Savez
editorial
Conexión principal sobre un brado principal
Alexsander Apaico Cordova
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Guillermo Jesús Zela Quispe
José Carlos Juarez Pulache
Savez
editorial
Conexión principal sobre un fibrado principal
Savez
editorial
Conexión principal sobre un fibrado principal
Alexsander Apaico Cordova
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Guillermo Jesús Zela Quispe
José Carlos Juarez Pulache
Alexsander Apaico Cordova
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Guillermo Jesús Zela Quispe
José Carlos Juarez Pulache
Conexión principal sobre un fibrado principal
ISBN:
Savez editorial
Título:
Conexión principal sobre un fibrado principal
Primera Edición: Julio 2022
Obra revisada previamente por la modalidad doble par ciego, en caso
de requerir información sobre el proceso comunicarse al correo
electrónico
editor@savezeditorial.com
Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier
medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros), sin la previa
autorización por escrito del titular de los derechos de autor, bajo las sanciones
establecidas por la ley. El contenido de esta publicación puede ser reproducido
citando la fuente.
El trabajo publicado expresa exclusivamente la opinión de los autores, de
manera que no compromete el pensamiento ni la responsabilidad del Savez
editorial
978-9942-603-65-4
A mi hermosa hija, Luciana.
Agradecimientos
A mis padres, por cultivar en mi vida valores qu e son tan necesarios para aportar
al cambio de nuestra sociedad; especialmente a mi madre por ense˜narme a luchar por
mis metas. A mi hermosa familia, qu i en es me dan fuerzas para poder continuar.
A la Universidad Nacional de San Cristobal de Hua man g a , por su gran labor en
el aporte a la educaci´on; brindando oportunidad a aquellos quienes queremos lograr
nuevos ´exitos. A los docentes de la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico-Matem´aticas
quienes en el transcurso de mis estudios supieron motivarme y dieron lo mejor de s´ı.
A todas las personas que m e apoyaron con una palabra de motivaci´on para nunca
rendirme. A aquellos que siempre creyeron en m´ı.
Resumen
El presente trabajo trata de un fibrado principal P como una estructura geom´etrica
que formaliza algunas caracter´ısticas esenciales de la geometr´ıa diferencial; en un modo
local es representando como un producto cart esi a n o U ⇥ G de un conjunto abier t o U
de una variedad M con un grupo de Lie G. Del mismo modo como en el producto
cartesiano, el fibrado principal P est´a equipado con una acci´on de G sobre P ,an´alogo
a(m, g)h =(m, gh). Esta caracteristica en su definici´on, hace que los fibrados asociados
que devienen de P sean completamente caracterizados por una representaci´on de G
en alg´un grupo de Lie de inter´es para el fibrado asociado. Adem´as se es tu d i a r ´an las
conexiones en fibrados principales, conocidas como conexiones principales, aquellas
que son una generalizaci´on de conexiones en fibrado Tangente de M; con la propiedad
esencial de ser invariantes bajo la acci´on del grupo estructural G. Y se mostrar´a que
una conexi´on principal sobre un fibrado principal induce u n a conexi´on generalizada en
cualquiera de sus fibrados asociados. Y se consigue abordar, en un modo m´as general,
muchas de l as ´areas de la geometr´ıa diferencial cuando se est ´a t r at a n d o al fibrado
principal de los referenciales Fr(E), o fibrado referencial, de un fibrado vectorial E.
Palabras-clave: Geometr´ıa diferencial, teor´ıa de fibrados, teor´ıa de conex ion es
i
Abstract
This presente work d eal s with a principal fiber bundle P as a geometric structure
that formali zes some essential characteristics of the di ↵er ential geometry; locally es
represented as a Cartesian product U ⇥ G of an open subset U of a smooth manifold
M with a Lie group G. As in the Cartesian pr oduct, the principal fiber bundle P is
equipped with an action of G on P ,analogousto(m, g) h =(m, gh). This characteristic
in its definition, makes the associated fiber bundles that co m e from P are completely
characterized by a representation of G in some Lie group of interest for the associated
bundle. In addition, the connections in principal fiber fibers, known as principal con-
nections, those that are a generalization of connections in TM, will be stud i ed ; with
the essential property of being invariant under the action of structural group G. And it
will be shown that a principal connection over a principal fiber bu n d l e induces a gene-
ralized connection in any of its associated fiber bundles. And it is possible to approach,
in a mo r e general way, many of the area s of di↵erential geom et r y when dealing wit h
the principal fiber bundle Fr(E)ofthereferentials,orreferentialbundle,ofavector
bundle E.
Keywords: Di↵erential geometry, fiber bundle theory, conections theory
iii
´
Indice general
I. Introducci´on VII
II. Marco Te´orico IX
1. Preliminares 1
1.1.
´
Algebra multilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Variedades suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Variedad suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1. Grupos de Lie y ´algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2. La aplicaci´on exponenci a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.3. Representaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2. Fibrados con grupo estructural 51
2.1. Fibrados suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1. La propiedad del producto local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. Fibrados princip a l es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Fibrados asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1. Fibrados asocia d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2. Aplicaciones eq u i variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3. Fibrado vectorial asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
v
vi
´
Indice general
3. Teor´ıa de conexiones 63
3.1. Conexiones en un fibrado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Existencia y extensi´on de conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Grupo de holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5. La forma curvatura y ecuaci´on estructural . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6. Aplicaci´on entre conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7. Teorema de la reducci´on y de holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8. Conexiones planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
III. Metodolog´ıa y conclusi´on 83
Bibliograf´ıa 87
I. Introducci´on
El t´ermino conexi´on hace su apa r i ci ´on por primera vez en un texto de 1918, cuya
autoria pertenece a Hermann Wey l , intitulado Reine Infinitesimal Geometrie; como
recordado en (Abraham y Marsden, 1978). En su secci´on 3 describe una conexi´on
af´ın com o aquel que determina para un vector dado en el punto P
0
un otro vector
infinitesimalmente pr´oximo en el punto P bajo una transformaci´on af´ı n denominada
transporte paralelo de P hacia P
0
. La transformaci´on es af´ın en el sentido de que
este preserva colinealidad y rel acion es de distancia mas no necesariamente ´angulos
olongitudes.Weylfueporm´asaldefinirlascomponentesdelaconexi´onaf´ınpor
i
rs
=
i
sr
. En la secci´on 4 Weyl defin e una conexi´on m´et ri ca como siendo una conexi´on
af´ın sobre una variedad Riemanniana donde los
i
rs
son los s´ımbolos de Christo↵el.
Weyl fue el primero en hacer una generalizaci´on exitosa. Su conexi´on af´ın generaliza
exit´osamente a la conexi´on de Levi-Civita hacia otros espacios adem ´as de la Rieman-
niana (Kol ´ar y Michor, 1993). Lo que hizo Weyl fue solamente un primer escal´on en el
proceso de g en er a l i za ci ´on.
Durante las siguientes dos d´ecadas
´
Elie Cartan ocup´o una p osi ci ´on central en el de-
sarrollo de la teor´ıa de la con ex i ´on, ya que se ocup´o de llevar la visi´on de la geomet r´ıa
de F. Klein a la geometr´ıa d i fer en ci a l . Para la ´epoca en que Einstein desarr ol l a b a la
Teor´ıa General de la Relatividad,
´
Elie Cartan ya era un experto en la teor´ıa de grupos
de Lie infinitesimales (i.e., ´algebras de Lie); con lo que ya ven´ıa trabajando por lo
menos desde 1912 (Kobayashi y Nomizu, 1963). Una vez que entr´o en contacto con la
teor´ıa de Einstein, Cartan inmedia ta m ente inici´o a trabajar con un abordage m´as gene-
ral que vincul´o la geometr´ıa diferencial a una generalizaci´on infinitesimal del programa
de Klein. Con este fin, Cartan trabaj´o con lo que llam´o espacios generalizados (espace
g´en´eralis´e). Cl´asicamente un espacio generalizado fue un espacio de espacios tangen-
tes tal que dos espacios tangentes infinitesimalmente pr´oximos est´an relacionados por
una transformaci´on infinitesimal de un grupo de Lie, i.e., un espacio con una conexi´on
(Kobayashi y Nomizu, 1963). Para la m i sm a ´epoca Weyl inici´o su propia investigaci´on
en la teor´ıa de representaciones de gru pos de Lie. Weyl us´o el c´alculo diferencial abso-
luto de Ricci, mientras que Cartan us´o su propio c´alculo de formas d i fer en c i al es , que
adem´as de caracterizar las conexiones y curvatura, permiti´o conocer el nuevo fen´omeno
de torsi´on (Kol´ar y Michor, 1993).
