal que x +0=0+x.
d) Para cada x 2 X, 9x 2 X : x +(x)=0.
2. la multiplicación por escalar verifica:
a) ↵(x)=(↵)x.
b) 1x = x (1 es la unidad en K).
c) (↵ + ) x = ↵x + x.
d) ↵(x + y)=↵x + ↵y.
Definición 1.5 Sea un subconjunto M de un espacio vectorial X, diremos que es un
subespacio vectorial de X si, y sólo si, para cualesquiera x, y 2 M y ↵, 2 K cumple
que: ↵x + y 2 M (Hoffman, 1979).
1.2.1. Espacios Métricos
Definición 1.6 Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario
diferente del vacío y d : X ⇥ X ! R es una métrica, para todo x, y, z 2 X cumple:
1. d(x, y) 0.
2. d(x, y)=0() x = y.
3
3. d(x, y)=d(y, x).
4. d(x, z) d(x, y)+d(y, z)
(Lima, 1976)
Definición 1.7 Una sucesión {x
n
}
x2N
de un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si
l´ım
n,m!1
d(x
n
,x
m
)=0, es equivalente a:
8" > 0, 9N 2 N tal que d(x
n
,x
m
) " 8n, m N
Definición 1.8 (Espacio Métrico Completo). Un espacio métrico X es completo si toda
sucesión de Cauchy en X es convergente a algún elemento de X (Lima, 1976).
1.2.2. Espacios Normados
Definición 1.9 Un espacio vectorial X se dice normado si, y sólo si, existe una función
k·k : X ! R (llamada norma en X) tal que, 8x, y 2 X satisface:
1. kxk0 8x 2 X.
2. Si kxk =0() x =0,x2 X.
3. k↵xk = |↵|kxk donde ↵ 2 K,x 2 X.
4. kx + ykkxk + kyk8x, y 2 X (Desigualdad Triangular) (Brezis, 1984).
(Barahona M., 2018)
Al par (X, k·k) se le denomina espacio vectorial normado.
Si no se cumple la condición (2), se llama seminorma.
Proposición 1.1 Dos normas k.k
1
, k.k
2
son equivalentes si y sólo si 9 C
1
,C
2
> 0 tales que:
C
1
kxk
1
kxk
2
C
2
kxk
1
, 8x 2 X
Observación 1.2 Se mencionará lo siguiente:
1). Todo espacio normado es a su vez un espacio métrico, pues dado el par (X, k·k) se define:
d(x, y)=kx yk
2). Su recíproco de (1) no es válido, es decir no todo espacio métrico es normado.
Teorema 1.1 Para n 2 N, el espacio (K
n
, k.k
p
) es un espacio normado para todo p 2 R y
p>1
4
1.2.3. Espacios de Banach
Definición 1.10 Un espacio normado (X, k.k) se dice que es completo si toda sucesión de
Cauchy es convergente en X (Dieudonné, 1981).
Definición 1.11 Sea X un espacio vectorial normado. Diremos que (X, k.k) es un espacio
de Banach si (X, d) es un espacio métrico completo, donde d es la distancia inducida por la
norma, es decir, d(x, y)=kx yk.(Hoffman, 1979)
Algunos ejemplos de espacios de Banach son:
1. C con la norma usual.
2. R
n
= {(x
1
,x
2
, ··· ,x
n
):x
j
2 R,j=1, 2, ··· ,n} con la norma:
k(x
1
,x
2
, ··· ,x
n
)k =
n
X
j=i
|x
j
|
2
!
1
2
3. R
n
con la norma
k(x
1
,x
2
, ··· ,x
n
)k
1
= max{|x
1
|, |x
2
|, ··· , |x
n
|}
4. El espacio de las sucesiones acotadas sobre el cuerpo K
l
1
(K)={(x
n
)
n2N
2 K
N
: sup
n2N
|x
n
| < 1}
con la norma
kxk
1
=sup
n2N
|x
n
|
5. El espacio c = {(x
n
)
n2N
: x
n
2 R}, l´ı m
n
!1
x
n
existe considerando la norma k.k
6. El espacio c
0
= {(x
n
)
n2R
l´ım
n
!1
=0} con la norma k.k
1
7. El espacio de las funciones continuas
C([a, b]) = {f :[a, b] ! K/f es continua}, con la norma
kfk
1
=sup
x2[a,b]
|f(x)|
Teorema 1.2 Sea p 2 R tal que p>1. El espacio R
n
con la norma:
k(x
1
,x
2
, ··· ,x
n
)k
p
=
n
X
i=1
|x
i
|
p
!
1
p
es un espacio de Banach.
5
Demostración Por el teorema 1.1, k.k
p
es una norma para el espacio, así sólo resta probar que
R
n
es completo. Sean (x
k
)
k2N
, donde x
k
=(x
k1
, ··· ,x
kn
), una sucesión de Cauchy en X y
" > 0 . Existe N 2 N tal que para cualesquiera k, m N, se tiene:
kx
k
x
m
k
p
< "
De esto se deduce:
kx
ki
x
mi
kkx
k
x
m
k
p
< "
para cualesquiera k, m N e 1 i n. Dada la completitud de R, existe y
i
2 R tal que
lim
x
ki
= y
i
para toda 1 i n
Si llamamos y =(y
1
,y
2
, ··· ,y
n
) resulta que lim
k!1
= y.
En efecto
Para cada i =1, ··· ,n, existe N
i
2 N tal que para cada k N
i
, |x
ki
y
i
| < (
"
n
)
1
p
.
Sean N = max{N
1
, ··· ,N
n
} y k N, luego:
kx
k
yk
p
p
=
n
X
i=1
|x
ki
y
i
|
p
<n
"
n
= "
Por lo tanto lim
k!1
x
k
= y ⌅
Definición 1.12 Sean X , Y espacios normados. El operador lineal L : X ! Y es un
operador lineal acotado si hay una constante real positiva M 0 talque:
kL(x)k
Y
Mkxk
X
, 8x 2 X
Sea L : X ! Y un operador lineal acotado, se define la norma de este operador L como:
kLk =sup
x6=0
kLxk
Y
kxk
; kLk =sup
kxk1
kLxk; kLk =sup
kxk=1
kLxk
(Banach, 1987)
Teorema 1.3 Se dice que el operador lineal es acotado si, y sólo si, es continua.
Demostración Ver (Gatica, 2011)
Definición 1.13 Sea X espacio normado, se llamará duplo algebraico de X a:
X
#
= {f : X ! R f es lineal}, se define el duplo o dual topológico de X como
X
⇤
= {f : X ! R si f es lineal y continua} que es el espacio de función lineal y continua.
Idénticamente se define para el espacio bidual X
⇤⇤
como espacio de función lineal y continua
en X
⇤
.
Definición 1.14 (Inmersión) EL espacio normado X se dice que está inmerso en un espacio
normado Y , la notación es: X ,! Y , si: (Medeiros, 2000).
(i) X es subespacio vectorial de Y
6
(ii) El operador identidad I definido sobre X es continua, si:
9C>0:|x|
Y
C|x|
X
, 8x 2 X
Una clase importante de espacios de Banach que permite generalizar propiedades algebraicas
y geométricas del espacio Euclídeo es el espacio de Banach. (Barahona M., 2018)
Definición 1.15 (Inmersión Contínua) Sea V y H dos espacios de Hilbert con V subespacio
de H (V ⇢ H), diremos que V está inmerso continuamente en H y denotamos por V ,! H si
existe C>0 tal que:
|u|
H
Ckuk
V
, 8u 2 V
Sea el ejemplo para un caso:
V = H
1
0
(⌦) y H = L
2
(⌦) ó V = H
1
(⌦) y H = L
2
(⌦)
Definición 1.16 (Inmersión Compacta) Se dice que la inmersión V ,! H es compacta,
denotado V
c
,! H si el operador de inmersión i : V ! H es compacto, esto es cuando
i es continua y cada sucesión acotada en V posee una subsucesión convergente en H
(Brezis, 1984).
1.2.4. Espacios de Hilbert
Un espacio de Hilbert es un espacio pre - Hilbert completo con respecto a la métrica
asociada. Por tanto, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach con la norma inducida
por el producto interno. (Barahona M., 2018)
"La noción de convergencia de sucesiones de números reales nos dá la idea de la
generalización de la convergencia de sucesiones en un espacio lineal normado" (Kesavan,
1989).
Definición 1.17 Una sucesión (f
n
)
n2N
en un espacio normado es convergente a un elemento
f del espacio sí, dado " > 0, existe N 2 N tal que para todo n>Ntenemos kf f
n
k < ". Si
f
n
converge a f se escribe f =l´ımf
n
ó f
n
! f
Definición 1.18 Un espacio normado es llamado completo si toda sucesión de Cauchy en
el espacio es convergente; es decir, si para toda sucesión de Cauchy (f
n
)
n2N
en el espacio
normado, existe f en el espacio tal que f
n
! f .
Definición 1.19 "Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo K (R ó C). Un producto escalar
o producto interno que se define en X es una aplicación h., .i : X ⇥ X ! K" verifica:
1. (Aditiva) hu + v, wi = hu, wi + hv + wi8u, v, w 2 X.
2. (Homogénea) h↵u, vi = ↵hu, vi8u, v 2 X y 8↵ 2 K.
3. (Hermítica) hu, vi = hu, vi8u, v 2 X.
4. (Definida positiva) hu, vi0 y hu, ui =0si, y solo si u =0.(Rodney, 2009)
"Toda aplicación que verifica (1), (2) y (3) se llama forma sesquilineal hermítica"
(Berberian, 1974)
7
Definición 1.20 Un espacio (X, h., .i ) dado de la siguiente forma para el producto escalar se
dice espacio prehilbertiano.
Se define como: kxk =
p
hx, xi
Y por tanto es también una métrica, con la distancia:
d(x, y)=kx yk =
p
hx y, x yi
Corolario 1.1 Todo espacio de Hilbert es reflexivo.
Definición 1.21 Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H dotado de un producto
interno y que es un espacio de Banach con la norma kxk =
p
hx, xi. De aquí todo espacio de
Hilbert es un espacio de Banach.
Teorema 1.4 Sea H el espacio de Hilbert. Entonces H tiene un sistema ortonormal
completamente numerable si y sólo si H es separable.
Teorema 1.5 Sea H un espacio de Hilbert separable. de dimensión infinita, entonces H tiene
una base ortonormal y numerabel y es isométricamente isomorfo a L
2
Ver (Rodney, 2009)
Teorema 1.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea (X,h., .i) un espacio pre-Hilbert sobre el
cuerpo K es:
|hx, yi| kxkkyk
(Gatica, 2011).
Demostración Ver (Gatica, 2011).
Proposición 1.2 Un espacio lineal normado X es completo si, y sólo si, cada serie
absolutamente convergente, es convergente en X (Rosas Cruz, 2005).
Demostración Ver (Rosas Cruz, 2005)
Definición 1.22 Sea X un espacio vectorial sobre R; se llamará espacio dual algebráico de
X, que denotamos por X
⇤
, al R espacio vectorial
X
⇤
= {x
⇤
: X ! R/x
⇤
es lineal y continuo}
(Kolmogorov, 1975).
Para este espacio disponemos de una norma que se puede expresar de diferentes formas, como
son
kxk
⇤
= min{K>0:| x
⇤
(x)| Kkxk8x 2 X}
= sup{|x
⇤
(x)| : x 2 X, kxk1}
para x
⇤
2 X
⇤
La completitud de R nos asegura que X
⇤
es un espacio completo. El espacio de Banach X
⇤
recibe el nombre de espacio dual topológico del espacio normado X, para diferenciarlo del
dual algebráico.
8
Teorema 1.7 (Teorema de Representación de Riesz) Sea X un espacio de Hilbert y un
funcional lineal x
⇤
2 X
⇤
entonces existe un único y 2 X tal que:
x
⇤
(x)=hx, yi, 8x 2 X y en este caso kx
⇤
k
X
⇤
= kyk
X
(Brezis, 1984).
Demostración Ver (Brezis, 1984)
Definición 1.23 (Base Hilbertiana) Sea H un espacio de Hilbert separable, se llama base
Hilbertiana (o base ortonormal) de H a toda sucesión (
n
)
n1
de elementos de H, que
constituye un sistema completo en H y que verifica:
(i) (
n
,
m
)=0, 8m 6= n
(ii) El espacio vectorial generado por (
n
)
n1
es denso en H.
(Brezis, 1984)
1.2.5. Topología Débil
Definición 1.24 Para cada f 2 X
⇤
, consideremos el funcional lineal
f
: X ! R definido
por
x 7!
f
(x):=hf, xi
y consideremos la familia {
f
}
f2X
⇤
. Llamamos topología débil (X, X
⇤
) sobre X a la
topología menos fina definida sobre X que hace continuas a todas las aplicaciones
f
(Brezis, 1984)
Teorema 1.8 Sea (x
n
) una sucesión de elementos en X. Entonces:
i) x
n
! x débilmente en (X, X
⇤
) si y solo si:
hf,x
n
i!hf, xi8f 2 X
⇤
ii) Si x
n
! x fuertemente, entonces:
x
n
! x debilmente en (X, X
⇤
)
iii) Si x
n
! x débilmente en (X.X
⇤
), entonces la sucesión {kx
n
k
X
} es acotada y verifica
que:
kxk
X
liminfkx
n
k
X
iv) Si x
n
! x débilmente en (X, X
⇤
) y si f
n
! f fuertemente en X
⇤
(es decir, kf
n
fk
X
⇤
! 0) , entonces:
hf
n
,x
n
i!hf, xi
(Brezis, 1984)
Teorema 1.9 (Banach - Alaoglu - Bourbaki) La bola cerrada unitaria
B
X
⇤
= {f 2 X
⇤
: kfk
X
⇤
1i
es compacta en la topología débil (X
⇤
,X)
9
1.2.6. Espacios Reflexivos
Definición 1.25 Se define la inyección canónica topológica J : X ! X
⇤⇤
de la siguiente
forma: para cada x 2 X, el funcional J
x
: X
⇤
! R definido por:
f 7! (J
x
)(f)=hf,xi
es lineal continuo. Es decir, J
x
es un elemento de X
⇤⇤
, verificandose que:
hJ
x
,fi = hf,xi8f 2 X
⇤
(Brezis, 1984)
Observación 1.3 La inyección canónica J es una isometría, es decir:
kJ
x
k
X
⇤⇤
= kxk
X
8x 2 X
y, por consiguiente, también es una aplicación inyectiva.
Definición 1.26 Sea X un espacio normado. Decimos que X es reflexivo si J[X]=X
⇤⇤
; es
decir, J es un isomorfismo isométrico entre los espacios normados X y X
⇤⇤
Teorema 1.10 Si X es un espacio de Banach reflexivo, entonces cada sucesión {x
n
} acotada
en X posee una subsucesión {x
n
k
} que converge en la topología débil (X, X
⇤
).(Brezis, 1984)
Teorema 1.11 Digamos que X, Y son espacios de Banach T : X ! Y isometría suryectiva
entonces X es reflexivo si y sólo si Y es reflexivo.
T es isometría
d(x, y)=d(T (x),T(y))
Observación 1.4 Toda isometría es inyectiva.
Propiedad 1.1 "Sea E espacio de Banach reflexivo, M ✓ E subespacio vectorial cerrado
entonces M dotado de la norma inducida por E es reflexivo"(Brezis, 1984).
Las aplicaciones {'
f
}
f
2 E
0
se denotará como G(E,E
0
)=⌧
w
, la topología débil ( o sea
menos fina que hace continuas a '
f
se genera por las {'
f
}
f
2 E
0
se denota como x
n
! x .
Proposición 1.3
(1) Si x
n
! x si, y sólo si hf, x
n
i!hf, xi8f 2 E
0
.
(2) Si x
n
! x ) (x
n
) es acotada y kxk l´ım
n
!1
kx
n
k.
(3) x
n
! x en G(E,E
0
) y f
n
! f en E
0
)hf
n
,x
n
i!hf, xi.
10
1.2.7. Espacios Separables
Definición 1.27 Se dice que un espacio métrico es separable si existe un subconjunto D ✓ E
tal que es numerable y denso en E (Hernandez, 2018).
Definición 1.28 D es denso en X si, y solo si, para cada x en X y cada r>0 existe un y en
D tal que d(x, y) <r. Es decir:
D = {x
1
,x
2
, ··· , } ✓ E
Ejemplo 1.1 El espacio métrico R es separable porque Q es un subconjunto numerable y
denso.
Mostremos que Q es denso. Dados x en R y r>0, encontremos q en (x r, x + r)
T
Q.
Entonces q 2 Q y d(x, q) <r.
Corolario 1.2 E es espacio de Banach, reflexivo si y sólo si E
0
es reflexivo.
Teorema 1.12 Sea E un espacio de Banach tal que E
0
es separable. Entonces E es separable.
Corolario 1.3 Sea E un espacio de Banach. Entonces E es reflexivo y separable si y sólo si
E
0
es reflexivo y separable.
1.2.8. Isomorfismos e Isometrías
"Sean X e Y espacios normados sobre el cuerpo K. Una aplicación T : X ! Y es un
isomorfismo si T es biyectiva, lineal y continua y su inversa T
1
es continua. En tal caso,
también diremos que X e Y son isomorfos" (Cabello, 2009).
Proposición 1.4 Dados X e Y espacios normados.
1. "La aplicación T 7! kTk, de L(X, Y ) en R definida por:
kT k = sup {kT (x)k : x 2 B
X
}
Es una norma sobre L(X, Y ), conocida como la norma canónica de operadores. La
topología generada por la norma de operadores se conoce como topología uniforme de
operadores" (Cabello, 2009).
2. Se verifica:
kT k = sup
kT (x)k : x 2 B
0
X
= sup {kT (x)k : x 2 S
X
}
= min { 0:kT(x)kkxk, 8x 2 X}
En particular, kT (x)kkT kkxk; 8x 2 X (Cabello, 2009).
3. "La convergencia en la norma canónica de operadores equivale a la convergencia
uniforme en B
X
, o a la convergencia uniforme en cada subconjunto acotado de X"
(Cabello, 2009).
4. "Si Y es un espacio de Banach, entonces el espacio L(X, Y ), con la norma canónica de
operadores, también lo es" (Cabello, 2009).
11
5. "Si Z es otro espacio normado, T 2 L( X, Y ) y S 2 L(Y,Z), entonces la aplicación
ST : X ! Z definida por:
ST (x )=S(T (x)), 8x 2 X
pertenece a L(X, Z) y kST kkSkkT k"(Cabello, 2009).
Notese que si T es un isomorfismo de (X, k.k) en (Y,k.k), entonces en virtud de las
desigualdades anteriores, la aplicación x 7! kxk
1
= kT (x)k, define una nueva norma en X
que es equivalente a la norma inicial k.k. Para probar de que todo isomorfismo entre espacios
normados es una aplicación abierta se requiere de algunos teoremas y que todo espacio
isomorfo a un espacio de Banach es también un espacio de Banach.
Si T es un isomorfismo y mantiene las normas:
kT (x)k = kxk;(x 2 X)
Se dice que T : X ! Y es un isomorfismo isométrico y que X e Y son isométricamente
isomorfos.
El isomorfirmo isométrico es la identificación total entre dos espacios normados. Si T es
un isomorfismo de (X, k.k) en (Y, k.k), y considero de nuevo la norma en X, kxk
1
= kT (x)k,
entonces T es un isomorfismo isométrico de (X, k.k
1
) en (Y, k.k) (Cabello, 2009).
1.2.9. Medición de Lebesgue en R
n
y Funciones Medibles
Definición 1.29
(a) El conjunto M que consta de subconjuntos del conjunto X se llama - álgebra en X si M
tiene las siguientes propiedades:
(i) X 2 M.
(ii) Si A 2 M entonces A
c
2 M.
(iii) Si A =
1
[
n=1
A
n
y si A
n
2 M, n =1, 2,...entonces A 2 M. (Kolmogorov, 1975).
(b) "Si M es un - álgebra en X, entonces se dice que X es un espacio medible y a los
elementos de M se les llama conjuntos medibles en X"(Kolmogorov, 1975).
(c) Se llama medida positiva a una función, definida en - álgebra M con valores en [0, 1i
y que es numerablemente aditiva, es decir que si {A
n
}
n
2 N es una colección numerable
disjunta de elementos de M, entonces
µ
1
[
n=1
A
n
!
=
1
X
n=1
µ(A
n
)
(Barahona M., 2018).
La contribución más importante de Henri Lebesgue (1875 - 1941) a las matemáticas fue la
teoría de integración desarrollado por Lebesgue, en la que extendio el teorema de Riemann a
una clase más extensa de funciones.
12
Teorema 1.13 (Propiedades de medición externa )
(i) m
⇤
()=0
(ii) (Monotonía) Si A ✓ B, m
⇤
(A) m
⇤
(B)
(iii) (Subaditividad) Sea {⌦
n
}
n2N
una familia numerable de conjuntos; entonces
m
⇤
1
[
n=1
⌦
n
!
1
X
n=1
m
⇤
(⌦
n
)
(iv) (Regularidad)
m
⇤
(⌦)=inf{m
⇤
(G):G abierto, ⌦ ✓ G}
(v) (Invariante por traslaciones) Para todo conjunto ⌦ y todo x 2 R
n
,
m
⇤
(x + ⌦)=m
⇤
(⌦)
(De Guzman, 1979).
Demostración Ver (De Guzman, 1979)
Definición 1.30 El conjunto ⌦ se dice Lebesgue medible, que en lo que sigue llamaremos
simplemente medible, si verifica la siguiente propiedad: Para todo E la igualdad se verifica:
m
⇤
(E)=m
⇤
(E \ ⌦)+m
⇤
(E ⌦)
Se denotará por M a la familia de todos los conjuntos de R
n
que son medibles. Se llama
medida de Lebesgue en R
n
a la restricción de la medida exterior m
⇤
a M, es decir:
m : M ! [0; 1]
A ! m(A)=m
⇤
(A)
Ver (Gatica, 2011).
Teorema 1.14 En cada enunciado suponga que A, B 2 M, entonces
1. A
C
2 M
2. A \ B 2 M y por tanto A B 2 M
3. A [ B 2 M y si además A \ B 2 M tiene medida finita,
m(A [ B)=m(A)+m(B) m(A \ B)
Ver (Gatica, 2011).
Demostración Ver (Gatica, 2011)
Definición 1.31 Sean ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Myf: ⌦ ! R . Se dice que f es medible si, para
todo abierto G de R, la imagen inversa f
1
(G)={x 2 ⌦ : f(x) 2 G}, es un conjunto
medible en R
n
.(Barahona M., 2018)
13
Observación 1.5 Se tiene lo siguiente:
1. En primer lugar, ⌦ = f
1
(R) debe ser medible. Sólo tiene sentido hablar de funciones
medibles si están definidas en conjuntos medibles.
2. Son equivqlentes:
(a) Se dice que f es medible.
(b) Para todo conjunto C ✓ R cerrado, f
1
(C) 2 M.
(c) Un conjunto A ✓ R
n
es medible si, y sólo si, la función característica
A
: R
n
! R definida por
A
(x):=
⇢
1 ,x2 A
0 ,x/2 A
es medible.
Teorema 1.15 "Sea ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Myf: ⌦ ! R una función medible y g : f(⌦) ! R
continuas en f(⌦). Entonces (gof) es medible" (Gatica, 2011).
Demostración Ver (Gatica, 2011)
Proposición 1.5 ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Myf,g: ⌦ ! R son funciones medibles.
Entonces:
• Para ↵ 2 R se dice que ↵f es medible.
• f + gyf g son medibles.
• f.g es medible.
• Si g(x) 6=0para todo x 2 ⌦,
f
g
también es medible.
• |f| es medible.
• Si f es medible y g = f en casi todas partes entonces g también es medible, esto es, si existe
un conjunto E ✓ ⌦ con m(E)=0 yf(x)=g(x) para todos x 2 ⌦ E, entonces f es
medible si, y sólo si, g es medible (De Guzman, 1979).
Demostración Ver (De Guzman, 1979)
Recordemos que el soporte de una función f : X ! R que se denotará por Sop(f), es la
clausura del conjunto {x 2 X : f (x) 6=0}. Así el soporte de f viene hacer el complemento
del conjunto abierto más grande donde f se anula" (Barahona M., 2018).
Denotaremos como C
o
(X) al espacio vectorial sobre K de todas las funciones f : X ! K
que tiene soporte compacto. Sea ⌦ un dominio en R
n
. Denotaremos por
C
o
(⌦)=C(⌦) al conjunto de todas las funciones continuas sobre ⌦. Y si k es un número
entero no negativo, hacemos
C
k
(⌦)={uu : ⌦ ! R,D
o
u 2 C
o
(⌦), 0 |↵| k}
C
k
o
(⌦) \ {usop(u) es co mpac to sop(u) ✓ ⌦}
14
C
1
(⌦)=
1
\
m=0
C
m
(⌦)
Sobre C(⌦) se define la norma de convergencia uniforme, como:
kfk
1
=sup
x2⌦
|f(x)|
con la cuál es un espacio de Banach (Barahona M., 2018).
Proposición 1.6 "Sea (f
n
)
n2N
una sucesión creciente en C
o
(⌦), que converge puntualmente a
una función f 2 C
o
(⌦). Entonces (f
n
)
n2N
converge uniformemente a f" (Gatica, 2011).
Demostración Ver (Gatica, 2011)
1.2.10. La Integral de Lebesgue
En la teoría de los espacios funcionales hay problemas con la integral de Riemann,
problemas que no permiten llegar a ciertos teoremas indispensables. Los problemas aparecen
cuando tratamos de hacer interactuar a la integral de Riemann con otras operaciones especiales
como operaciones con límites por ejemplo, el límite de una sucesión de funciones integrables
puede no ser integrable. Es cuando surge la necesidad de ampliar nuestro concepto de integral.
Los problemas de la integral de Riemann pueden solucionarse mediante la generalización
conocida como la integral de Lebesgue.
Definición 1.32 Sean ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Mys: ⌦ ! R una función simple no negativa.
s =
k
X
i=1
a
i
A
i
,A
i
\ A
j
= ,i6= jy
k
[
i=1
A
i
= ⌦
Se definirá la integral de s en ⌦ por
Z
⌦
s =
k
X
i=1
a
i
m(A
i
)
(Kolmogorov, 1975)
Mencionaremos algunos resultados importantes:
1. La integral es no negativa y puede ser infinita:
0
Z
⌦
s 1
2. Geométricamente en R
3
, la integral de s es la adición de los volúmenes de los prismas
de base A
i
y altura a
i
Proposición 1.7 Sean ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Mys
1
; s
2
: ⌦ ! R son funciones simples y no
negativas. Entonces:
1.
R
⌦
(s
1
+ s
2
)=
Z
⌦
s
1
+
Z
⌦
s
2
15
2. 8 ↵ 2 R,
Z
⌦
↵s
1
= ↵
Z
⌦
s
1
3. Si existe E ✓ ⌦ m(E)=0, tal que s
1
(x) s
2
(x) para todo x 2 ⌦ E, entonces
Z
⌦
s
1
Z
⌦
s
2
Demostración Ver (Adams y Fournier, 2003)
Se concluye la sección definiendo la integral de Lebesgue para funciones no negativas.
Definición 1.33 Sean ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 M y f : ⌦ ! R una función medible, con f (x) 0 para
todo x 2 ⌦. Se definine la integral de f en ⌦ así: (Brezis, 1984).