Fue el estudiante d e Cartan, Charles Ehresmann, qui en finalmente desentram´o y
clasific´o ex i t ´osamente todas las conexiones espec´ıficas y generalizadas que hab´ıan sur-
gido en la primera mitad del siglo 20. Co m en z´o este esfuer zo con la motivaci´on de
vii
viii Introducci
´
on
comprender las conexi on es de Cartan desde un punto de vista global (adem´as de ser
influenciado por Lie y Ernest Vessiot). Con esta finalida d Ehr esm a n n introdujo el
concepto de fibrados generales ind ependientemente de Wh i tn e y y Steenrod (Steenrod,
1951). Ehresmann public´o sus primeras anotaciones durante el periodo de 1941-1944 en
donde ´el define un fibrado principal (lo calmente trivial) y sus fibrados asociados
(tambi´en localmente triviales). Cabe mencionar que en su art´ıculo de 1943, Sur les es-
paces fibr´es associ´es ´a une vari´et´e di↵´erentiable, una variedad diferenciable es definida
por medio de un atla s de cartas locales por primera vez.
Teni´endose en cuenta que las diferentes ´areas de la geometr´ıa diferencial pueden
ser caracterizados defini´endose un tensor y l a acci´on de un cierto grupo de Lie, ac-
tuando sobre este tensor. Surgen ideas de sintetizar t odas estas ´areas y describirlas de
un modo com pa cto . As´ı ha ce aparici´on la teor´ıa de fibrados suaves. Charles Eh r es-
mann, estudiante de Elie Ca r t a n , public´o sus primeras anotaciones durante el periodo
de 1941-1944 en don d e ´el define un fibrado principal (localmente trivial) y sus fi-
brados asociados (tambi´en localmente triviales) en Sur les espaces fibr´es associ´es
´a une vari´et´e di↵´erentiable. Esto conduce al siguiente hecho fund am e ntal: describir
las diferentes ´areas de la geometr´ıa diferencial usando conexiones principales como
una generalizaci´on de las derivadas covariantes para cu a l q u i er fibrado vectorial. As´ı,
es justificada la descripci´on de todas estas ´areas de l a geometr´ıa diferencial a trav´es
de fib r ad o s principales y conexione s principales. Esto permi t e una poder os a abstrac-
ci´on y unificaci´on dentro de la geometr´ıa diferenci al . Este hecho conduce a una amplia
aplicaci´on de la geometr´ıa diferencial en diferentes ´areas de las ciencias b´asicas.
En geometr´ıa diferencial las principales estructuras geom´etricas conocida s est´an
definidas en el fibrado tangente de una variedad suave M. M´as generalmente, estas
estructuras geom´etricas est´an definidas en fibrados vectoriales E ! M. Es conocid o
que en estas estructuras el grupo de Lie asociado, en E, es el grupo lineal genera l
GL(E). Y todos los subgrupos de Lie, de GL(E), describen las diferentes estructuras
geom´etricas definibles en E. Es decir, estos grupos de Lie describen simetr´ıas en el
fibrado vectorial co n respecto a un tensor definido en E. Estas simetr´ıas devienen de
la acci´on de estos subgrupos de Lie.
Otra herramienta importante en la geometr´ıa diferencial es la definici´on de la de-
rivada covariante. Cuya generalizaci´on a fibr ad o s vectoriales es una conex i ´on. Esta
conexi´on, en fib r a d os vectoriales, describe importantes res u l ta do s geom´etricos. Enton-
ces surge una cuesti´on natural. ¿C´omo es su generalizaci´on cuando se trata de fibrados
principales?.
Es as´ı que hace aparici´on una estructura ge om´etrica m´a s ampl i a . Un fib r a d o pri n -
cipal y conexi´on sobre ´este; objetivo central de la presente t esis. Que incluye a todos
los grupos de Lie, pues es parte esencial en su definici´on e incorpor a , com o caso s
particulares, las diferentes ramas de la geomet r´ıa diferencial, topol o g´ıa y f´ısica. Estos
son los tratados que conciernen a ´este presente trabajo monogr´afico, recopilados de la
literatura contemp o r a n ea .
II. Marco Te´orico
ix
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1.
´
Algebra multilineal
Estableceremos un campo b ase F, el cual ser´a el campo de los n´umeros reales R o
el campo de los n´umeros complejos C, en nuestras aplicaciones. Seguiremos principal-
mente las ideas de (Abr a h am , R. y Marsden, J.E.; 1978) as´ı com o de (Kobayashi, S.
y Nomizu, K.; 1963) para desarrollar ´esta secci´on. Todo espacio vectorial que consi-
deraremos ser´an finito dimensionales sobre F amenosqueseestablezcalocontrario.
Definamos el producto tensorial U ⌦ V de dos espacios vectoriales U y V somo sigue.
Sea M(U, V )elespaciovectorialquetienealconjuntoU ⇥ V como base, i.e., el espacio
vectorial libre generado por los pares (u, v)dondeu 2 U y v 2 V . Sea N el subespacio
vectorial de M(U, V )generadoporelementosdelaforma
(u + u
0
,v) (u, v) (u
0
,v) , (u, v + v
0
) (u, v) (u, v
0
) ,
(ru, v) r(u, v) , (u, rv) r(u, v ) ,
donde u, u
0
2 U, v, v
0
2 V y r 2 F. Haciendo U ⌦ V = M(U, V )/N . Para cada par
(u, v)consideradocomounelementodeM(U, V ), su imagen bajo la proyecci´on natural
M(U, V ) ! U ⌦ V ser´a denotado por u ⌦ v. Se define la aplicaci´on bilineal can´onica '
de U ⇥ V hacia U ⌦ V por
'(u, v)=u ⌦ v para (u, v) 2 U ⇥ V.
Sea W un espacio vectorial y : U ⇥ V ! W una aplicaci´on bi l i n ea l. Decimos
que el par (W, )tienelapropiedad de factorizaci´on universal para U ⇥ V si para
cada espacio vectorial S y cada aplicaci´on bilineal f : U ⇥ V ! S, existe una ´unica
aplicaci´on lineal g : W ! S tal que f = g .
Proposici´on 1.1 E l par (U ⌦ V,') tiene la propiedad de la factorizaci´on universal
para U ⇥ V . Si el par (W, ) tiene la propiedad de factorizaci´on universal para U ⇥ V ,
entonces (U ⌦ V,') y (W, ) son isomorfos en el sentido de que existe un isomorfismo
lineal : U ⌦ V ! W tal que = '.
1
2 Preliminares
Demostraci´on: Sea S cualqu i er espacio vectorial y f : U ⇥ V ! S cual q ui er apli-
caci´on bilinea l . Puesto que U ⇥ V es una base para M(U, V ), podemos extender f a
una ´unica aplicaci´on lin ea l f
0
: M(U, V ) ! S. Como f es bilineal, f
0
es nulo sobre
N. Adem´as, f
0
induce una apl i ca ci ´on lineal g : U ⌦ V ! S. Obviamente, f = g '.
La unicidad de tal aplicaci´on g sigue del hecho de que '(U ⇥ V )generaU ⌦ V . Sea
(W, )unparquetienelapropiedaddelafactorizaci´onuniversalparaU ⇥ V .Porla
propiedad de factorizaci´on universal de (U ⌦ V,')(respectivamentede(W, )), existe
una ´unica aplicaci´on lineal : U ⌦ V ! W (respectivamente ⌧ : W ! U ⌦ V ) tal que
= ' (respectivamente ' = ⌧ ). Por tanto, ' = ⌧ ' y = ⌧ . Usando
la unicidad d e g en la definici´on de la propiedad de factorizaci´on universal, concluimos
que ⌧ y ⌧ son transformaciones identidad de U ⇥ V y W respectivamente.
2
Proposici´on 1.2 E xiste un ´unico isomorfismo de U ⌦ V hacia V ⌦ U el cual env´ıa
u ⌦ v hacia v ⌦ u para todo u
2
U y v
2
V .