Z
⌦
f =sup
⇢
Z
⌦
s : s funcion simple 0 s f
Definición 1.34 Definimos la parte positiva f
+
y la parte negativa f
de una f así:
f
+
(x)=max{0,f(x)},f
(x)=max{0, f(x)}
Así, f = f
+
f
, donde f
+
yf
son funciones no negativas.
Podemos ahora definir la integral de Lebesgue para una función f arbitraria .
Definición 1.35 Sean ⌦ ✓ R
n
, ⌦ 2 Myf: ⌦ ! R una función medible, se define la
integral de f en ⌦ por:
Z
⌦
f =
Z
⌦
f
+
Z
⌦
f
Se dice que la función u definida en casi todas partes (ctp) en ⌦ se llamada localmente
integrable en ⌦ siempre que u 2 L
1
(U) para cada abierto U b ⌦, se denotará como
u 2 L
1
loc
(⌦)
Observación 1.6 Si las integrales de f
+
y f
son ambas 1 no tiene sentido la expresión
11. Decimos en este caso que la función f no es integrable.
Definición 1.36 (Integral de un Subconjunto). Sea H ✓ ⌦ ✓ R
n
un conjunto medible, se
define la integral de f en H por:
Z
H
f(x)dx =
Z
⌦
fH
Teorema 1.16 (Propiedades Básicas de la Integral). Sean f,g : ⌦ ✓ R
n
! R funciones
medibles. Entonces:
(a) (Lineal) Sea c 2 R,
Z
⌦
c(f + g)(x)dx = c
Z
⌦
f(x)dx + c
Z
⌦
g(x)dx
(b) (Monotoná) Sea f (x) g(x ) para todo x 2 ⌦
Z
⌦
f(x)dx
Z
⌦
g(x)dx
16
(c) |f| es medible y
Z
⌦
f(x)dx
Z
⌦
|f|(x)dx
(d) Si
Z
⌦
|f|(x)dx =0, entonces f =0 en casi t o das partes
(Adams y Fournier, 2003).
Demostración Ver (Adams y Fournier, 2003)
La diferencia que se puede encontrar con la integral de Riemann y Lebesgue. La integral de
Lebesgue utiliza una aproximación por funciones constantes en conjuntos medibles suceptibles
de causar dificultades; a diferencia de las integrales superiores e inferiores donde se utiliza solo
intervalos.
Teorema 1.17 "Sea (f
n
)
n2N
una sucesión creciente de funciones medibles no negativos
(ampliadas), con lo que f(x)= l´ım
n
!1
f
n
(x) es medible y
Z
E
f(x)dx =l´ım
n
!1
Z
E
f
n
(x)dx
para cualquier conjunto medible E ✓ ⌦"(Brezis, 1984).
Teorema 1.18 (Convergencia Monótona - Lema de Fatou) Si (f
n
)
n2N
es una sucesión de
funciones integrables no negativas, entonces
Z
⌦
l´ım i nf
n
!1
f
n
dx l´ım inf
n
!1
Z
⌦
f
n
dx
Demostración Ver (Brezis, 1984)
Teorema 1.19 (Convergencia Dominada de Lebesgue) Sea (f
n
)
n2N
una sucesión de funciones
integrables. Supongamos que:
(i) f
n
(x) ! f(x) c.t.p en ⌦
(ii) Existe una función g 2 L
1
(⌦) tal que para todo n si |f(x)| g(x) c.t.p. en ⌦
entonces,
l´ım
n
!1
Z
⌦
f
n
(x)dx =
Z
⌦
f(x)dx
Ver (Adams y Fournier, 2003).
Demostración Ver (Adams y Fournier, 2003)
1.2.11. Espacio L
p
(⌦)
Sea ⌦ un subconjunto abierto en R
n
no vacío y 1 p<1. Denotamos por L
p
(⌦) a la
clase de funciones medibles u definidas en ⌦ para lo cual
Z
⌦
|u(x)|
p
dx < 1
17
Y su norma de L
p
(⌦) por:
kuk
L
p
(⌦)
=
Z
⌦
|u(x)|
p
dx
1
p
Sea el caso p = 1 se definirá:
L
1
(⌦)={u : ⌦ ! R; u medible y |u(x)| M casi siempre en ⌦}
es una norma en L
1
(⌦). Así se tiene la siguiente proposición:
Proposición 1.8 L
p
(⌦) es un espacio de Banach para todo 1 p<1
Demostración Ver (Ambrosetti y Cerami, 1994)
1.2.12. Distribuciones
En el resto del trabajo reservamos el símbolo ⌦ para denotar un conjunto abierto Euclidiano
R
n
y para designar un conjunto vacío.
Un punto de R
n
se denotará por x =(x
1
,x
2
,...,x
n
), donde x
i
2 R, para cada 1 i n.
Definición 1.37 A la n-upla ↵ =(↵
1
, ↵
2
,...,↵
n
) la llamaremos multi-índices si ↵ es la n-upla
de números enteros no negativos. Además, denotaremos por X
↵
el monomio (x
↵
1
1
,...,x
↵
n
n
) de
grado |↵| =
n
X
j=1
↵
j
, la suma de dos multi-índices, ↵, es:
↵ + =(↵
1
+
1
, ↵
2
+
2
,...,↵
n
+
n
)
Decimos que ↵ si
j
↵
j
para todo j =1, 2,...,n. Para denotar la derivada parcial
haremos
D
↵
=
@
↵
1
@x
↵
1
1
.
@
↵
2
@x
↵
2
2
···
@
↵
n
@x
↵
n
n
= D
↵
1
1
.D
↵
2
2
···D
↵
n
n
conviniendo que D
(0,0,··· ,0)
=
Por otra parte, el gradiente de una función de valores reales será denotado por:
D(x):=(D
1
(x),D
2
(x), ··· ,D
n
(c))
Definición 1.38 Sea ⌦ un abierto de R
n
yu: ⌦ ! R una función dada. El
soporte de u es el conjunto que se define de la siguiente manera:
sop(u)={x 2 ⌦/u(x) 6=0}
Proposición 1.9 Sea ⌦ ✓ R
n
un abierto, f : ⌦ ! R, se considera {w
i
}
i1
,w
i
✓ ⌦ es un
abierto para cada i tal que f ⌘ 0 c.s. en w
i
Se define: w =
[
i2I
w
i
Entonces f ⌘ 0 c.s. en w.
Sean u, v : ⌦ ! K funciones con 2 K {0}
Entonces:
18
(a) sop(u + v) ✓ sop(u) [ sop(v)
(b) sop(uv) ✓ sop(u) \ sop(v)
(c) sop(u)=sop(u)
Así mismo se define:
C
1
0
= {u : ⌦ 2 R/u 2 C
1
(⌦) con sop(u) compacto ✓ ⌦}
Los elementos de C
1
0
se denominan funciones de prueba.
Proposición 1.10 El espacio D(⌦), es denso en L
p
(⌦), 81 p<1 es decir
D(⌦)=L
p
(⌦), para todo 1 p<1
Sea ⌦ un dominio en R
n
, una sucesión {
j
}
j2N
de funciones en C
1
0
(⌦) es llamada convergente
en el sentido del espacio D(⌦) a la función 2 C
1
0
(⌦) si cumple las siguientes propiedades:
(I) Existe K b ⌦ tal que Sop(
j
) ⇢ K para cada j.
(II) l´ım
j
!1
D
↵
j
(x) uniformemente en K para cada multi-índice en ↵.
El espacio dual D
0
(⌦) de D(⌦) es llamado espacio de Schwartz. Los elementos de este
espacio son llamados distribuciones. Este espacio es dotado con la topología débil estrella, así
que una sucesión {T
n
}
n2N
converge a T 2 D
0
(⌦) si T
n
() ! T () para todo 2 D(⌦). En
este caso se dice que {T
n
}
n2N
es convergente a T en el sentido distribucional.
Para S, T 2 D
0
(⌦) yc2 R, entonces se define las siguientes operaciones:
• (S + T )()=S()+T () para cada 2 D(⌦)
• (cT )()=cT (), para cada 2 D(⌦)
Ejemplo Para cada u 2 L
1
loc
(⌦). El funcional
T
u
():=
Z
⌦
u(x) (x) dx, 2 D(⌦)
será distribución.
Sean
1
,
2
2 D(⌦) y 2 C
T
u
(
1
+
2
)=
Z
⌦
u(x)(
1
+
2
)(x) dx
=
Z
⌦
u(x)(
1
(x)+
2
(x)) dx
=
Z
⌦
u(x)
1
(x) dx +
Z
⌦
u(x)
2
(x) dx
= T
u
(
1
)+T
u
(
2
)
En consecuencia se comprueba que T
u
es lineal.
19
1.2.13. Derivada de una Distribución
Definición 1.39 Sea ⌦ ✓ R
n
un conjunto abierto y T 2 D
0
(⌦) una distribución. Dado un
multi-índice ↵ definimos la ↵-ésima derivada de T como:
(D
↵
T ()=(1)
|↵|
T (D
↵
), 8 2 D(⌦)
(Brezis, 1984)
Proposición 1.11 D
↵
T es una distribución, 8 T 2 D
0
(⌦)
Demostración:
Sea
1
,
2
2 D(⌦) y 2 C.
D
↵
T (
1
+
2
)=(1)
|↵|
T (D
↵
(
1
+
2
))
=(1)
|↵|
T (D
↵
1
+ D
↵
2
)
=(1)
|↵|
[T (D
↵
1
)+T (D
↵
2
)]
=(1)
|↵|
T (D
↵
1
)+(1)
|↵|
T (D
↵
2
)
= D
↵
T (
1
)+D
↵
T (
2
)
(Brezis, 1984)
Una vez verificado la linealidad, se procederá a comprobar la continuidad, para ello se
considerá {
j
}
j2N
una sucesión en D(⌦) tal que
j
! en el sentido D(⌦).
Entonces (
j
) 2 D ( ⌦)
D
↵
(
j
) 2 D(⌦) y existe K b ⌦ tal que Sop(
j
) ⇢ K para todo j y luego demostrar
D
↵
T (
j
) ! D
↵
T ().
Definición 1.40 Sea ⌦ ✓ R
n
un conjunto abierto, u 2 L
1
loc
(⌦) y ↵ un multi-índice. Si existe
una función v
↵
2 L
1
loc
de tal manera que:
T
v
↵
()=D
↵
T
u
() 8 2 D(⌦)
entonces v
↵
es llamada la ↵-ésima distribucional o débil de T
u
.
Ejemplo
1) Si 0 2 ⌦ y 2 D
0
(⌦) es la distribución de Dirac entonces, D
↵
viene dada por:
D
↵
()=(1)
|↵|
D
↵
(0)
2) Si ⌦ = R yH2 L
1
loc
(⌦) es una función escalonada definida por:
H(x)=
⇢
1, para x 0
0, para x < 0
20
Sea 2 D(R) con soporte compacto en [a; a] entonces :
(TH)
0
=(1)
|1|
TH( )
0
= TH()
0
=
Z
R
H(x)
0
(x) dx
=
Z
a
a
H(x)
0
(x) dx
=
Z
0
a
H(x)
0
(x) dx
Z
a
0
H(x)
0
(x) dx
=
Z
a
0
H(x)
0
(x) dx
=
Z
a
0
0
(x) dx
= (x)
a
0
= ((a) (0))
= (0) = ( )
Por lo tanto (TH)
0
es la distribución de Dirac por lo cuál (TH)
0
es una distribución
(Barahona M., 2018).
1.2.14. Espacios de Sóbolev
Estos espacios fueron descubiertos por el matemático Serguéi Sóbolev en 1930, tiene
una gran influencia sobre el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, el análisis, la física,
geometría diferencial y otras ramas de la matemática.
Toda función u 2 L
p
(⌦) posee derivadas distribucionales de todos los órdenes, donde
las derivadas de u no siempre pertenecen al espacio L
p
(⌦), eso llevó a Serguéi Sobolev en
1936, a idealizar una nueva clase de espacios vectoriales llamados Espacios de Sobolev.A
continuación introducimos los espacios de Sóbolev de orden entero y establecemos algunas de
sus más importantes propiedades (Manuel, 2000).
Definición 1.41 Sean ⌦ ✓ R
n
un conjunto abierto y 1 p 1. Si m es un entero no
negativo, u 2 L
p
(⌦) y existe la derivada distribucional D
↵
u para cualquier ↵ con
0 |↵| m, tal que:
D
↵
u 2 L
p
(⌦), 8 |↵| m
Entonces se dice que u 2 W
m,p
(⌦).
W
m,p
(⌦) es llamado Espacio de Sóbolev sobre ⌦
En este espacio se define el funcional
kuk
m,p
=
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
uk
p
p
1
A
1
p
, si 1 p<1
21
que es una norma.
En efecto:
Es evidente que kuk
m,p
0, además si ku k
m,p
=0implica que
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
uk
p
p
1
A
1
p
=0,y
en consecuencia kD
↵
uk
p
p
=0, para todo 0 |↵| m. Un caso particular para ↵ =0se tiene:
kD
↵
uk
p
p
= kD
0
uk
p
p
= kuk
p
p
=0
de donde se obtiene u =0.
La homogeneidad del funcional se verifica, dado que la derivada y la norma satisfacen dicha
propiedad:
kuk
m,p
=
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
(u)k
p
p
1
A
1
p
=
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
uk
p
p
1
A
1
p
=
0
@
X
0
|↵|m
||
p
kD
↵
uk
p
p
1
A
1
p
= | |
0
@
X
0
|↵|m
kDk
↵
u
p
p
1
A
1
p
= | | kuk
m,p
y para finalizar, la desigualdad de Holder, nos garantiza que el funcional satisface la desigualdad
triángular:
ku + vk
m,p
=
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
(u + v)k
p
p
1
A
1
p
=
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
u + D
↵
vk
p
p
1
A
1
p
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
uk
p
p
1
A
1
p
+
0
@
X
0
|↵|m
kD
↵
vk
p
p
1
A
1
p
= kuk
m,p
+ kvk
m,p
22
Teorema 1.20 Sean ⌦ ✓ R
n
un conjunto abierto no vacío, k 1 un entero y
p 2 [1, 1).