Demostraci´on: Sea f : U ⇥ V ! V ⌦ U una aplicaci´on bilineal defin i d a por
f(u, v)=v ⌦ u. Por la proposici´on 1.1, existe una ´unica aplicaci ´on lineal
g : U ⌦ V ! V ⌦ U tal que g(u ⌦ v)=v ⌦ u. De modo semejante, existe u n a ´uni-
ca aplicaci´on lin eal g
0
: V ⌦ U ! U ⌦ V tal que g
0
(v ⌦ u)=u ⌦ v. Evid´entemente, g
0
g
y g g
0
son transformaciones i d entidad de U ⌦ V y V ⌦ U respectivamente. Por tanto,
g es el isomorfismo deseado.
2
La prueba de las siguientes dos proposicion es son similares y por tanto omitidas.
Proposici´on 1.3 Si consideramos al campo base F como un espacio vectorial 1dimen-
sional sobre F, hay un ´unico isomorfismo de F ⌦ U sobre U el cual env´ıa r ⌦ u hacia
ru para todo r
2
F y u
2
U. Similarmente para U ⌦ F y U.
Proposici´on 1.4 E xiste un ´unico isomorfismo de (U ⌦ V ) ⌦ W sobre U ⌦ (V ⌦ W ),
el cual env´ıa (u ⌦ v) ⌦ w hacia u ⌦ (v ⌦ w) para todo u
2
U, v
2
V y w
2
W .
Por lo tanto, se escribe por practicidad U ⌦ V ⌦ W . Dados los espacios vectoriales
U
1
,...,U
k
, el producto tensorial U
1
⌦ ···⌦ U
k
puede ser definido inductivamente. Sea
' : U
1
⇥ ···⇥ U
k
! U
1
⌦ ···⌦ U
k
una aplicaci´on multilineal el cual env´ıa (u
1
,...,u
k
)
hacia u
1
⌦ ··· ⌦ u
k
. Entonces, como en la proposici´on 1.1, el par (U
1
⌦···⌦U
k
, ')puede
ser caracterizado por la propiedad de la factorizaci´on universal para U
1
⇥ ···⇥ U
k
.
La proposici´on 1.2 tambi´en puede ser generalizado. Para cualquier permutaci´on ⇡
de (1,...,k), existe un ´unico isomorfismo de U
1
⌦ ···⌦ U
k
sobre U
⇡(1)
⌦ ···⌦ U
⇡(k)
el
cual env´ıa u
1
⌦ ··· ⌦ u
k
hacia u
⇡(1)
⌦ ··· ⌦ u
⇡(k)
.
Proposici´on 1.5 D adas las aplicaciones lineales f
j
: U
j
! V
j
,j =1, 2, existe una
´unica aplicaci´on lineal f : U
1
⌦ U
2
! V
1
⌦ V
2
tal que f(u
1
⌦ u
2
)=f
1
(u
1
) ⌦ f
2
(u
2
) para
todo u
1
2
U
1
y u
2
2
U
2
.
1.1
´
Algebra multilineal 3
Demostraci´on: Considerand o la aplicaci´on b i l in eal U
1
⇥ U
2
! V
1
⌦ V
2
el cual env´ıa
(u
1
,u
2
)haciaf
1
(u
1
) ⌦ f
2
(u
2
)yaplicandolaproposici´on1.1.
2
La general i z aci ´on de la proposici´on 1.5 al caso con m´as de dos aplicaciones es obvia.
La aplicaci´on f obtenida ser´a denotada por f
1
⌦ f
2
.
Proposici´on 1.6 Si U
1
+ U
2
denota la suma directa de U
1
y U
2
, entonces
(U
1
+ U
2
) ⌦ V = U
1
⌦ V + U
2
⌦ V.
semejante,
U ⌦ (V
1
+ V
2
)=U ⌦ V
1
+ U ⌦ V
2
.
Demostraci´on: Sean i
1
: U
1
! U
1
+ U
2
e i
2
: U
2
! U
1
+ U
2
inyectivas. Sean
p
1
: U
1
+ U
2
! U
1
y p
2
: U
1
+ U
2
! U
2
proyecciones. Entonces p
1
i
1
y p
2
i
2
son las
transformaciones identidad de U
1
y U
2
respectivamente. Por la proposici´on 1.5, i
1
yla
transformaci´on de V induce una aplicaci´on lineal
¯
i
1
: U
1
⌦V ! (U
1
+U
2
)⌦V .Demodo
similar,
¯
i
2
, ¯p
1
y¯p
2
son definidas. Est o implica que ¯p
1
¯
i
1
y¯p
2
¯
i
2
son las transformaci ones
identidad de U
1
⌦V y U
2
⌦V respectivamente y ¯p
2
¯
i
1
y¯p
1
¯
i
2
son las aplicaciones cero.
Esto prueba al primer isomor fi sm o. La prueba para el segundo es simil ar .
2
Por inducci´on, obtenemos
(U
1
+ ···+ U
k
) ⌦ V = U
1
⌦ V + ···+ U
k
⌦ V.
Proposici´on 1.7 Si u
1
,...,u
m
es una base para U y v
1
,...,v
n
es una base para V ,
entonces { u
i
⌦ v
j
| i =1,...,m; j =1,...,n } es una base para U ⌦ V . En particular,
dim U ⌦ V =dimU dim V .
Demostraci´o n: Sea U
i
un subespacio 1dimensional de U generado por u
i
y V
j
el
subespacio 1dimensional de V generado por v
j
. Por la proposici´on 1.6,
U ⌦ V =
X
i,j
U
i
⌦ V
j
.
Por la proposici´on 1.3, cada U
i
⌦ V
j
es un espacio vectorial 1dimensional gen er a d o
por u
i
⌦ v
j
.
2
Para un espacio vectorial U, denotemos por U
⇤
al espacio vectorial dual de U.Para
u
2
U y u
⇤
2
U
⇤
, hu, u
⇤
i denotar´a al valor del funcional lineal u
⇤
sobre u.
Proposici´on 1.8 Sea L(U
⇤
,V) el espacio vectorial de aplicaciones lineales de U
⇤
hacia
V . Entonces existe un ´unico isomorfismo g de U ⌦ V sobre L(U
⇤
,V) tal que
(g(u ⌦ v))u
⇤
= hu, u
⇤
iv para todo u
2
U, v
2
V y u
⇤
2
U
⇤
.
4 Preliminares
Demostraci´o n: Consid´erese la aplicaci´on bilineal f : U ⇥ V ! L(U
⇤
,V)definida
por (f(u, v))u
⇤
= hu, u
⇤
iv yaplicandolaproposici´on1.1.Entoncesexisteuna´unica
aplicaci´on lineal g : U ⌦ V ! L(U
⇤
,V)talque(g(u, v))u
⇤
= hu, u
⇤
iv.Paraprobarque
g es un isomorfismo, sea u
1
,...,u
m
una ba se para U, u
⇤
1
,...,u
⇤
m
la base dual para U
⇤
y v
1
,...,v
n
una base p a r a V . Deberemos mostrar que
{ g(u
i
⌦ v
j
) | i =1,...,m; j =1,...,n }
es linealmente in d ependiente. Si
P
a
ij
g(u
i
⌦ v
j
)=0dondea
ij
2
F, entonces
0=
⇣
X
a
ij
g(u
i
⌦ v
j
)
⌘
u
⇤
k
=
X
a
kj
v
j
y, p or tanto, to do a
ij
se anula. Puesto que dim U ⌦ V =dimL(U
⇤
,V), g es un isomor-
fismo de U ⇥ V sobre L(U
⇤
,V).
2
Proposici´on 1.9 D ados dos espacios vectoriales U y V , existe un ´unico isomorfismo
g de U
⇤
⌦ V
⇤
sobre (U ⌦ V )
⇤
tal que
(g(u
⇤
⌦ v
⇤
))(u ⌦ v)=hu, u
⇤
ihv, v
⇤
i
para todo u
2
U, u
⇤
2
U
⇤
,v
2
V,v
⇤
2
V
⇤
.
Demostraci´o n: Aplicando la proposici´on 1.1 a la aplicaci´on bilineal
f : U
⇤
⇥ V
⇤
! (U ⌦ V )
⇤
definida por (f(u
⇤
,v
⇤
))(u ⌦ v)=hu, u
⇤
ihv, v
⇤
i.Parapro-
bar que g es u n isomorfismo, tomamos bases para U, V, U
⇤
y V
⇤
; y procedemos como
en la proposi ci ´on 1.8.
2
Ahora definiremos varios espacios tensoriale s sob re un espa ci o vectorial fijado V .
Para un entero positivo r, denominaremos a T
r
= V ⌦ ··· ⌦ V (r veces producto
tensorial) como el espacio tensorial contravariante de grado r. Un elemento de T
r
ser´a
llamado de tensor contravariante de grado r.Sir =1,T
1
no es nadie m´as que V .Por
convenci´on, consideraremos que T
0
es el campo base F. Similarmente, T
s
= V
⇤
⌦···⌦V
⇤
(s veces producto tensorial) es denominado como el espacio tensor ial covariante de
grado s ysuselementostensores covariantes de grado s. Entonces T
1
= V
⇤
y, por
convenci´on, T
0
= F.
Deberemos expresar esto s tensores en t´erminos de una base de V . Sea e
1
,...,e
n
una
base para V y e
1
,...,e
n
la base dual para V
⇤
. Por la proposici´on 1.7,
{ e
i
1
⌦ ··· ⌦ e
i
r
| 1 6 i
1
,...,i
r
6 n } es una base para T
r
. Cada tensor K contra-
variante de grado r puede ser expresado de modo ´unico como una combinaci´on l i n ea l
K =
X
i
1
,...,i
r
K
i
1
···i
r
e
i
1
⌦ ··· ⌦ e
i
r
,
1.1
´
Algebra multilineal 5
donde K
i
1
···i
r
son las componentes de K con respecto a la base e
1
,...,e
n
de V .De
modo sim i l a r , cada tensor L covariante de grado s puede ser expresado ´un i ca m ente
como una combinaci´on lineal
L =
X
j
1
,...,j
s
L
j
1
···j
s
e
j
1
⌦ ··· ⌦ e
j
s
,
donde L
j
1
...j
r
son las componentes de L.
Para un cambio de base de V , las componentes de tensores est´an sujetas a las
siguientes transformaciones. Sean e
1
,...,e
n
y¯e
1
,...,¯e
n
dos bases de V relacionados
por la t r a n sfo r m a ci ´on
¯e
i
=
X
j
A
j
i
e
j
,i=1,...,n .
El correspondiente cambio de bases de la b ase dual en V
⇤
es dada por
¯e
i
=
X
j
B
i
j
e
j
,i=1,...,n ,
donde B =(B
i
j
)eslamatrizinversadelamatrizA =(A
i
j
), as´ı
X
j
A
i
j
B
j
k
=
i
k
.
Si K es un tensor contravari ante de grado r, y sus componentes, K
i
1
···i
r
y
¯
K
i
1
···i
r
,
con respecto a { e
i
} y { ¯e
i
} respectivamente est´an relacionados por
¯
K
i
1
···i
r
=
X
j
1
,...,j
r
A
i
1
j
1
···A
i
r
j
r
K
j
1
···j
r
.
De modo simila r , las componentes de un tensor L covariante d e grado s est´an relacio-
nados por
¯
L
i
1
···i
s
=
X
j
1
,...,j
s
B
j
1
i
1
···B
j
s
i
s
L
j
1
···j
s
.
Definamos al espacio tensorial del tipo (r, s), o espacio tensorial de grado contrava-
riante r y de grado covariante s, como el producto tensorial
T
r
s
= T
r
⌦ T
s
= V ⌦ ···⌦ V ⌦ V
⇤
⌦ ···⌦ V
⇤
.(V : r veces, V
⇤
: s veces). En particular,
T
r
0
= T
r
, T
0
s
= T
s
y T
0
0
= F. Un elemento de T
r
s
es llamado un tensor del tipo (r, s),
o tensor de grado contravariante r y de grado covariante s. En t´erminos de una base
e
1
,...,e
n
de V ybaseduale
1
,...,e
n
de V
⇤
, cada tensor K del tipo (r, s)puedeser
expresado de m od o ´unico como
K =
X
i
1
,...,i
r
,j
1
,...,j
s
K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
e
i
1
⌦ ··· ⌦ e
i
r
⌦ e
j
1
⌦ ··· ⌦ e
j
s
.
6 Preliminares
donde K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
son llamados las componentes de K con r especto a la base e
1
,...,e
n
.Para
un cambio d e base ¯e
i
=
P
j
A
j
i
e
j
, tenemos la siguiente transformaci´on de compo n entes:
¯
K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
=
X
A
i
1
k
1
···A
i
r
k
r
B
m
1
j
1
···B
m
s
j
s
K
k
1
···k
r
m
1
···m
s
. (1.1)
Sea T =
L
1
r,s=0
T
r
s
, as´ı que un elemento de T es de la forma
P
1
r,s=0
K
r
s
,don-
de K
r
s
2 T
r
s
son cero excepto par a un n´umero finito de ellos. Deberemos tor n ar a
T una ´algebra asociativa sobre F, definiendo el producto de dos tensores K 2 T
r
s
y L 2 T
p
q
como sigue. De la propiedad de factorizaci´on universal del prod u ct o ten-
sorial, implica que existe una ´unica aplicaci´on bilineal de T
r
s
⇥ T
p
q
sobre T
r+p
s+q
el
cual env´ıa (v
1
⌦ ··· ⌦ v
r
⌦ v
⇤
1
⌦ ··· ⌦ v
⇤
s
,w
1
⌦ ··· ⌦ w
p
⌦ w
⇤
1
⌦ ··· ⌦ w
⇤
q
) 2 T
r
s
⇥ T
p
q
hacia
v
1
⌦ ··· ⌦ v
r
⌦ w
1
⌦ ··· ⌦ w
p
⌦ v
⇤
1
⌦ ··· ⌦ v
⇤
s
⌦ w
⇤
1
⌦ ··· ⌦ w
⇤
q
2 T
r+p
s+q
. La imagen de
(K, L) 2 T
r
s
⇥ T
p
q
por esta aplicaci´on bilineal ser´a denot ad o por K ⌦ L. En t´ermi-
nos de componentes, si K es dado por K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
y L es dado por L
k
1
···k
p
m
1
···m
q
, entonces
(K ⌦ L)
i
1
···i
r+p
j
1
···j
s+q
= K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
L
i
r+1
···i
r+p
j
s+1
···j
s+q
.
Ahora definiremos la contracci´on. Sea r, s > 1. Para cada par de enteros (i, j)tal
que 1 6 i 6 r y16 j 6 s, asocia m o s una aplicaci´on lineal, denominada la contracci´on
ydenotadaporC,deT
r
s
sobre T
r1
s1
el cual env´ıa v
1
⌦ ··· ⌦ v
r
⌦ v
⇤
1
⌦ ··· ⌦ v
⇤
s
hacia
hv
i
,v
⇤
j
iv
1
⌦ ··· ⌦ v
i1
⌦ v
i+1
⌦ ··· ⌦ v
r
⌦ v
⇤
1
⌦ ··· ⌦ v
⇤
j1
⌦ v
⇤
j+1
⌦ ··· ⌦ v
⇤
s
,
donde v
1
,...,v
r
2
V y v
⇤
1
,...,v
⇤
s
2
V
⇤
. La uni ci d a d y existencia de C sigue de la pro-
piedad de factorizaci´on universal del producto tensorial. En t´ermin o s de componentes,
la contracci´on C lleva un tensor K 2 T
r
s
con componentes K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
hacia un t en so r
CK 2 T
r1
s1
cuyos componentes son dados por
(CK)
i
1
···i
r1
j
1
···j
s1
=
X
k
K
i
1
···k···i
r
j
1
···k···j
s
,
donde el super´ındice k aparece en la i´e s i m a p o s i c i ´o n y e l s u b ´ı n d i c e k aparece en la
j´e s i m a p o s i c i ´o n .
Ahora deberemos interpretar tensores como aplicaciones multilineales.
Proposici´on 1.10 T
s
es isomorfo, de manera natural, al espacio vectorial de todas las
aplicaciones slineales de V ⇥ ···⇥ V hacia F.
Proposici´on 1.11 T
r
es isomorfo, de manera natural, al espacio vectorial de todas
las aplicaciones rlineales de V
⇤
⇥ ···⇥ V
⇤
hacia F.
Demostraci´o n: Probarem os s´olo l a proposici ´on 1.10. Generalizando la proposici´on 1.9,
vemos que T
r
= V
⇤
⌦ ···⌦ V
⇤
es el espacio vectorial dual de T
r
= V ⌦ ···⌦ V .Por
otro lado, sigue de la propiedad de factorizaci´on universal del p r od u c to ten so r i al que
1.1
´
Algebra multilineal 7
el espacio de aplicaciones lineales de T
r
= V ⌦ ···⌦ V hacia F es isomorfo al espacio
de aplicaciones rlineales de V ⇥ ···⇥ V hacia F.