Se tiene:
(a) W
k,p
(⌦) es un espacio reflexivo si p 2 (1, 1).
(b) W
k,p
(⌦) es un espacio separable si p 2 [1, 1).
Demostración Ver (Adams y Fournier, 2003)
Observación Los espacios que se menciona W
k,1
(⌦) yW
k,1
(⌦) no son reflexivos.
Definición 1.42 Sea k 1 un entero y p 2 [1, 1). Definimos W
k,p
0
(⌦) como la clausura de
D(⌦) en W
k,p
(⌦), es decir:
W
k,p
0
(⌦) ⌘ D(⌦)
k.k
m,p
Cuando p =2, se denota como H
k
0
(⌦) ⌘ W
k,2
0
(⌦).
Observación
1. Observe que u 2 W
k,p
0
(⌦) si, y sólo si, existe una sucesión {'
v
}
v2N
✓ D(⌦) tal que
'
v
! u en W
k,p
(⌦), esto es, existe ('
v
)
v2N
, tal que D
↵
'
v
! D
↵
u en L
p
(⌦), para todo
0 |↵| k.
2. Utilizando la convolución con una sucesión regularizante, podemos comprobar que
C
k
0
(⌦) ✓ W
k,p
0
(⌦) para todo k 1,p2 [1, 1).
Se mencionará algunas propiedades:
a) El espacio de Sobolev W
o,p
(⌦)=L
p
(⌦).
b) W
m,p
(⌦) ,! W
k,p
(⌦), si m k.
c) C
m
(⌦) ,! W
m,p
(⌦).
d) C
1
⌦ \ W
m,p
(⌦) es denso en W
m,p
(⌦).
Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que
se anulan sobre la frontera.
W
m,p
0
(⌦)=W
m,p
(⌦) \ C
1
0
(⌦) ' C
1
0
(⌦)
W
m,p
(⌦)
Nota:
Cuando m =1,p =2, se tiene: W
1,2
(⌦)=H
1
(⌦)
W
1,2
(⌦)={u 2 L
2
(⌦),D
↵
u 2 L
2
(⌦); 8|↵| m}
Observación 1.7 Sea ⌦ un abierto acotado en R
n
, de forma análoga el caso de W
m,p
0
(⌦) se
define
H
m
0
(⌦)=H
m
(⌦) \ C
1
0
^ W
m,p
0
(⌦)=D(⌦)
W
m,p
(⌦)
= D(⌦)
k.k
H
m
Para p =2, se tiene:
W
m,2
0
(⌦)=H
m
0
(⌦)
H
1
0
(⌦)={u 2 H
1
(⌦)/u(0) = u(1) = 0}
donde:
H
1
(⌦)={u 2 L
2
(⌦),D
↵
u 2 L
2
(⌦); 8|↵| m}
23
1.2.15. Inmersiones de Sobolev
Teorema 1.21 (Teorema de Sobolev) Sean m 1 y 1 p<1. Entonces:
1. Si
1
p
m
N
> 0 entonces W
m,p
(⌦) ⇢ L
p
(⌦);
1
q
=
1
p
m
N
2. Si
1
p
m
N
=0entonces W
m,p
(⌦) ⇢ L
p
(⌦); q 2 [p, 1)
3. Si
1
p
m
N
< 0 entonces W
m,p
⇢ L
1
(⌦)
siendo continua las anteriores inmersiones.
Observación 1.8 Las siguientes observaciones son de importancia para las inmersiones de
Sobolev.
1. (W
m,p
(⌦), k.k
p
) es un espacio de Banach.
2. Si p =2el espacio de Sobolev W
m,p
(⌦) se convierte en un espacio de Hilbert con
producto interno dado por:
hu, vi =
X
|↵|m
hD
↵
u, D
↵
vi
L
2
(⌦)
; u, v 2 W
m,2
(⌦)
3. Se denota W
m,2
(⌦) por H
m
(⌦)
1.2.16. El Espacio W
m,p
0
(⌦)
Definición 1.43 Definimos al espacio W
m,p
0
(⌦) como la clausura de C
1
0
(⌦) en W
m,p
(⌦) esto
es:
W
m,p
0
(⌦)=C
1
0
(⌦)
Observación 1.9 Se mencionará algunas observaciones importantes:
1. Cuando p =2, se escribe H
m
0
(⌦) en vez de W
m,p
0
(⌦)
2. Si W
m,p
0
(⌦)=W
m,p
(⌦) entonces la medida de R
N
(⌦) se anula.
3. W
m,p
0
(R
N
)=W
m,p
(⌦)
Ver (Sanchez V., 2017)
Ejemplo 1.2
'(x)=
(
e
1
|x
2
|1
; |x| < 1
0 |x| 1
' 2 C
1
0
, sop(')=B(0, 1)
El espacio de distribuciones sobre ⌦ es el dual topológico ( y algebraico) de D(⌦)
D
0
(⌦)={T : D(⌦) ! R/T lineal y continuo}
Ejemplo 1.3 Consideremos un modelo que ha sido estudiado por varios autores, entre los
cuales se mencionará a Chipot - Lovat, Chipot - Rodrigues y Correa - Ferreira - Menezes.
24
Sea ⌦ un dominio limitado y regular de R
N
, N 1 y a : R ! R es una función dada.
El problema:
8
<
:
si a
⇣
Z
⌦
u
⌘
.u(x)=f(x, u) en ⌦
si u =0en @⌦
(1.1)
aparece en varias situaciones. Por ejemplo, u puede describir la densidad de una población
(de bacterias por ejemplo) sujeta a propagación, el coeficiente de difusión a se supone que
depende de la población total en el dominio ⌦ en vez de depender de la densidad local, es
decir, el movimiento de las bacterias es determinado, considerando el estado global del medio.
Aquí el término no local es a
⇣
Z
⌦
u
⌘
.
Una generalización del problema 1.1 es:
(
a
⇣
kuk
q
q
⌘
ru(x)=f(x, u) en ⌦
u =0 en @⌦
(1.2)
Donde kuk
q
q
es la norma usual en L
q
(⌦). Ver (Cabada, 2012)
En 1.2, el término no local es:
a
⇣
kuk
q
q
⌘
= a
⇣
Z
⌦
|u|
q
⌘
Veamos algunos problemas importantes:
Consideremos el problema de Dirichlet semilineal.
⇢
u = f(x, u)+h(x),en⌦
u =0 sobre @⌦
(1.3)
Sea la siguiente condición:
p>
2N
N +2
si N 2; p>1 si N =1 (1.4)
Existe una constante A>0 y una función B 2 L
p
(⌦) tal que:
|f(x, s)| A|s| + B(x) (1.5)
Para casi todo x 2 ⌦ y 8s 2 R
Para todo ✏ > 0 existe b
✏
2 L
1
(⌦) tal que:
F (x, s)
1
2
s
2
+ ✏s
2
+ b
✏
(x) (1.6)
Para casi todo x 2 ⌦ y 8s 2 R
Existe un conjunto medible Lebesgue
⌦
0
⇢ ⌦ con ⌘
N
(⌦\⌦
0
)=0 ⌘ > 0 tales que:
E(⌦
0
,
1
⌘)=
\
x2⌦
0
n
s 2 R\{0}
2F (x, s)
s
2
1
⌘
o
(1.7)
tiene densidad positiva en +1 y 1
25
Teorema 1.22 Sea ⌦ ⇢ R
N
un dominio (abierto y conexo) acotado de clase C
2
. Si p satisface
la condición 1.4, f : ⌦ ⇥ R ! R es una función de Caratheodory que satisface la condición
1.5, la función F : ⌦ ⇥ R ! R satisface las condiciones 1.6 y 1.7.
Entonces, para todo h 2 L
p
(⌦), existe una función u
0
2 H
1
0
(⌦) \ W
2,p
(⌦) que es solución
débil de 1.2. Esta solución minimiza el funcional asociado : H
1
0
(⌦) ! R definido por:
(u)=
1
2
Z
⌦
|ru|
2
Z
⌦
F (x, u)
Z
⌦
hu
Para todo u 2 H
1
0
(⌦) (Rojas Bazán, 2016)
Ejemplo 1.4 Sea ⌦ ⇢ R
N
un dominio (abierto y conexo) acotado de clase C
2
, ⇤
1
es el primer
valor propio de M en ⌦ con condición de Direchlet (homogénea) y p es un número que
satisface la condición 1.4.
Sea:
g(s)=1 sen
⇣
⇡s
2
2(1 + s
2
⌘
para todo s 2 R
Se define la función F : ⌦ ⇥ R ! R por:
F (x, s)=
⇤
1
4
s
2
g(s)s
2
para todo x 2 ⌦ y para todo s 2 R
Se verifica que g 2 C
1
(R). De aquí F (x, s) 2 C
1
(R) para cada x 2 ⌦. Además se cumple
que F (x, 0) = 0 para todo x 2 ⌦.
Sea f : ⌦ ⇥ R ! R definida por:
f(x, s)=
dF
ds
(x, s)
=
1
2
s g
0
(s)s
2
2g(s)s
para todo x 2 ⌦ y para todo s 2 R.
Aplicando propiedades de derivación de funciones y regla de la cadena se obtiene:
g
0
(s)=
h
cos
⇡s
2
2(1 + s
2
i
⇡s
(1 + s
2
)
2
para todo s 2 R
Por el teorema fundamental del cálculo
Z
s
0
f(x, t)dt = F (x, s)
8x 2 ⌦ y 8s 2 R
26
La función f : ⌦ ⇥ R ! R es de Caratheodory pues F (x, s) 2 C
1
(R) para cada x 2 ⌦
La función f satisface la condición 1.5 pues existen A =
1
2
1
+4+
⇡
4
> 0 y
B 2 L
p
(⌦)(B(x)=0 para todo x 2 ⌦) tales que:
|f(x, s)| A|s| + B(x) para todo x 2 ⌦ y para todo s 2 R.
La función F satisface la condición 1.6 pues para todo ✏ > 0 existe b
✏
2 L
1
(⌦)
(b
✏
(x)=0 para todo x 2 ⌦) tal que:
F (x, s)
1
2
s
2
+ ✏s
2
+ b
✏
(x) para todo x 2 ⌦ y para todo s 2 R.
La función F satisface la condición 1.7 pues existen
⌦
0
= ⌦ (⌦
0
conjunto medible Lebesgue incluido en ⌦ con µ
N
(⌦\⌦
0
)=µ
N
()=0y
µ =
1
2
> 0 tal que E(⌦
0
,
1
µ) es un subconjunto medible Lebesgue de R
liminf
| {z }
r!+1
µ
1
(E(⌦
0
,
1
µ) \ [0,r])
µ
1
([0,r])
=1> 0
liminf
| {z }
r!1
µ
1
(E(⌦
0
,
1
µ) \ [r, 0])
µ
1
([r, 0])
=1> 0
Es decir E(⌦
0
,
1
µ) tiene densidad positiva en +1 y 1
Por lo tanto f y F satisfacen las hipótesis del teorema 1.22. Luego por este teorema, para
todo h 2 L
p
(⌦) el problema 1.3 tiene por lo menos una solución débil que pertenece a:
H
1
0
(⌦) \ W
2,p
(⌦) (Rojas Bazán, 2016)
1.3. Conceptos de Investigación
1.3.1. Aplicación de Caratheodory
Teorema 1.23 (Aplicación de Caratheodory)
Sea E un espacio de Banach reflexivo, I es subconjunto cerrado de los números R. Una
aplicación f : I ⇥ E ! E es una aplicación de Caratheodory, si cumple las siguientes
condiciones:
1. Para todo t 2 I, f(t, .):E ! E es continua.
2. Para todo x 2 E,f (., x):I ! E es medible en el sentido Lebesgue
1.3.2. Teorema de Green
Teorema 1.24 (Teorema de Green) Dado ⌦ un espacio abierto, acotado y regular R
n
, situado
a un mismo lado de su frontera @⌦, entonces para todo u 2 H
2
(⌦) y v 2 H
1
(⌦) tenemos:
Z
⌦
(u) vdx=
Z
⌦
ru rvdx
Z
⌦
@u
@⌘
vd
Donde
@u
@⌘
designa la derivada normal exterior de u, siendo
!
⌘ fuera de los vectores unitarios
normales a @⌦ y d es la medida de Lebesgue sobre la superficie @⌦
27
1.3.3. Regularidad de la Solución Débil
Teorema 1.25 Sea ⌦ ✓ R
N
un dominio abierto y acotado de clase C
2
, 1 <p<1 y
f 2 L
p
(⌦)
Si u es solución débil de:
⇢
u = fen⌦
u =0 sobre @(⌦)
Ver (Agmon, 1959)
1.3.4. Teorema de Brower
Teorema 1.26 Sea G : B(0,R) ! B(0,R) para R>0
B(0,R) ✓ R
n
y G una función continua, entonces existe un punto fijo ⇠
0
2 B(0,R) tal que
G(⇠
0
)=⇠
0
1.3.5. Teorema del Ángulo Agudo
Teorema 1.27 (Teorema del Ángulo Agudo)
Sea F : R
m
! R
m
una función continua.
Si existe R>0 tal que hF (x),xi0, 8|x|
R
m
= R, entonces existe x
0
2 B(0,R) tal que
F (x
0
)=0.
Demostración
Por el absurdo, supongamos que: F (⇠) 6=0;8⇠ 2 B(0,R)
Se define:
G : B(0,R) ! R
m
⇠ ! G(⇠)=R
F (⇠)
|F (⇠)|
R
m
Entonces G es continua, además:
|G(⇠)| = R
|F (⇠)|
|F (⇠)|
= R
(quiere decir que los valores de G están en la bola)
Por lo que: G : B(0,R) ! B(0,R) continua.