2
Siguiendo la interpretaci´on de la proposici´on 1.10, consideramos un tensor K 2 T
s
como una aplicaci´on sl i n ea l V ⇥ ···⇥ V ! F yescribimosK(v
1
,...,v
r
) 2 F para
v
1
,...,v
r
2
V .
Proposici´on 1.12 T
1
r
es isomorfo, de un modo natural, al espacio vectorial de todas
las aplicaciones rlineales de V ⇥ ···⇥ V hacia V .
Demostraci´o n: T
1
r
es, por defi n i ci´on, V ⌦ T
r
el cual es canonicamente isomorfo con
T
r
⌦ V . Por la proposici´on 1.8, T
r
⌦ V es isomorfo al espacio de aplicaciones lineales
del espacio dual de T
r
, que es T
r
,haciaV . Tambi´en, por la propiedad de factorizaci´on
universal del prod u ct o tensorial, el espacio de aplicaciones lineales de T
r
hacia V puede
ser identificado con el espacio de aplicaciones rlineales de V ⇥ ···⇥ V hacia V .
2
Con esta interpretaci´on, cualquier tensor K d el tipo (1,r) es una apl i c aci ´on rlineal
de V ⇥···⇥V ha ci a V el cual lleva (v
1
,...,v
r
)haciaK(v
1
,...,v
r
) 2 V .Sie
1
,...,e
n
es
una base para V , entonces K =
P
K
i
j
1
···j
r
e
i
⌦ e
j
1
⌦ ··· ⌦ e
j
r
corresponde a una aplicaci´on
rlineal de V ⇥ ···⇥ V ha ci a V tal que K(e
j
1
,...,e
j
r
)=
P
i
K
i
j
1
···j
r
e
i
.
Ejemplo 1.1 Si v
2
V y v
⇤
2
V
⇤
, entonces v ⌦ v
⇤
es un tensor del tipo (1, 1). La con-
tracci´on C : T
1
1
! F lleva v ⌦ v
⇤
hacia hv, v
⇤
i. En general, un tensor K del tipo (1, 1)
puede ser considerado como un endomorfismo linea l de V ylacontracci´onCK de K es
entonces el trazo del correspondiente endomorfismo. En efecto, si e
1
,...,e
n
es una base
para V y K tiene componentes K
i
j
con respecto a esta base, entonces el endomorfismo
correspondiente a K env´ıa e
j
hacia
P
i
K
i
j
e
i
. Cl´aramente, el tr a zo de K ylacontracci´on
CK de K son ambos iguales a
P
i
K
i
i
.
Ejemplo 1.2 Un producto interior g sobre un espacio vectorial real V es un tensor
covariante de grado 2 el cual satisface (1) g(v, v) > 0yg(v, v)=0siys´olosiv =0
(positivo definido) y (2) g(v, u)=g(u, v)(sim´etrico).
Sea T (U)yT (V ) ´algebras tensoriales sobre los espacios vectoriales U y V .SiA es
un isomor fi sm o de U sobre V , entonces su transpuesta A
⇤
es un isomorfismo lineal de
V
⇤
sobre U
⇤
y A
⇤1
es un isomorfismo lineal de U
⇤
sobre V
⇤
. Por la proposici´on 1.4,
obtenemos un isomorfismo lineal A ⌦ A
⇤1
: U ⌦ U
⇤
! V ⌦ V
⇤
. En general, obtenemos
un isomorfismo lineal de T (U)sobreT (V )elcualtransformaT
r
s
(U)sobreT
r
s
(V ). Este
isomorfismo, llamado la extensi´on de A ydenotadoporlamismaletraA, es el ´unico
isomorfismo entre la s ´algebras T (U) ! T (V )elcualextiendeA : U ! V ; la unicidad
sigue del hecho de que T (U)esgeneradoporF,U y U
⇤
. Es tambi´en facil de verificar
que la extensi´on de A conmuta con cualquier contracci´on C.
8 Preliminares
Proposici´on 1.13 Existe una correspondencia 1:1 natural entre los isomorfismos de
una espacio vectorial U sobre otro espacio vectorial V y el isomorfismo de ´algebras de
T (U) sobre T (V ) el cual preserva tipo y conmuta contracciones.
En particular, el grupo de automorfismos de V es isomorfo, de manera natural, con el
grupo de automorfismos del ´algebra tensorial T (V ) el cual preserva tipo y conmuta con
contracciones.
Demostraci´o n: Solamente tenemos que pro b a r que cada isomorfismo de ´algebras,
digamos f,deT (U)sobreT(V ) proviene de u n isomorfismo A de U sobre V , teniendo
en cuenta que f pr eser va tipo y conmuta con contracciones. Puesto que f preserva
tipo, este lleva T
1
0
(U)=U isom´orfica m ente a T
1
0
(V )=V . Denotando la restricci´on de
f hacia U por A. Como f transforma cada elemento del campo F = T
0
0
en s´ı mismo y
conmuta con cada contracci´on C, tenemos, para tod o u 2 U y u
⇤
2 U
⇤
,
hAu, fu
⇤
i = hfu,fu
⇤
i = C(fu⌦ fu
⇤
)=C( f (u ⌦ u
⇤
))
= f(C(u ⌦ u
⇤
)) = f(hu, u
⇤
i)= hu, u
⇤
i .
Por tanto, fu
⇤
= A
⇤1
. La extensi´on de A y f coinciden sobre F,U y U
⇤
. Puesto que
el ´algebra tensorial T (U)esgeneradoporF,U y U
⇤
, f coincide con la ext en si´on de A.
2
Sea T el ´algebra tensorial sobre un esp aci o vectorial V . Un endomorfismo lineal D
de T es denomin ad a una derivaci´on si satisface las siguientes condiciones:
(a) D preserva tipo, i.e., D lleva T
r
s
en s´ı misma;
(b) D(K ⌦ L)=DK ⌦ L + K ⌦ DL para todos los tensores K y L;
(c) D conmuta con toda contracci´on C.
El conjunto de de ri vaciones de T form a un espacio vectorial. Este forma un ´algebra
de Lie si hacemos [D, D
0
]=DD
0
D
0
D para cu a l esq u i er a derivaciones D y D
0
.Demodo
similar, el conjunto de endomorfismos lineales sobre V forma un ´algebra de Lie. Puesto
que una derivaci´on D lleva T
1
0
= V en s´ı misma por ( a) , este induce un endomorfismo,
digamos B, sobre V .
Proposici´on 1.14 El ´algebra de Lie de derivaciones de T (V ) es isomorfo con el ´alge-
bra de Lie de endomorfismos de V . E l isomorfismo es dado por la asignaci´on de cada
derivaci´on con su restricci´on a V .
Demostraci´o n: Es claro que D ! B es un homomorf´ısmo de ´algebras de Lie. De
(b) sigue f´acilmente que D lleva cada elemento de F sobre 0. Por tanto, par v
2
V y
v
⇤
2
V
⇤
, tenemos
0=D(hv, v
⇤
i)= D(C(v ⌦ v
⇤
)) = C( D(v ⌦ v
⇤
))
= C(Dv ⌦ v
⇤
+ v ⌦ Dv
⇤
)=hDv, v
⇤
i + hv, Dv
⇤
i .
1.2 Variedades suaves 9
Puesto que Dv = Bv, Dv
⇤
= B ⇤ v
⇤
donde B
⇤
es la transpuesta de B. Como T es
generado por F, V y V
⇤
, D es ´unicamente determinado por su restricci´on a F, V ,y
V
⇤
. Esto impl i ca que D ! B es inyectivo. Rec´ıprocamente, dado un endomorfismo B
de V , definam o s Da =0paraa
2
F, Dv = Bv para v
2
V y Dv
⇤
= B
⇤
v
⇤
para v
⇤
2
V
⇤
y, entonces, extendiendo D a una derivaci´on de T por (b). La existen ci a de D sigue de
la propiedad de factorizaci´on universal del producto tensorial.
2
Ejemplo 1.3 S ea K un tensor del tipo (1,1) y considere este como un endomorfismo
de V . Entonces el automorfismo de T (V )inducidoporunautomorfismoA de V que
lleva al tensor K hacia el tensor AKA
1
. Por otro lado, la derivaci´on de T (V )inducida
por un en d om o r fi sm o B de V lleva K sobre [B, K]=BK KB .
1.2. Variedades suaves
1.2.1. Variedad suave
´
Esta secci´on est´a basado en (Abraham, R. y Marsden, J.E.; 1978) y (Kobayashi, S.
y Nomizu, K.; 1963).
Un pseudogr upo de transformaciones sobre un espacio topol´ogico T es un conjun-
to A de transformaciones qu e satisface los siguientes axioma s:
(1) Cada f 2 A es un homeomorfismo de un conjunto ab ier t o (denominado el dominio
de f)deA sobre otro conjunto abierto (den om i n ado el rango de f)deA;
(2) Si f 2 A, entonces la restricci´on de f aunsubconjuntoabiertoarbitrariodel
dominio de f, est´a en A;
(3) Si U =
S
i
U
i
donde cada U
i
es un conjunto abierto de T . Un homeomorfismo f
de U sobre un conjunto abierto de T pertenece a A, si la restricci´on de f a U
i
est´a en A para cada i;
(4) Para cada conjunto abierto U de T , la tr a n sfo r m a ci ´on identidad de U est´a en A;
(5) Si f 2 A, entonces f
1
2 A;
(6) Si f 2 A es un homeomorfismo de U sobre V y f
0
2 A es un homeomorfismo de U
0
sobre V
0
ysiV \ U
0
es no vacio, entonces el homeomorfismo f
0
f de f
1
(V \ U
0
)
sobre f
0
(V \ U
0
), est´a en A.
Daremos algunos ejemplos de pseudogrupos los cuales ser´a usados en este presente
trabajo. Sea R
n
el espacio de las nuplas d e n´umeros reales (x
1
,...,x
n
)conlatopo-
log´ıa usual. Una aplicaci´on f de un conjunto abierto de R
n
sobre R
m
es denominado
de clase C
r
, r =1, 2 ,...,1, si f es continuamente r veces diferenciable. Decimos que
f es de clase C
0
cuando f es continua. Por clase C
1
queremos decir que f es real y
10 Preliminares
anal´ıtico. El pseudogrupo A
r
(R
n
) de transformaciones de clase C
r
de R
n
es el conjunto
de homeomo r fi sm o s f de un conjunto abierto de R
n
sobre un conjunto abi er to de R
n
tal que ambos f y f
1
son de clase C
r
. O bviamente A
r
(R
n
)esunpseudogrupode
transformaciones de R
n
.Sir<s, entonces A
s
(R
n
)esunsubpseudogrupodeA
r
(R
n
).
Si consideramos s´olo estos f 2 A
r
(R
n
) cuyos Jacobianos son positivos en todas pa rtes ,
obtenemos un subpseudogrupo de A
r
(R
n
). Este pseudogrupo, denotado por A
r
0
(R
n
),
es denominado el pseudogrupo de transformaciones que preserva orientaci´on de cla-
se C
r
de R
n
. Sea C
n
el espacio de nuplas de n´um er o s co m p l ejo s co n la topolog´ıa
usual. El pseudogrupo de transformaciones holomorfas (i.e., complejos anal´ıticos) de
C
n
puede ser definido de modo similar y ser´a denotado por A(C
n
). Deberemos iden-
tificar C
n
con R
2n
, cuando fuera necesario, bajo la aplicaci´on (z
1
,...,z
n
) 2 C
n
hacia
(x
1
,...,x
n
,y
1
,...,y
n
) 2 R
2n
,dondez
j
= x
j
+ iy
j
. Sobre esta identificaci´on, A(C
n
)es
un subpseudogrupo de A
r
0
(R
2n
)paracualquierr.
Un ´atlas de un espacio topol´ogi co M com pat i b l e con un p seu d ogr upo A es una
familia de p ar es (U
i
, '
i
), llamados cartas, tales que
(a) Cada U
i
es un conjunto abierto de M y
S
i
U
i
= M;
(b) Cada '
i
es un homeo m o rfismo de U
i
sobre un conju nto abierto de T ;
(c) Siempre que U
i
\ U
j
sea no vacio, la aplicaci´on '
j
'
1
i
de '
i
(U
i
\ U
j
)sobre
'
j
(U
i
\ U
j
)esunelementodeA.
Un ´atlas completo de M compatible con A es un ´atlas de M compatible con A el
cual n o est´a contenido en ning´un otro ´atlas de M compatib le con A. Cada ´atlas de M
compatible con A es t´a contenido en un ´uni co ´atlas com p let o de M compatible con A.
En efecto, dado un ´atlas A = {(U
i
, '
i
)} de M compatibl e con A, sea
˜
A una familia de
pares (U, ')talque' es un homeomo r fi sm o de un conjunto abi er t o U de M sobre un
conjunto abierto de T yque
'
i
'
1
: '(U \ U
i
) ! '
i
(U \ U
i
)
es un elemento de A siem p re que U \ U
i
sea no vacio. Entonces
˜
A es el ´atlas completo
conteniendo A.
Si A
0
es un subpseudogrupo de A, entonces un ´at l a s de M compatible con A
0
es
compatible con A.
Una variedad suave de clase C
r
es un espacio de Hausdor↵ con un ´atlas completo,
pr´efijado, compatible con A
r
(R
n
). El entero n es den om i n ad o como la dimensi ´on de la
variedad. Cualquier ´atlas de un espacio de Hausdor↵ compatible con A
r
(R
n
), ampliando
hacia un ´at l as completo, se define una estru ct u r a diferenciable de clase C
r
. Puesto que
A
r
(R
n
) ⇢ A
s
(R
n
)parar<s, una estructura diferenciable de clase C
s
define de m odo
´u n i c o u n a e s t r u c t u r a d i f e r e n c i a b l e d e c l a s e C
r
. Una variedad suave, tambi´en dich o
diferenciable, de cla se C
!
es tamb i´en denominada una variedad real anal´ıtica.Alolargo
de todo el presente trabajo deberemos considerar variedades suaves de clase C
1
.Por
una variedad suave, variedad diferenciable o, simplemente, variedad, nos referiremos a
1.2 Variedades suaves 11
variedades diferenciables de clase C
1
. Una variedad compleja (anal´ıtica) de dimensi´on
compleja n es un espacio de Hausdor↵ con un ´atlas completo, pr´efijado, compatible
con A(C
n
). Una variedad suave orientada de clase C
r
es u n espa cio de Hausdo r ↵ con
un ´at l a s, pr´efijado , compatible con A
r
0
(R
n
).
Para cualquier estructura bajo consideraci´on (por ejemplo estructura diferenciable
de clase C
r
), una carta admisible es una carta que pertenece a un ´atlas pr´efijado com-
pleto definiendo la estr u ct u r a . De ahor a en adel a nte, una car t a se entender´a como una
carta admisible. Dada una carta admisible (U
i
, '
i
)deunavariedadMndimensional
de clase C
r
, el sistema de fun ci o n es x
1
',...,x
n
' definidas sobre U
i
son llamados
como sistema de coordenadas locales sobre U
i
. Decimos que U
i
es un entorno coorde-
nado. Para cada punto p 2 M, es posible encontrar una carta (U
i
, '
i
)talque'
i
(p)
est´e en el origen de R
n
y '
i
sea un homeomorfismo de U
i
sobre un conjunto abier t o
de R
n
definido por |x
1
| < a, . . . , |x
n
| <apara alg´un n´um er o positivo a. U
i
es entonces
denominado como una vecindad cubo de p.
Dadas dos variedades M y M
0
de clase C
r
, una aplicaci´on f : M ! M
0
es dicha
diferenciable de clase C
k
, k 6 r, si, para cada carta (U
i
, '
i
)deM y cualquier carta
(V
j
,
j
)deM
0
tal que f(U
i
) ⇢ V
j
, la aplicaci´on
j
f '
1
i
de '
i
(U
i
)sobre
j
(V
j
)es
diferenciable de clase C
k
.Siu
1
,...,u
n
es un sistema de coordenadas locales en U
i
y
v
1
,...,v
m
es un sistema de coordenadas en V
j
, entonces f pued e ser expresado por un
conjunto de funciones diferenciables de clase C
k
:
v
1
= f
1
(u
1
,...,u
n
) ,...,v
m
= f
m
(u
1
,...,u
n
) .
Por una aplicaci´on diferenciable nos referiremos a aplicacio n es de clase C
1
. Un a funci ´on
diferenciable de cl a se C
k
sobre M es una aplicaci´on de clase C
k
de M sobr e R.La
definici´on de aplicaciones holomorfas recibe un tratamiento similar.