Entonces por el teorema de Brower 9⇠
0
2 B(0,R) talque G(⇠
0
)=⇠
0
observe que:
|⇠
0
| = |G(⇠
0
| = R>0
Como:
28
0 <R
2
= |⇠
0
|
2
= h⇠
0
, ⇠
0
i
= hG(⇠
0
),G(⇠
0
)i
= h
R
|F (⇠
0
|
F (⇠
0
), ⇠
0
i
=
R
|F (⇠
0
)|
hF (⇠
0
), ⇠
0
i
0
) 0 < 0(! ) ⌅
1.3.6. Desigualdad de Poincaré
Teorema 1.28 (Desigualdad de Poincaré)
Sea ⌦ un abierto acotado de R
n
. Entonces, existe una constante C = C(⌦,p) > 0 tal que:
kuk
L
p
(⌦)
C
Z
⌦
|ru|
p
dx
!
1/p
, 8u 2 W
1,p
0
(⌦), 1 p<1
1.3.7. Método de Galerkin
Teorema 1.29 (Método de Galerkin)
Sea {H
h
}
h>0
una familia numerable de subespacios de H de dimensión finita tal que:
a) H
h
✓ H
h
para todo h h
b)
S
{H
h
: h>0} es denso en H.
1.3.8. Los Espacios H
m
0
,H
m
Sea ⌦ abierto de R
n
,m2 N [ 0 se define el espacio de Sobolev H
m
(⌦) como:
H
m
(⌦)={u 2 L
2
(⌦)/D
↵
u 2 L
2
(⌦); 8|↵| m}
Observación 1.10 Las siguientes observaciones son muy importantes:
1. H
m
(⌦)=W
m,p
(⌦)
2. En H
m
(⌦) se define el producto interno:
hu, vi
H
m
(⌦)
=
X
|↵|m
Z
⌦
D
↵
u(x)D
↵
(x)dx 8u, v 2 H
m
(⌦)
la norma:
|u|
H
m
(⌦)
=(u, u)
1/2
=
X
|↵|
m|D
↵
u|
2
L
2
(⌦)
Asi H
m
(⌦) es espacio de Hilbert.
29
3. Los elementos de H
m
(⌦) se llaman clases de equivalencia:
uRv $ u = vestaen⌦
4. La derivada indicada en la definición está en la derivada de la distribución sobre ⌦ es
decir:
9u
↵
2 L
2
(⌦) tal que hD
↵
u, 'i = hu
↵
, 'i; 8'D(⌦)s.s.s.(1)
|k|
hu, D
↵
'i = hu
↵
, 'i
1.3.9. Desigualdad de Hölder
Teorema 1.30 (Desigualdad de Hölder para integrales)
Sea 1 <p<1 yp
⇤
exponente conjugado de p.
Si u 2 L
p
(⌦) entonces uv 2 L
1
(⌦) y
Z
⌦
|u(x)v(x)| dx
Z
⌦
|u(x)|
p
dx
!
1/p
Z
⌦
|v(x)|
p
⇤
dx
!
1/p
⇤
1.3.10. Desigualdad de Minkowski
Teorema 1.31 (Desigualdad de Minkowski para Integrales) Al aplicar la desigualdad de
Hölder, se obtiene la desigualdad de Minkowski:
Z
⌦
|u(x)+v(x)| dx
Z
⌦
|u(x)|
p
dx
!
1/p
+
Z
⌦
|v(x)|
p
dx
!
1/p
Si 1 p<1, u, v 2 L
p
(⌦)
u + v 2 L
p
(⌦)
ku + vk
p
kuk
p
+ kvk
p
Demostración Sean u, v 2 L
p
(⌦), con 1 p<1. La medibilidad de u + v es obvia.
La desigualdad es cierta para p =1
ku + vk
1
=
✓
Z
⌦
|u(x)+v(x)|
1
◆
1/1
=
Z
⌦
|u(x)+v(x)|dx
Z
⌦
(|u(x)| + |v(x)|) dx
=
Z
⌦
|u(x)|dx +
Z
⌦
|v(x)|dx
= kuk
1
+ kvk
1
Sea 1 <p<1, 1 <p
0
< 1 con
1
p
+
1
p
0
=1
30
Consideremos la función w 2 L
p
(⌦) tal que w 0 y kwk
p
0
1.
Por la desigualdad de Hölder tenemos:
Z
⌦
|u(x)+v(x)| w(x)dx
Z
⌦
(|u(x)| + |v(x)|) w(x)dx
=
Z
⌦
|u(x)| w(x)dx +
Z
⌦
|v(x)| w(x)dx
kuk
p
kwk
p
0
+ kvk
p
kwk
p
0
= kuk
p
+ kvk
p
sup
⇢
Z
⌦
|u(x)+v(x)| w(x)dx : w(x) 0 en ⌦, kwk
p
0
1
kuk
p
+ kvk
p
0
Por lo tanto:
ku + vk
p
kuk
p
+ kvk
p
⌅ (Barahona M., 2018)
1.3.11. Teorema de la Convergencia
Teorema 1.32 (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue) Dado(f
n
)
n2N
una
sucesión de funciones integrables. Si se supone:
(i) f
n
(x) ! f(x) c.t.p. en ⌦
(ii) Hay una función g 2 L
1
(⌦) como para todo n si | f (x ) | g(x ) c.t.p. en ⌦, entonces:
l´ım
n
!1
Z
⌦
f
n
(x)dx =
Z
⌦
f(x)dx
1.3.12. Representación de Riez
Teorema 1.33 (Representación de Riez para L
p
(⌦))
Sea 1 <p<1, ' 2 (L
p
(⌦))
0
=)9! u 2 L
p
0
(⌦)
Tal que:
h',fi =
Z
⌦
u(x)f(x)dx; 8f 2 L
p
(⌦)
Además:
kuk
L
p
0
(⌦)
= k'k
0
(L
p
(⌦))
1
p
+
1
p
0
=1()
1
p
+
1
q
=1; donde q = p
0
Demostración
L
q
(⌦)=(L
p
(⌦))
0
(L
2
(⌦))
0
= L
2
⌦
(L
3
(⌦))
0
= L
3
2
(⌦)
31
T : L
q
(⌦) ! (L
p
(⌦))
0
µ ! T
µ
L
p
(⌦) ! R
f ! h T
µ
,fi =
Z
⌦
u(x)f(x)dx
Afirmación 1: T está bien definida.
En efecto:
|hT
µ
,fi| =
Z
⌦
u(x)f(x)dx
Z
⌦
|u(x)||f(x)|dx
Hlder
✓
Z
⌦
|u(x)|
q
◆
1
q
✓
Z
⌦
|f(x)|
p
◆
1
p
= kuk
q
|{z}
<1
kfk
p
|{z}
<1
< 1
Por lo tanto T está bien definida. ⌅
Afirmación 2: T lineal
En efecto:
hT
↵u+v
,fi =
Z
(↵u(x)+v(x))f(x)=h↵T
u
+ T
v
,fi
Afirmación 3: T es acotada
En efecto:
|hT
u
,fi| kuk
q
kfk
p
=)
|hT
u
,fi|
kfk
p
kuk
q
=) sup
kuk6=0
|hT
u
,fi|
kfk
p
kuk
q
kT
u
kkuk
q
=)
kT
u
k
kuk
q
1
Otra vez aplicando supremo
sup
kuk6=0
kT
u
k
kuk
q
1
kT k1
Por lo tanto T es aotada. ⌅
Afirmación 4: T isometría
kT
u
k = kuk
32
En efecto:
Considerar f
0
(x)=|u(x)|
q2
u(x); u 2 L
q
(⌦)
=)|f
0
(x)|
p
= ||u(x)|
q2
u(x)|
p
=)|f
0
(x)|
p
= |u(x)|
(q1)p
En efecto:
1
p
+
1
q
=1
=)
q
p
+1=q
=)
q
p
= q 1
=)q =(q 1)p
=)|f
0
(x)|
p
= |u(x)|
q
=)
Z
⌦
|f
0
(x)|
p
dx =
Z
⌦
|u(x)|
q
dx < 1
=)f
0
2 L
p
(⌦)
En efecto:
Z
⌦
|f
0
(x)|
p
=
Z
⌦
|u(x)|
q
dx
=)kf
0
k
p
p
= kuk
q
q
=)kf
0
k
p
= kuk
q
p
q
= kuk
q1
q
=)kf
0
k
p
= kuk
q1
q
Sabemos que:
hT
u
,f
0
i =
Z
⌦
u(x)f
0
(x)dx =
Z
⌦
u(x)|u(x)|
q2
u(x)dx
=)hT
u
,f
0
i =
Z
⌦
|u(x)|
q
dx = kuk
q
q
=)hT
u
,f
0
i = kuk
q
q
kT
u
k = sup
kwk6=0
|hT
u
,wi|
kwk
>
|hT
u
,wi|
kwk
=
|hT
u
,f
0
i|
kf
0
k
kT
u
k =
|hT
u
,f
0
i|
kf
0
k
=
kuk
q
q
kuk
q1
q
= kuk
q
!kT
u
k > kuk
q
Se tiene que:
kT
u
k = kuk
Por lo tanto T es una isometría entonces es inyectiva.
T : L
q
(⌦) ! (L
p
(⌦))
0
33
En efecto:
hT
↵u+v
,fi =
Z
(↵u(x)+v(x)) f ( x )=h↵T
u
+ T
v
,fi
Afirmación 5: T es suryectiva
T : L
q
(⌦) ! (L
p
(⌦))
0
Por demostrar
T (L
q
(⌦)) = (L
p
(⌦))
0
Corolario 1.4 X un espacio vectorial, B ✓ X.
Seaf 2 X
0
tal que: hf, xi =0; 8x 2 B
Si f =0 entonces B = X
Considero: B = T (L
q
(⌦)) ; X =(L
p
(⌦))
0
Lo que se pretende demostrar es:
T (L
q
(⌦)) = (L
p
(⌦))
0
Afirmación 5.1
T (L
p
(⌦)) es cerrado es decir T (L
q
(⌦)) = T (L
q
(⌦))
En efecto :
T (L
q
(⌦)) ✓ T (L
q
(⌦))
Proposición 1.12 Si x 2 A si y sólo si 9(x
n
) ✓ A/x
n
! x
Corolario 1.5 A es cerrado si y sólo si (x
n
) ✓ A; x
n
! x =) x 2 A
Considero: A = T (L
q
(⌦))
Sea (x
n
) ✓ L
q
(⌦) de modo que T (x
n
)
n1
✓ T (L
q
(⌦)) tal que T (x
n
) ! Y
Solo falta probar que:
y 2 T (L
q
(⌦))
Como (T (x
n
))
n1
es una sucesión convergente ! (T (x
n
))
n1
es una sucesión de Cauchy.
Para n, m 2 N se tiene que: kT (x
n
) T (x
m
)k!0
Como T es una isometría )kx
n
x
m
k!0
Entonces (x
n
)
n1
es una sucesión de Cauchy en L
q
(⌦)
Como L
q
(⌦) es un espacio completo entonces x
n
! x en L
q
(⌦)
Como T es una función continua entonces T (x
n
) ! T (x) en (L
p
(⌦))
0
Luego por la unicidad del limite se tiene que y = T (x)
34
Entonces y 2 T (L
q
(⌦)) por el corolario T (L
q
(⌦)) es cerrado, es decir:
T (L
q
(⌦)) = (T (L
q
(⌦)))
Afirmación 5.2
T (L
q
(⌦)) = T (L
q
(⌦)) = (L
p
(⌦))
0
Usando corolario, sea X =(L
p
(⌦))
0
,B= T (L
q
(⌦))
Considerar:
h 2
⇣
(L
p
(⌦))
0
⌘
0
= L
p
(⌦) talque hT
u
,hi =0
=) 0=
Z
⌦
u(x)h(x)dx consideremos un caso particular u(x)=|h(x)|
p2
h(x)
0=
Z
⌦
|h(x)|
p
dx = khk
p
=) h ⌘ 0
T (L
q
(⌦)) =
L (L
q
(⌦)) = (L
p
(⌦))
0
T (L
q
(⌦)) = (L
p
(⌦))
0
Por lo tanto T es suryectiva
Finalmente podemos identificar como cosecuencia del teorema de que:
L
q
(⌦) ⇡ (L
p
(⌦))
0
⌅
35
CAPÍTULO 2
METODOLOGÍA
Con respecto al método de trabajo es una investigación básica (teórica), según Muñoz, C.
(2011), su investigación parte de un marco teórico y permanece en él, la finalidad radica en
incrementar los conocimientos científicos, pero sin contrastarlos con ningún aspecto teórico (p.
93).
2.1. Tipo de Investigación
Por su naturaleza del problema y los objetivos enunciados, reune condiciones para ser
calificado como una investigación explicativa.
Según Llanos (2011) en su obra cuyo titulo es Clases y Tipos de Investigación y sus
Características, sostiene que: Es una justificación que puede ser: encontrar, fijar e interpretar
las relaciones causalmente funcionales que existen con las variables estudiadas y sirve para
interpretar cómo, cuándo, dónde y por qué ocurre un fenómeno (p. 22).
2.2. Diseño de Investigación
El diseño de investigación utilizado en el presente trabajo, es de tipo cualitativo (descriptivo
- demostrativo).
Los autores Guffante, Guffante y Chavez, (2016) afirman que: La investigación se inicia de
la exploración o teorías para formular hipótesis que se verifican o niegan mediante la validación
reiterada del comportamiento de componentes de fenómenos. (p. 87).
2.3. Nivel de Investigación
El trabajo de investigación tiene un nivel de investigación correlacional.
Los autores Guffante, Guffante y Chavez (2016), sostienen lo siguiente: Asocia variables
mediante un patrón predecible, permite conocer la relación que existe entre dos o más
conceptos, categorías o variables en un contexto particular (p. 85).
36
2.4. Enfoque de Investigación
El enfoque de investigación para el presente trabajo es el enfoque cualitativo.