Por una curva diferenciable de clase C
k
en M, entendemos que se trata de una
aplicaci´on diferenciable de clase C
k
de un intervalo cerrado [a, b] ⇢ R sobre M, es decir,
la restricci´on de u n a aplicaci´on diferenciable de cl a se C
k
de un intervalo, conteniendo
[a, b], hacia M. Ahora definiremos un vector tangente (o simplemente vector)enel
punto p de M. Sea F(p)el´algebradefuncionesdiferenciablesdeclaseC
1
definidos en
una vecindad de p . Sea x(t)unacurvadeclaseC
1
, a 6 t 6 b, tal que x(t
0
)=p. El
vector tangente a la curva x(t)enp es una aplicaci´on X : F(p) ! R definida por
Xf =
✓
df (x(t))
dt
◆
t
0
.
En ot r as palabras, Xf es la derivada de f en la direcci´on de la curva x(t)ent = t
0
.
El vector X satisface las siguientes condiciones:
(1) X es un a aplicaci´on lineal de F hacia R ;
(2) X(fg)=(Xf)g(p)+f(p)(Xg)paraf, g 2 F(p).
El conjunto d e apl icaci on es X de F(p)haciaR satisfaciendo estas dos condiciones for-
ma un espacio vectorial real. Ahora deberemos mostrar que el conjunto de vectores
12 Preliminares
en p es un subesp aci o vectorial de dimensi´on n,donden es la dimensi´on de M. Sea
u
1
,...,u
n
un sistema de coordenadas locales U de p. Para cada j,(@/@u
j
)
p
es una apli-
caci´on de F(p)haciaR el cual satisface las condici o n es (1) y (2) anteriores. Deberemos
mostrar que el conjunto de vectores en p es el espacio vectorial que tiene como base
a(@/@u
1
)
p
,...,(@/@u
n
)
p
. Dado cualquier curva x(t)conp = x(t
0
), sean u
j
= x
j
(t),
j =1,...,n, sus ecuaciones en t´erminos del sistema de coor d en a d a s locales u
1
,...,u
n
.
Entonces
(df (x(t))/dt)
t
0
=
X
j
(@f/@u
j
)
p
· (dx
j
(t)/dt)
t
0
,
el cual prueb a que cada vector en p es una combinaci´on lineal de (@/@u
1
)
p
,...,(@/@u
n
)
p
.
Rec´ıprocamente, dada una combinaci´on lineal
P
j
⇠
j
(@/@u
j
)
p
, considere la curva defi-
nida por
u
j
= u
j
(p)+⇠
j
t, j =1,...,n .
Entonces el vector t an gente a esta cu r va en t =0es
P
j
⇠
j
(@/@u
j
)
p
.Paraprobarla
independencia lineal de (@/@u
1
)
p
,...,(@/@u
n
)
p
, asuma
P
j
⇠
j
(@/@u
j
)
p
=0.Entonces
0=
X
j
⇠
j
(@u
k
/@u
j
)
p
= ⇠
k
para k =1,...,n .
Esto completa la prueba de nuestra aseveraci´on. El conjunto de vectores tangentes
en p, denota d o por T
p
M, es denomina d o el espacio tangente de M en p .Lasn´u p l a s
de los n´um er o s ⇠
1
,...,⇠
n
es llamado de componentes de los vector es
P
j
⇠
j
(@/@u
j
)
p
con
respecto al sistema de coor d ena d as locales u
1
,...,u
n
.
Observaci´on 1.1 Es conocido que si una variedad M es de clase C
1
, entonces T
p
M
coincide con el espacio de X : F(p) ! R sati sfaci en do las condici on es (1) y (2) atr´as,
donde F(p )ahoradenotaal´algebradetodaslasfuncionesC
1
entorno de p.Deahora
en adel ante consideraremos princip´almente variedades de clase C
1
yaplicacionesde
clase C
1
.
Un campo vector ial X sobre una variedad M es una asignaci´on de un vector X
p
acadapuntop 2 M.Sif es una funci´on diferenciable sobre M, entonces Xf es
una funci´on sobre M definida po r (Xf)(p)=X
p
f. Un campo vectorial X es llam ad o
diferenciable si Xf es diferenci ab l e para cada funci´on diferenciable f. En t´erminos de
un sistema de coordenadas locales u
1
,...,u
n
, un campo vectorial X puede ser expresado
por X =
P
⇠
j
(@/@u
j
), donde los ⇠
j
son funciones definidas en la vecindad coorden a d a,
llamadas las componentes de X con respecto a u
1
,...,u
n
. X es diferenciable si y s´olo
si sus componentes ⇠
j
son diferenciables.
Sea X(M)elconjuntodetodosloscamposvectorialessobreM. Este es un espacio
vectorial real bajo la adisi´on y multiplicaci´on por un escalar. Si X y Y est´an en X(M),
def´ınese el br a cket [X, Y ] como una aplicaci´on del anillo de funciones so b r e M hacia s´ı
mismo por
[X, Y ]=X(Yf) Y (Xf) .
1.2 Variedades suaves 13
Deberemos mostrar que [X, Y ] es un campo vect o r i a l . En t´erminos de un sistema de
coordenadas locales u
1
,...,u
n
, escribimos
X =
X
⇠
j
(@/@
j
) ,Y=
X
⌘
j
(@/@u
j
) .
Entonces
[X, Y ]f =
X
j,k
(⇠
k
(@⌘
j
/@u
k
) ⌘
k
(@⇠
j
/@u
k
))(@f/@u
j
) .
Esto significa que [X, Y ] es un campo vectorial cuyas componentes con respecto a
u
1
,...,u
n
son dados por
P
k
(⇠
k
(@⌘
j
/@u
k
) ⌘
k
(@⇠
j
/@u
k
)), j =1,...,n. Con respecto
aestaoperaci´ondebracket,X(M)esun´algebradeLiesobreelcampodelosn´umero
reales (de d i m en s i ´on infinit a ). En particu l a r, tenemos la identidad de Jacobi:
[[X, Y ],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z, X],Y]=0 paraX, Y , Z 2 X(M) .
Tambi´en podemos considerar a X(M)comounm´odulosobreelanilloF(M)defun-
ciones difer en ci abl es sobre M como sigue. Si f es una funci´on y X un campo vectorial
sobre M, entonces fX es un cam po vectorial sobre M definida por (fX)
p
= f(p)X
p
para p 2 M. Entonces
[fX,gY ]=fg[X, Y ]+f(Xg)Y g(Yf)Xf,g2 F(M),X,Y2 X(M) .
Para un punto p de M, el espacio vectorial dual T
⇤
p
M del espacio ta n g ente T
p
M es
llamado el espaci o de covectores en p. Una a si g n aci ´on de un covector a cada p u nto p
es llamado una 1forma (forma diferencial de grado 1). Para cada funci´on f sobre M,
la diferencial total (df )
p
de f en p est´a definido por
h(df )
p
,Xi = Xf para X 2 T
p
M,
Si u
1
,...,u
n
es un sistema de coordenad as lo cal es en una vecindad de p, entonces
la diferenciales totales (du
1
)
p
,...,(du
n
)
p
forman una base para T
⇤
p
M. En efecto, ellos
forman la base dual de la base (@/@u
1
)
p
,...,(@/@u
n
)
p
para T
p
M. En una vecindad de
p, cada 1for m a ! puede ser escrit a de modo ´unico como
! =
X
j
f
j
du
j
,
donde f
j
son funciones definidas en un vecindad de p yllamadaslascomponentes de !
con respecto a u
1
,...,u
n
.La1forma ! es dicha diferenciable si los f
j
son di fer enci ab l es
(esta condici´on es independiente de la elecci´on del sistema de coordenadas locales). Y
consideraremos solamente 1formas diferenciables.
Una 1forma ! puede ser definido tambi´en como una aplicaci´on F(M)li n ea l del
F(M)m´odulo X(M)haciaF(M). Estas dos definiciones est´an relacionadas por
(!(X))
p
= h!
p
,X
p
i,X2 X(M),p2 M.
14 Preliminares
Sea
V
T
⇤
p
M el ´algebra exterior sobre T
⇤
p
M. Una rforma ! es una asignaci´on de un
elemento de grado r en
V
T
⇤
p
M para cada punto p de M. En t´erminos de un sistema
de coordenadas locales u
1
,...,u
n
, ! puede ser expresado de m odo ´unico como
! =
X
i
1
<i
2
<···<i
r
!
i
1
···i
r
du
i
1
^ ···^ du
i
r
.