Hernandez (2014), manifiesta que el investigador o investigadora plantea un problema de
estudio delimitado y concreto sobre el fenómeno, aunque sus preguntas de investigación versan
sobre cuestiones específicas (p. 5).
2.5. Método de Investigación
El método de investigación es inductivo - deductivo.
Los autores Guffante, Guffante y Chavez (2016), sostienen que: El método inductivo -
deductivo, inicia de la hipótesis que verifica o contradice para inferir resultados (p. 90). Y
según el punto de partida es sintético de donde afirman que: "De la reunión racional de varios
elementos o partes dispersas se trata de construir un nuevo todo, formulando de ser necesario
teorías o leyes"(p. 92).
37
CAPÍTULO 3
RESULTADOS Y DISCUSIONES
3.1. Existencia de Solución para ⌦ Acotado
En el siguiente teorema consideremos una función positiva y acotada de tal manera que se
va a usar una extensión de la función a todo R tal que f(t)=f(0), para t<0 y se denotará a
la extensión con la misma función.
Teorema 3.1 Supongamos que:
f(t) k
0
> 0, 8t 2 [0, 1i
f(t) <k
1
, 8t 2 [0, 1i
Donde k
0
y k
1
son constantes reales.
Entonces para cualquier número real ↵ y , el problema 3.1. Obs. (ver abajo) posee una
solución débil positiva.
Un bosquejo de la gráfica de la función
0 <k
0
f(t) <k
1
8t 2 [0, +1i f(t)=f(0),t<0
Figura 3.1: Gráfica 1
38
Consideremos el problema con una función u : ⌦ ! R tal que:
Z
⌦
f(u(x))dx
!
u = f(u(x))
↵
en ⌦
u =0 en @⌦
(3.1)
Para un función dada ↵, 2 R
Queremos probar la existencia de la solución débil del problema 3.1 y determinar la
regularidad de esta solución. Por lo que empezamos deduciendo formalmente el concepto de
solución débil de 3.1.
(I)Formulación Variacional
Multiplicamos a la ecuación 3.1 por ' suficientemente regular e integramos sobre ⌦
Z
⌦
f(u(x)) dx
!
Z
⌦
(u(x)) '(x) dx =
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x) dx
x 2 ⌦, ' 2 H
1
0
(⌦)
Usando el teorema de Green se tiene:
Z
⌦
f(u(x))dx
!
Z
⌦
ru(x)r'(x)dx
Z
@u(x)
@
'(x)d()
=
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx
Con la condición de frontera '|
=0esto es
Z
@u(x)
@
'(x)d()=0
Luego tenemos:
Z
⌦
f(u(x)) dx
!
Z
⌦
ru(x)r'(x) dx =
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x) dx (3.2)
Lo que permite dar la siguiente definición.
(II) Solución Débil
Definición 3.1 Decimos que u : ⌦ ! R es solución débil de 3.2 si satisface:
(i) u 2 H
1
0
(⌦)
(ii) u satisface
Z
⌦
f(u(x))dx
!
Z
⌦
ru(x)r'(x)dx =
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx, 8' 2 H
1
0
⌦ (3.3)
Note que para u 2 H
1
0
(⌦) todos los elementos en el anterior sistema está bien definido.
39
a) Buena Definición
Observación 3.1 Los términos de 3.3 tienen sentido (buena definición) para u, ' 2 H
1
0
(⌦).
Veamos que los términos de la ecuación sea finito, para ello basta demostrar que cada uno de
los términos sea finito.
Veamos que esta definición es consistente, esto es
Z
⌦
f(u(x))dx
!
,
Z
⌦
ru(x)r'(x)dx ,
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx son finitos.
Afirmación
a)
Z
⌦
f(u(x))dx
!
es finito.
En efecto:
Z
⌦
f(u(x))dx
!
Z
⌦
f(u(x))dx <
Z
⌦
k
1
dx
=
Z
⌦
f(u(x))dx
!
<
Z
⌦
k
1
dx
!
=
Z
⌦
k
1
dx
!
=
(k
1
)
Z
⌦
dx
!
=(k
1
)
|⌦|
< 1 ⌅
Pues 0 <k
0
f(u(x)) <k
1
,u(x) 2 R
Teniendo en cuenta que se cumple que la función potencia t ! t
, 0 es continua.
Z
⌦
f(u(x))dx
!
< 1
Afirmación
b)
Z
⌦
ru(x)r'(x)dx es finito.
40
En efecto:
Z
⌦
ru(x) r '( x) dx
Z
⌦
|ru(x)r'(x)|dx
Z
⌦
|ru(x)||r'(x)|dx
| r u|
2
|r'|
2
= |u|
H
1
0
|{z}
<1
|'|
H
1
0
|{z}
<1
Finalmente
Z
⌦
ru(x) r' ( x) dx
< 1 ⌅
para u, ' 2 H
1
0
(⌦)
Afirmación
c)
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx es finito.
En efecto:
0 <f(u(x)) <k
1
Se sabe que:
0 <f(u(x)) <k
1
=) 0 < (f(u(x)))
↵
< (k
1
)
↵
, ↵ 0
=)
(f(u(x)))
↵
'(x)
<
(k
1
)
↵
'(x)
=)
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)
dx
Z
⌦
(k
1
)
↵
'(x)
dx
|(k
1
)
↵
|
Z
⌦
|'(x)|dx
(k
1
)
↵
✓
Z
⌦
1
2
dx
◆
1
2
✓
Z
⌦
|'(x)|
2
dx
◆
1
2
(Hlder); (K
1
> 0)
41
= k
↵
1
|⌦|
1/2
|'|
2
k
↵
1
|⌦|
1/2
c
⇤
|r'|
2
, (Desigualdad de P oincare)
= k
↵
1
|⌦|
1/2
c
⇤
k'k
H
1
0
< 1 ⌅
Z
⌦
(f(u(x)))
↵
'(x)dx
< 1 (3.4)
debido a que ' 2 H
1
0
(⌦) y ⌦ acotado.
Sea a demostrado (a) , (b) y (c)
b) Método de Galerkin Para probar la existencia de la solución débil de 3.2, se usará el
método de Galerkin.
Como H
1
0
(⌦) es un espacio de Hilbert separable entonces tiene una base hilbertiana
{w
v
}
v1
tal que:
(i) (w
i
,w
j
)=0;i 6= j
(ii) kw
i
k =1
Denotamos para cada m 2 N
V
m
= gen[ w
1
,w
2
, ··· ,w
n
] ⌘ [w
1
,w
2
, ··· ,w
n
] ✓ H
1
0
(⌦)
Sea u 2 V
m
; u =
m
X
i=1
⇠
i
w
i
Definamos
: V
m
! R
m
u ! (u)=(⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
m
)
Resulta que es un isomorfismo isométrico, ya que:
a) es una transformación lineal, suryectiva.
b) kuk
2
H
1
0
(⌦)=k⇠k
R
m
donde ⇠ =(⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
n
)
Probemos cada caso
Afirmación
a) Sea u =
m
X
i=1
⇠
i
w
i
, v =
m
X
i=1
⌘
i
w
i
42
En efecto:
(↵u + v)=
↵
m
X
i=1
⇠
i
w
i
+
m
X
i=1
⌘
i
w
i
!
=
m
X
i=1
(↵⇠
i
+ ⌘
j
)w
i
!
=(↵⇠
1
+ ⌘
1
, ↵⇠
2
+ ⌘
2
, ··· , ↵⇠
n
+ ⌘
n
=(↵⇠
1
, ↵⇠
2
, ··· , ↵⇠
n
)+(↵⌘
1
, ↵⌘
2
, ··· , ↵⌘
n
)
= ↵(⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
n
)+(⌘
1
, ⌘
2
, ··· , ⌘
n
)
= ↵(u)+(v) ⌅
Además para ⇠ =(⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
n
) 2 R
m
, 9u =
m
X
i=1
⇠
i
w
i
2 V
m
(u)=⇠.
b) Sea u 2 V
m
kuk
2
H
1
0
(⌦)=
Z
⌦
|ru|
2
dx =(u, u)=
m
X
i=1
⇠
i
w
i
,
m
X
j=1
⇠
j
w
j
!
H
1
0
(⌦)
=
m
X
i=1
⇠
i
w
i
,
m
X
j=1
⇠
j
w
j
#
=
m
X
i=1
⇠
i
"
m
X
j=1
⇠
j
(w
i
,w
j
)
#
=
m
X
i=1
⇠
i
[⇠
1
(w
i
,w
1
)+⇠
2
(w
i
,w
2
)+···+ ⇠
i
(w
i
,w
i
)+···+ ⇠
m
(w
i
,w
m
)]
=
m
X
i=1
⇠
i
.⇠
i
=
m
X
i=1
|⇠
i
|
2
= k⇠k
2
R
m
⌅
donde ⇠ =(⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
m
). Entonces tenemos kuk
2
H
1
0
(⌦)=k⇠k
R
m
De a) y b) es un isomorfismo isométrico. Así identificamos que u ⌘ ⇠.
Nuestro objetivo es encontrar u =
m
X
i=1
⇠
i
w
i
2 V
m
que verifique el sistema aproximado:
(S.A)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x) rw
i
(x) dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
para cada i =1, 2, ··· ,m
Que es un sistema de m ecuaciones no lineales con indeterminadas ⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
m
números
reales.
43
u
m
=
m
X
i=1
⇠
i
w
i
2 V
m
✓ H
1
0
(⌦)
Explicitamente para cada i =1, 2, ··· ,mse tiene que el sistema aproximado es:
(S.A.)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
1
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
1
(x)dx
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
2
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
2
(x)dx
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
3
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
3
(x)dx
.
.
.
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
m
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
m
(x)dx
Observación 3.2 Como (V
m
, kk) y (R
m
, ||) tienen dimensión m, luego ambos espacios son
Isomorfos e Isométricos.
Donde k.k norma usual en H
1
0
(⌦), |.| norma Euclidiana de R
m
y h., .i es el producto
interno de R
m
.
Usaremos la identificación:
u
m
=
m
X
i=1
⇠
i
w
i
! ⇠ =(⇠
1
, ⇠
2
, ⇠
3
, ··· , ⇠
m
)
Como V
m
, R
m
son conjuntos de dimensión finita, entonces V
m
⌘ R
m
También:
ku
m
k
H
1
0
= |u
m
|
V
m
= |⇠|
R
m
Donde F
i
: R
m
! R son las funciones componentes tal que:
F : V
m
⌘ R
m
! R
m
⇠ ! F (⇠)=(F
1
(⇠),F
2
(⇠),F
3
(⇠), ··· ,F
m
(⇠))
Afirmación I
F
i
(⇠)=
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x) rw
i
(x)dx
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
para i =1, 2, 3, ··· ,m
Se verifica que F
i
: R
m
! R son continuas y por lo tanto F es continua.
44
En efecto
a) Sea F continua, donde F es una función vectorial (f
1
,f
2
, ··· ,f
m
)
Con F : R
m
! R
m
Consideremos la sucesión (⇠
k
)
k1
✓ R
m
y ⇠
0
2 R
m
tal que:
⇠
k
! ⇠
0
cuando k !1
Si la sucesión (F (⇠
k
))
k1
es tal que F (⇠
k
) ! F (⇠
0
), cuando k !1entonces F es continua.
Donde ⇠
k
=(⇠
k
1
, ⇠
k
2
, ⇠
k
3
, ··· , ⇠
k
m
),
⇠
0
=(⇠
0
1
, ⇠
0
2
, ⇠
0
3
, ··· , ⇠
0
m
) 2 R
m
fijo. ⌅
Luego, F es continua en ⇠
0
si, y sólo si las funciones componentes F
i
son continuas en
⇠
0
, para cada i =1, 2, 3, ··· ,m
Es decir
F
i
(⇠
k
) ! F
i
(⇠
0
), cuando k !1, para cada i =1, 2, 3, ··· ,m
(I) Definimos:
F
i
(⇠
k
)=
Z
⌦
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
dx
!
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
!!
↵
w
i
(x)dx
F
i
(⇠
0
)=
Z
⌦
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
dx
!
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
f
u
(0)
m
(x)
!!
↵
w
i
(x)dx
u
(k)
m
(x)=
m
X
i=1
⇠
(k)
i
w
i
(x), donde ⇠
(k)
i
2 (⇠
k
)
k1
u
(0)
m
(x)=
m
X
i=1
⇠
(0)
i
w
i
(x)
tal que
⇠
(0)
i
2 ⇠
0
=
✓
⇠
(0)
1
, ⇠
(0)
2
, ··· , ⇠
(0)
m
◆
2 R
m
Afirmación II
(F
i
(⇠
k
))
k1
es una sucesión convergente.
En efecto
45
|F
i
(⇠
k
) F
i
(⇠
0
)| =
Z
⌦
f(u
(k)
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
(f(u
(k)
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
+
Z
⌦
f(u
(0)
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
(f(u
(0)
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
|F
i
(⇠
k
) F
i
(⇠
0
)|
Z
⌦
f(u
(k)
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
f(u
(0)
m
(x)dx
!
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
+
Z
⌦
(f(u
(k)
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
Z
⌦
(f(u
(0)
m
(x)))
↵
w
i
(x)dx
Basta ver que: |F
i
(⇠
k
) F
i
(⇠
0
)| ! 0 cuando k !1
Para ello, se verificará previamente la convergencia de cada uno de los términos:
a)
Z
⌦
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
dx
!
!
Z
⌦
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
dx
!
cuando k !1
Por hipótesis se tiene que ⇠
k
! ⇠
0
cuando k !1,⇠
(j)
k
! ⇠
(j)
0
, para j =1, 2, ··· ,m
si, y sólo si
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
! 0 cuando k !1
u
(k)
m
(x) u
(0)
m
(x)
=
m
X
i=1
⇠
(k)
i
w
i
(x)
m
X
i=1
⇠
(0)
i
w
i
(x)
m
X
i=1
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
|w
i
(x)|
Tomando límite cuando k ! +1)
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
! 0
w
i
2 V
m
✓ H
1
0
(⌦) ) w
i
(x) 2 R
)
u
(k)
m
(x) u
(0)
m
(x)
! 0
46
Quiere decir que u
(k)
m
(x) ! u
(0)
m
(x) cuan d o k ! +1
) f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
! f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
pues f es continua (función Caratheodory)
)
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
!
!
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
!
pues la función t 7! t
↵
es continua, 0
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
!
!
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
!
(3.5)
)
Z
⌦
⇣
f
u
(k)
m
(x)
⌘
dx !
Z
⌦
⇣
f
u
(0)
m
(x)
⌘
dx
Pues f es continua entonces es integrable.
Luego la convergencia esta garantizada.
Z
⌦
⇣
f(
u
(k)
m
(x)
⌘
↵
dx !
Z
⌦
⇣
f
u
(0)
m
(x)
⌘
↵
dx ⌅ (3.6)
Afirmación III
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx !
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
cuando k !1para cada i =1, 2, ··· ,m
Primero veamos que:
ru
(k)
m
(x) !ru
(0)
m
(x) cuan d o k ! +1
En efecto
ru
(k)
m
(x) ru
(0)
m
(x)
=
r
m
X
i=1
⇠
(k)
i
w
i
(x)
!
r
m
X
i=1
⇠
(0)
i
w
i
(x)
!
=
r
m
X
i=1
⇠
(k)
i
w
i
(x)
m
X
i=1
⇠
(0)
i
w
i
(x)
!
=
r
m
X
i=1
h
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
i
w
i
(x)
!
=
m
X
i=1
h
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
i
rw
i
(x)
!
m
X
i=1
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
|rw
i
(x)|
Tomando límite cuando k ! +1 se tiene
⇠
(k)
i
⇠
(0)
i
! 0
47
y w
i
2 V
m
)rw
i
2 L
2
(⌦) ) |rw
i
(x)| 2 R
Por lo tanto se tiene que:
ru
(k)
m
(x) !ru
(0)
m
(x) cuan d o k ! +1
Ahora si, retomando nuestro objetivo:
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
Z
⌦
ru
(k)
m
(x) ru
(0)
m
(x)
|rw
i
(x)|dx
Para cada i =1, 2, ··· ,my por la desigualdad de Hölder
Z
⌦
ru
(k)
m
(x) ru
(0)
m
(x)
2
dx
!
1/2
Z
⌦
|rw
i
(x)|
2
dx
!
1/2
kw
i
k
H
1
0
Z
⌦
|ru
(k)
m
(x) ru
(0)
m
(x)|
2
dx
!
1/2
kw
i
k
H
1
0
Z
⌦
ru
(k)
m
(x) ru
(0)
m
(x)
| {z }
=0
2
dx
!
1/2
Para cada i =1, 2, ··· ,m
= kw
i
k
H
1
0
Z
⌦
0dx =0para cada i =1, 2, ··· ,m
Por lo tanto se verifico que:
Z
⌦
ru
(k)
m
(x) rw
i
(x) dx !
k!+1
Z
⌦
ru
(0)
m
(x) rw
i
(x) dx ⌅ (3.7)
para cada i =1, 2, ··· ,m
De la ecuación 3.2 y 3.3 se tiene:
Z
⌦
f
⇣
u
(k)
m
⌘
dx
!
Z
⌦
ru
(k)
m
(x)rw
i
(x)dx !
Z
⌦
f
⇣
u
(0)
m
⌘
dx
!
Z
⌦
ru
(0)
m
(x)rw
i
(x)dx
(3.8)
Cuando k !1
b) Veamos la siguiente convergencia
Afirmación IV
Z
⌦
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
!
↵
w
i
(x)dx !
k!+1
Z
⌦
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
!
↵
w
i
(x)dx
48
En efecto
De la ecuación 3.1 se tiene:
f
⇣
u
(k)
m
(x)
⌘
!
↵
!
k!+1
f
⇣
u
(0)
m
(x)
⌘
!
↵
)
Z
⌦
⇣
f
u
(k)
m
(x)
⌘
↵
w
i
(x)dx
Z
⌦
⇣
f
u
(0)
m
(x)
⌘
↵
w
i
(x)dx
Z
⌦
⇣
f
u
(k)
m
(x)
⌘
↵
⇣
f(
u
(0)
m
(x)
⌘
↵
|w
i
(x)|dx
Por la desigualdad de Hölder
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
f
u
(0)
m
(x)
↵
2
dx
!
1/2
Z
⌦
|w
i
(x)|
2
dx
!
1/2
= |w
i
|
L
2
(⌦)
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
f
u
(0)
m
(x)
↵
2
dx
!
1/2
c
⇤
kw
i
k
H
1
0
(⌦)
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
f
u
(0)
m
(x)
↵
2
dx
!
1/2
(Desigualdad de Poincaré).
= c
⇤
kw
i
k
H
1
0
(⌦)
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
f
u
(0)
m
(x)
↵
| {z }
=0,k!+1
2
dx
!
1/2
= c
⇤
kw
i
k
H
1
0
Z
⌦
0 dx
!
1/2
=0,w
i
2 V
m
✓ H
1
0
(⌦)
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
w
i
(x) dx !
k!+1
Z
⌦
f
u
(0)
m
(x)
↵
w
i
(x) dx (3.9)
Y así, finalmente de la ecuación 3.8 y 3.3
|F
i
(⇠
k
) F
i
(⇠
0
)| !
k!+1
0
Para cada i =1, 2,...,m
Luego eso demuestra que F
i
son continuas para cada i =1, 2, ··· ,m sí, y sólo si F es
continua. ⌅
(II) Determinaremos la existencia de un R>0 (Por el Teorema del Ángulo Agudo)
hF (⇠), ⇠)i = h(F
1
(⇠),F
2
(⇠), ··· ,F
m
(⇠)), (⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
m
)i
R
m
=
m
X
i=1
F
i
(⇠).⇠
i
49
=
m
X
i=1
2
4
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
ru
m
(x).rw
i
(x) dx
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x) dx
3
5
.⇠
i
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
m
X
i=1
Z
⌦
ru
m
(x).rw
i
(x)dx
!
⇠
i
m
X
i=1
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x) dx
!
⇠
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
ru
m
(x).r
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
| {z }
u
m
dx
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
|
{z }
u
m
dx
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
ru
m
(x).ru
m
(x) dx
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
u
m
(x) dx
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
u
m
(x) dx
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
|
{z }
I
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
u
m
(x) dx
| {z }
II
(a) Para I
Afirmación (1)
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx k
0
|⌦|
ku
m
k
2
H
1
0
En efecto
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
Z
⌦
k
0
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
f
u
m
(x)
|{z}
2R
!
k
0
> 0 )
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
Z
⌦
k
0
dx
= k
0
Z
⌦
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
| {z }
|ru
m
|
2
2
= k
0
|⌦|
|ru
m
|
2
2
= k
0
|⌦|
ku
m
k
2
50
Pues kuk
H
1
0
(⌦)
= |ru|
L
2
(⌦)
⇠ |u|
H
1
(⌦)
, 8u 2 H
1
0
(⌦)
finalmente
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx k
0
|⌦|
ku
m
k
2
H
1
0
(b) Para II
Afirmación (2)
Z
⌦
|f(u(x))|
↵
|u
m
(x)| dx
Z
⌦
|k
1
|
↵
|u
m
(x)| dx
En efecto
f(u(x)) <k
1
) |f(u(x))|
↵
< |k
1
|
↵
|f(u(x))|
↵
|u
m
(x)| < |k
1
|
↵
|u
m
(x)|
Integrando sobre ⌦
Z
⌦
|f(u(x))|
↵
|u
m
(x)| dx
Z
⌦
|k
1
|
↵
|u
m
(x)| dx
= |k
1
|
↵
Z
⌦
|u
m
(x)| dx
| k
1
|
↵
Z
⌦
1
2
.dx
!
1/2
Z
⌦
|u
m
(x)|
2
dx
!
1/2
(Hölder)
= k
↵
1
|⌦|
1/2
|u
m
|
2
k
↵
1
|⌦|
1/2
c
⇤
ku
m
k
H
1
0
(⌦) (Poincaré)
)
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
u
m
(x) dx k
↵
1
|⌦|
1/2
c
⇤
ku
m
k
H
1
0
(⌦)
Como
hF (⇠), ⇠i
R
m
=
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
|ru
m
(x)|
2
dx
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
u
m
(x) dx
Reemplazando (a) y (b) se tiene:
k
0
|(⌦)|
ku
m
k
2
H
1
0
(⌦)
k
↵
1
|⌦|
1/2
c
⇤
ku
m
k
H
1
0
(⌦)
Donde k
0
,k
1
,c
⇤
son constantes positivas.
Para ku
m
k
H
1
0
(⌦)
2 R se tiene
hF (⇠), ⇠i
R
m
k
0
. |⌦|
. ku
m
k
2
H
1
0
(⌦)
| {z }
2R
k
↵
1
. |⌦|
1/2
.c
⇤
. ku
m
k
H
1
0
(⌦)
| {z }
2R
0
51
hF (⇠), ⇠i
R
m
= k
0
. |⌦|
| {z }
A
.R
2
k
↵
1
. |⌦|
1/2
.c
⇤
| {z }
B
.R 0
hF (⇠), ⇠i
R
m
= AR
2
BR 0
hF (⇠), ⇠i
R
m
= R(AR B) 0
) AR B 0
hF (⇠), ⇠i
R
m
= R
B
A
independiente de m
Como hF (⇠), ⇠i
R
m
0 entonces R =
B
A
Por el Teorema del ángulo águdo existe ⇠ 2 B(0,R) /F(⇠)=0
donde
) ( F
1
(⇠),F
2
(⇠), ··· ,F
m
(⇠)) = (0, 0, ··· , 0)
) F
i
(⇠)=0
) F
i
(⇠)=
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
i
(x) dx
Z
⌦
f
u
(k)
m
(x)
↵
w
i
(x) dx =0
Es decir, existe ⇠ =(⇠
1
, ⇠
2
, ⇠
3
, ··· , ⇠
m
) 2 R
m
de modo que resuelve el sistema aproximado (S.A) ⌅
Además se verifica que:
Afirmación
8
>
<
>
:
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
i
(x)dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x)dx
i =1, 2, ··· ,m
(3.10)
Es equivalente a:
8
>
<
>
:
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rwdx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
wdx
8w 2 V
m
✓ H
1
0
(⌦)
(3.11)
En efecto
(a) 3.10 ! 3.11
Partimos de la siguiente igualdad que es válida para i =1, 2, ··· ,m
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
i
(x)dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x)dx
52
Multiplicamos por ⇠
i
2 R a cada lado de la igualdad
⇠
i
2
4
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
i
(x)dx
3
5
= ⇠
i
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x) dx
)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r⇠
i
w
i
(x) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
⇠
i
w
i
(x) dx
Sumando miembro a miembro desde i =1 ··· m
)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
dx
)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
| {z }
w(x)
!
dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
| {z }
w(x)
!
dx
)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x)dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx ⌅
(b) 3.11 ! 3.10
Como w =
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x) tenemos :
Z
⌦
f
u
m
(x)
dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
(x)
dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx
)
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
m
X
i=1
⇠
i
w
i
(x)
!
dx
)
m
X
i=1
⇠
i
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
i
(x)) dx =
m
X
i=1
⇠
i
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
i
(x)) dx
Igualando cada sumando desde i =1hasta ···m, se tie n e
⇠
1
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
1
(x)) dx = ⇠
1
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
1
(x)) dx
⇠
2
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
2
(x)) dx = ⇠
2
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
2
(x)) dx
.
.
.
⇠
m
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
m
(x)) dx = ⇠
m
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(u
m
(x)) dx
Como ⇠
1
, ⇠
2
, ··· , ⇠
m
son números reales no nulos, lo cancelamos en cada ecuación
53
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
1
(x)) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
1
(x)) dx
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
2
(x)) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
2
(x)) dx
.
.
.
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)r(w
m
(x)) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
(w
m
(x)) dx
Se enuncia así:
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
i
(x) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w
i
(x) dx
Para i =1, 2, ··· ,m ⌅
Se probó anteriormente que 9R>0:hF (⇠), ⇠i
R
m
0 8 |⇠| = R, |⇠|
R
m
= ku
m
k
H
1
0
(⌦)
Se tiene que 9M>0:ku
m
k
H
1
0
(⌦)
M
Como u
m
2 V
m
⇢ H
1
0
(⌦) ) (u
m
)
m1
⇢ H
1
0
(⌦). Además ya se vio que ku
m
kM
Como H
1
0
(⌦) es reflexivo, entonces por teorema de Alaouglu - Bourbaki posee una
subsucesión (u
m
k
) ⇢ H
1
0
(⌦) de (u
n
)
n1
que aún denotaremos con (u
m
)
m1
tal que:
u
m
* uenH
1
0
(⌦) con verge debilmente (3.12)
III Pasaje al límite
Como ku
m
kM entonces (ku
m
k)
m2N
es una sucesión acotada de números reales,
entonces tiene una subsucesión convergente ku
m
i
k que aún la denotaremos con ku
m
k.
Consideremos m
0
fijo y m m
0
de 3.11 se tiene:
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
| {z }
I
1
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x) dx
| {z }
I
2
=
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx
| {z }
I
3
, 8w 2 V
m
0
Analizaremos la convergencia de cada término en la expresión anterior
a) Análisis de I
1
AFIRMACIÓN 1
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
!
Z
⌦
f(u(x)) dx
!
En efecto
Como H
1
0
(⌦)
c
,! L
2
(⌦) inmersión compacta y u
m
* uenH
1
0
(⌦) (convergencia débil)
resulta que existe otra subsucesión de la subsucesión que se continuará denotando con u
m
tal
54
que:
u
m
! uenL
2
(⌦), convergencia f uerte (3.13)
Por teorema IV.9 (p. 58) (Brezis), se tiene (u
m
)
m1
✓ L
2
(⌦) yu2 L
2
(⌦) tal que:
|u
m
u|
2
! 0
Entonces existe otra subsucesión de la subsucesión que continuaremos denotando con u
m
tal
que:
1. u
m
(x) ! u(x) c.t.p x 2 ⌦
2. |u
m
(x)| v(x), c.t.p x 2 ⌦ con v 2 L
2
(⌦)
Y así de (2) se tiene:
u
m
(x) |u
m
(x)| v(x), c.t.p x 2 ⌦
) f ( u
m
(x)) f(v(x)), c.t.p x 2 ⌦
Pues f es función Caratheodory, continua en la segunda variable.
Esto significa que f(u
m
(x)) está dominada por una función integrable f(v(x))
Por el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue la función f(u
m
(x)) es
integrable y
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx !
Z
⌦
f(u(x)) d x, p ara m ! +1
Y teniendo en cuenta que la aplicación potencia t ! t
es continua, 0 se tiene:
✓
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
◆
!
✓
Z
⌦
f(u(x)) dx
◆
(3.14)
b) Análisis de I
2
AFIRMACIÓN 2
Z
⌦
ru
m
(x) rw
m
(x) dx !
Z
⌦
ru(x) r w(x) dx 8w 2 H
1
0
(⌦)
En efecto
1) Definiendo la forma bilineal
a : H
1
0
(⌦) ⇥ H
1
0
(⌦) ! R
(u, w) ! a(u, w)=
Z
⌦
ru(x) rw(x) dx
Sea H
1
0
(⌦) ! L
p
(⌦) es una inmersión continua, sea también ↵ 2 R, 2 R, u 2 H
1
0
(⌦) y
w 2 H
1
0
(⌦)
Por la inmersión continua y por la desigualdad de Holder se tiene:
hu 2 L
1
(⌦)
55
y
hw 2 L
1
(⌦)
Luego ↵(hu)+(hw) 2 L
1
(⌦) y
Z
⌦
h(↵u + w)=
Z
⌦
↵(hu)+(hw)
= ↵
✓
Z
⌦
hu
◆
+
✓
Z
⌦
hw
◆
Está igualdad implica que:
(↵u + w)=↵(u)+(w)
Por lo tanto es bilineal. ⌅
2) Veremos si es continua a(u, w) es continua, |a(u, w)| kkuk
H
1
0
kwk
H
1
0
a(u, w)=
Z
⌦
ru(x) r w(x) dx =
m
X
i=1
Z
⌦
@u(x)
@x
i
@w(x)
@x
i
dx
En efecto
|a(u, w)| =
m
X
i=1
Z
⌦
@u(x)
@x
i
@w(x)
@x
i
dx
m
X
i=1
Z
⌦
@u(x)
@x
i
@w(x)
@x
i
dx
m
X
i=1
Z
⌦
@u(x)
@x
i
2
dx
!
1/2
Z
⌦
@w(x)
@x
i
2
dx
!
1/2
Desigualdad de Hölder
m
X
i=1
@u
@x
i
L
2
@w
@x
i
L
2
m
X
i=1
@u
@x
i
2
L
2
!
1/2
m
X
i=1
@w
@x
i
2
L
2
!
1/2
Desigualdad de Hölder Discreto
= ku k
H
1
0
kwk
H
1
0
finalmente ka(u, w)kkkuk
H
1
0
kwk
H
1
0
Por lo tanto a(u, w) es continua ⌅
3) Veremos si es coerciva a(u, w) es H
1
0
(⌦) coe rciva, i.e. a(u, v) kkuk
2
H
1
0
56
En efecto
a(u, u)=
Z
⌦
ru(x)ru(x) dx
=
Z
⌦
|ru(x)|
2
dx
= |ru|
2
L
2
kuk
2
H
1
0
8u 2 H
1
0
(⌦)
Finalmente a(u, v) kkuk
2
H
1
0
Por lo tanto es coerciva. ⌅
Y así a(u, w) es un producto interno en H
1
0
equivalente al producto interno usual natural
de H
1
0
, es decir, existe c
0
,c
1
> 0 tal que:
c
0
kuk
2
H
1
0
a(u, w) c
1
kuk
2
H
1
0
Observación 3.3 H espacio de Hilbert
u
v
* uenH, (u
v
,w)
H
! ( u, w)
H
(3.15)
así de 3.5 y 3.8 se tiene que:
a(u
m
,w) ! a(u, w) 8w 2 H
1
0
(⌦)
Z
⌦
ru
m
(x)rw
m
(x) dx !
Z
⌦
ru(x)rw(x) dx 8w 2 H
1
0
(⌦) (3.16)
Además, sabiendo que:
v
m
! v
u
m
! u
) u
m
.v
m
! u, v
Luego de 3.7 y 3.9 se tiene que:
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x) dx !
Z
⌦
f(u(x)) dx
!
Z
⌦
ru(x)rw(x) dx
8w 2 H
1
0
(⌦)
c) Análisis de I
3
AFIRMACIÓN
57
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx !
Z
⌦
f
u(x)
↵
w(x) dx 8w 2 H
1
0
(⌦)
En Efecto
Del caso a) (análisis I
1
) se tenía que:
f(u
m
(x)) f(v(x)) c.t.p. x 2 ⌦,v2 L
2
(⌦)
Luego
f
u
m
(x)
↵
f
v(x)
↵
c.t.p. x 2 ⌦, ↵ 0
f
u
m
(x)
↵
.w(x)
f
v(x)
↵
.w(x) w 2 H
1
0
(⌦),w(x) 2 R
Otra vez, por el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue la función
f
u
m
(x)
↵
.w(x) está dominada por una función integrable
f
v(x)
↵
.w(x)
)
Z
⌦
f(u
m
(x)
↵
.w(x) dx !
Z
⌦
f
u(x)
↵
.w(x) dx
Retornando al sistema aproximado (S.A.)
(S.A.)
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
1
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
1
(x)dx
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
2
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
2
(x)dx
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
3
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
3
(x)dx
.
.
.
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw
m
(x)dx =
Z
⌦
(f(u
m
(x)))
↵
w
m
(x)dx
Se llega a la siguiente conclusión por el sistema aproximado. (S.A.)
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx
8w 2 V
m
✓ H
1
0
(⌦)
Y tomando m m
0
Z
⌦
f(u
m
(x))dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx
8w 2 V
m
0
✓ H
1
0
(⌦)
)
Z
⌦
f(u
m
(x)) dx
!
Z
⌦
ru
m
(x)rw(x) dx =
Z
⌦
f
u
m
(x)
↵
w(x) dx
58
8w 2
1
[
m=1
V
m
Pero,
1
[
m=1
V
m
= H
1
0
(⌦)
Por la densidad y continuidad resulta:
Z
⌦
f(u(x)) dx
!
Z
⌦
ru(x)rw(x) dx =
Z
⌦
f
u(x)
↵
w(x) dx
8w 2 H
1
0
(⌦)
Esto es u 2 H
1
0
(⌦) es solución débil de:
Z
⌦
f(u(x))dx
!
u = f(u(x))
↵
en ⌦
u =0 en @⌦
(3.17)
Por lo tanto se ha llegado a concluir la existencia de la solución débil de 3.2. ⌅
59
CAPÍTULO 4
CONCLUSIONES
Conclusiones
(1). El problema no local admite solución débil para f 2 L
2
(⌦). Donde se ha garantizado la
existencia de la solución débil de un problema elíptico por el Método de Galerkin, que
tiene sus aplicaciones, como es el caso para resolver problemas que no son locales, un
caso particular es para encontrar soluciones débiles con sistemas no lineales.
(2). Para obtener esta solución se ha aplicado el teorema del ángulo agudo y la condición de
Dirichlet que en esencia determina la existencia de dicha solución.
60
Referencias
Adams, R., y Fournier, J. (2003). Sobolev space. Elsevier Second Edition.
Agmon, S. (1959). The l
p
approach to the dirichlet problem part i. regularity theorems. Annali
della Scuola Normale Superiore di Pisa Classe di Scienze.
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in some elliptic problems. Journal of Functional Analysis.
Banach, S. (1987). Theory of linear operations. North Holland Amsterdam.
Barahona M., W. (2018). Existencia de soluciones débiles de un sistema elíptico no local
semilineal. San Marcos.
Berberian, S. (1974). Lectures in functional analysis and operator theory. Springer - Verlag
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Brezis, H. (1984). Análisis funcional. Alianza: Madrid.
Cabada, F. y. C., A. (2012). Existence of solutions of a nonlocal elliptic system vía galerkin
method. Reverté.
Cabello, J. (2009). Análisis funcional. Universidad de Granada.
De Guzman, R. (1979). Integración, teoría y técnicas. Madrid.
Dieudonné, F. (1981). History of functional analysis. Reverté.
Gatica, M. (2011). Espacios de funciones una introducción a los espacios de sobolev.
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado.
Hernandez, J. E. (2018). Caracterización de los espacios de hilbert separables. Universidad
de Panáma.
Hoffman, K. (1979). Álgebra lineal. Prentice-Hall, New Jersey.
Kesavan, S. (1989). Topics in functional analysis and applications. Wiley Eastern Limited.
Kolmogorov, A. (1975). Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Mir.
61
Kreyszig, E. (1984). Introductory functional analysis with applications. wiley.
Lima, E. L. (1976). Espacios métricos. Euclides.
Manuel, M. M. (2000). Espacios de sobolev. Rio de Janeiro.
Medeiros, L. (2000). Iniciación a los problemas elípticos no homogéneos. Rio de Janeiro.
Rodney, B. J. (2009). Notas de aula análisis funcional. Universidad Federal de Minas Gerais.
Rojas Bazán, E. (2016). Existencia de solución débil de un problema semilineal elíptico.
Universidad Nacional mayor de San Marcos, Perú.
Rosas Cruz, J. (2005). Una aplicación del análisis funcional a las ecuaciones diferenciales.
Universidad del Valle de Mexico.
Rubiano, G. N. (2000). Topología general. Universidad Nacional de Colombia.
Rudin, W. (1979). Análisis funcional. Reverté.
Sanchez V., J. (2017). Un problema de dirichlet no local. Universidad Nacional Mayor de San
Marcos.
62
APÉNDICE A
ANEXO
63
Matriz de consistencia
Problemas Objetivos Hipótesis Variables Metodología
General General General Variable1. Tipo de
investigación
¿Será posible garantizar la solución
débil de un problema elíptico por el
método de Galerkin?
Determinar las condiciones para
garantizar la existencia de la
solución débil del problema a
estudiar.
Es posible garantizar la existencia
de la solución débil de un problema
elíptico por el método de Galerkin.
• Independiente
Es la condición
de Dirichlet y la
discretización.
• Teórica
básica,
explicativo.
Específico Específico Específico Variable2 Diseño de
investigación
• ¿Bajo que condiciones se
garantizará la existencia de la
solución débil de un problema
elíptico?.
• Determinar las condiciones
que garantizan la existencia de
la solución débil de un problema
elíptico.
• Existen condiciones para la
existencia de la solución débil de
un problema por el método de
Galerkin.
• dependiente Es
la solución débil
que se obtiene
al debilitar el
problema original
tomando una base
finita de Hilbert.
• Cualitativo:
descriptivo -
demostrativo.
• ¿Bajo que condiciones se
estudiará la existencia de la
solución para el problema elíptico
con la condición de Dirichlet?.
• Determinar las condiciones
que garantizan la condición de
Dirichlet.
• Existen condiciones que se van a
dar con la condición de Dirichlet.
Método de
investigación
• Inductivo-
Deductivo.
64
Juan Luis Pillaca Meneses
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
jlpmeneses@gmail.com
Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas, Especialidad Matemáticas
Actualmente estudiante de la Maestría en Docencia Universitaria
Apasionado a la investigación en las áreas de las ciencias puras, TIC,
e-learning, inclusión educativa y aprendizaje. Ponente a nivel nacional e
internacional.
Docente de diferente Institutos y Centros preuniversitarios.
Adrián Allaucca Paucar
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
adrian.allaucca@unsch.edu.pe
Licenciado en Matemática de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos,
con N° de registro 1085 del colegio de matemáticos del Perú (COMAP),
Magister en Docencia Universitaria y Gestión educativa, categoría Asociado
a dedicación exclusiva, ex docente de la Universidad Nacional Mayor de San
Marcos, actual docente de la Universidad Nacional de San Cristóbal de
Huamanga, 20 años de docente universitario.
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
https://orcid.org/0000-0001-7084-5840
daul.paiva@unsch.edu.pe
daulpaivay@gmail.com
Licenciado en Matemática por la Universidad Nacional de Piura.
Magíster en Matemática Aplicada por la Universidad Nacional de Piura.
Docente Asociado a Dedicación Exclusiva en la UNSCH. Experiencia en
Docencia Universitaria por más de 15 años en diversas universidades del
Perú. Ponente en eventos académicos nacionales e internacionales. Estudios
de Doctorado en Matemática en el Instituto de Matemática y Ciencias Anes
de la Universidad Nacional de Ingeniería. Miembro del Colegio de
Matemáticos del Perú (COMAP) con número de colegiatura 1489.
Víctor Alcides Coaquira Cárdenas.
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga.
https://orcid.org/my-orcid?orcid=0000-0003-0108-8369
victor.coaquira@unsch.edu.pe
Matemático con mención en Matemática de la universidad Nacional de San
Antonio Abab del Cusco, con número de colegiatura N° 862 del Colegio de
Matemáticos del Perú (COMAP). Magister en Docencia Universitaria por la
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga, con estudios de
Doctorado en Matemática por la Universidad Nacional del Santa. Diplomado
en Formación de Tutores por el Estado de México y el Tecnológico de
Estudios Superiores de Chimalhuacán. Docente universitario con más de 20
años de experiencia dictando cursos de Matemática en diferentes
universidades del Perú.
Savez
editorial