La rforma ! es dicha diferenciable si las componentes !
i
1
···i
r
son todas diferenci a-
bles. Convengamos que por una rforma nos referiremos a una r for m a diferen ci abl e.
Una rforma ! tambi´en puede ser definido como una aplicaci´on antisim´etrica rlineal
sobre F(M)deX(M) ⇥ ···⇥ X(M)(r-veces)haciaF(M). Las dos definiciones est´an
relacionadas del siguiente modo. Si !
1
,...,!
r
son 1formas y X
1
,...,X
r
son cam-
pos vectoriales, entonces (!
1
^ ···^ !
r
)(X
1
,...,X
r
)es1/r! veces el determinante de la
matriz (!
j
(X
k
))
j,k=1,...,r
de grado r.
Denotaremos por ⌦
r
(M)latotalidadderformas diferenciables sobre M para
cada r =0, 1,...,n. Entonces ⌦
0
(M)=F(M). Cada ⌦
r
(M)esunespaciovectorial
real y puede ser tambi´en considerado como un F(M)m´odulo: para f 2 F(M)y
! 2 ⌦
r
(M), f ! es una rforma definida por (f!)
p
= f(p) !
p
,p2 M. Den´otase
⌦(M)=
L
n
r=0
⌦
r
(M). Con respecto al producto exterior, ⌦(M)formaun´algebrasobre
el campo de los n´u m er os reales. La diferenciaci´on exterior d puede se caracterizado
como sigue:
(1) d es una aplicaci´on Rlineal de ⌦(M)sobres´ımismotalqued(⌦
r
(M)) ⇢
⌦
r+1
(M);
(2) Para una funci´on f 2 ⌦
0
(M), df es la diferencial total;
(3) Si ! 2 ⌦
r
(M)y⌘ 2 ⌦
s
(M), entonces
d(!^ ⌘)=d!^ ⌘ +(1)
r
!^ d⌘;
(4) d
2
=0.
En t´erminos de un sistema d e coordenadas locales, si ! =
P
i
1
<···<i
r
!
i
1
···i
r
du
i
1
^ ···^ du
i
r
,
entonces d! =
P
i
1
<···<i
r
d!
i
1
···i
r
^ du
i
1
^ ···^ du
i
r
.
Ser´a necesario considerar formas diferenciales a valores en un espaci o vectorial arb i -
trario. Sea V un espacio vectorial real mdimensi o n al . Una rforma ! avaloresenV
sobre M es la asignaci´on a cada punto p 2 M una a p l i ca ci ´on rlineal antisim´etrica
de T
p
M ⇥ ···⇥ T
p
M (r veces) hacia V . Si tomamos una base e
1
,...,e
m
para V ,po-
demos escribir ! de modo ´unico como ! =
P
m
j=1
!
j
· e
j
, d on d e los !
j
son r for mas
usuales sobre M. ! es diferenciable, por definici´on, si los !
j
son todos difer en ci ab l es.
La derivada exterior d! est´a d efi ni d a como
P
m
j=1
d!
j
· e
j
, el cu al es una (r +1)forma
avaloresenV .
Dada una aplicaci´on f de una variedad M hacia otra M
0
,ladiferencial en p de f es
la aplicaci´on lineal f
⇤
de T
p
M hacia T
f(p)
M
0
definida como sigue. Para cada X 2 T
p
M,
1.2 Variedades suaves 15
el´ıjase una curva x(t)enM tal que X es el vector tangente a la curva x(t)enp = x(t
0
).
Entonces f
⇤
(X) es el vector tangente a la curva f(x(t)) en f(p)=f(x(t
0
)). Esto implica
inmediatamente qu e si g es una funci´on diferenciable en un a vecinda d de f(p), entonces
(f
⇤
(X))g = X(g f). Cuando sea necesario especificar el punto p, escribiremos (f
⇤
)
p
.
Cuando no haya peligro d e confusi´on, podemos escribir simplemente f a instancia de f
⇤
.
La transpuesta de (f
⇤
)
p
es una aplicaci´on lineal de T
⇤
f(p)
M
0
hacia T
⇤
p
M. Para cualquier
rforma !
0
sobre M
0
, definimos una rforma f
⇤
!
0
sobre M por
(f
⇤
!
0
)(X
1
,...,X
r
)=!
0
(f
⇤
X
1
,...,f
⇤
X
r
),X
1
,...,X
r
2 T
p
M.
La diferenciaci´on exterior d conmuta con f
⇤
, i.e., d ( f
⇤
!
0
)=f
⇤
(d!
0
).
Una aplicaci´on f de M hacia M
0
es dicha que tiene rango r en p 2 M si la di men si ´on
de f
⇤
(T
p
M)esr. Si el rango de f en p es igual a n =dimM,(f
⇤
)
p
es inyectiva y
dim M 6 dim M
0
. Si el rango de f en p es igual a n
0
=dimM
0
,(f
⇤
)
p
es sobr eyectiva y
dim M > dim M
0
. Por el teorema de la funci´on inversa, tenemos
Proposici´on 1.15 Sea f una aplicaci´on de M hacia M
0
y p un punto de M.
(1) Si (f
⇤
)
p
es inyectiva, existe un sistema de coordenadas locales u
1
,...,u
n
en una
vecindad U de p y un sistema de coordenadas locales v
1
,...,v
n
0
en una vecindad
de f(p) tal que
v
i
(f(q)) = u
i
(q) para q 2 U y i =1, . . . , n.
En particular, f es un homeomorfismo de U hacia f(U).
(2) Si (f
⇤
)
p
es sobreyectiva, existe un sistema de coordenadas locales u
1
,...,u
n
en
una vecindad U de p y un sistema de coordenadas locales v
1
,...,v
n
0
de f(p) tal
que
v
i
(f(q)) = u
i
(q) para q 2 U y i =1,...,n
0
.
En particular, la aplicaci´on f : U ! M
0
es abierta.
(3) Si (f
⇤
)
p
es un isomorfismo lineal de T
p
M sobre T
f(p)
M
0
, entonces f define un
homeomorfismo de una vecindad U de p sobre una vecindad V de f(p) y su inversa
f
1
: V ! U es tambi´en diferenciable.
Para la prueba ´usese el teorema de la funci´on inversa.
Una aplicaci´on f de M hacia M
0
es denominada una inmersi´on si (f
⇤
)
p
es inyectiva
para cada punto p de M. D eci m o s entonces que M est ´a i nm er sa en M
0
por f oqueM
es una subvariedad inmersa de M
0
. Cuando una in m er si ´on f es inyectiva, este es deno-
minada un embebimiento de M en M
0
. Decimos entonces que M (o la imagen f(M ))
es una subvariedad embebida ( o simplemente un subvariedad)deM
0
.Latopolog´ıade
una subvariedad es en general m´as fina que la topolog´ıa relativa indu cid a d e M
0
. Un
subconjunto abierto M de una variedad M
0
, considerado como una subvariedad de M
0
en un modo natural, es llamado una subvariedad abierta de M
0
.
16 Preliminares
Un difeomorfismo de una variedad M sobre otra variedad M
0
es u n homeomorfismo
' tal que ambos ' y '
1
son diferenciables. Un difeomorfismo d e M sobre s´ı mismo es
llamado de transformaci´on diferenciable de M. Una transformaci´on ' de M induce un
automorfismo '
⇤
del ´algebra ⌦(M)deformasdiferencialessobreM y, en particular,
un automorfismo del ´algebra F(M)defuncionessobreM:
('
⇤
f)(p)=f('(p)),f2 F(M),p2 M.
Esto ta mbi´en induce un automorfismo '
⇤
del ´algebra de Lie X(M)decamposvectoriales
por
('
⇤
X)
p
=('
⇤
)
q
(X
q
),
donde
'(q)=p, X 2 X(M).
Ellos est´an relacionados por
'
⇤
(('
⇤
X)f)=X('
⇤
f)paraX 2 X(M)yf 2 F(M).
Aunque cualquier aplicaci´on ' de M hacia M
0
lleva una forma diferencial !
0
sobre
M
0
en una forma diferencial '
⇤
(!
0
)sobreM, ' no env´ıa un campo vectorial sobre M
hacia un campo vectorial sobre M
0
en general. Decimos que un campo vectorial X
sobre M est´a 'relacionado auncampovectorialX
0
sobre M
0
si ('
⇤
)
p
X
p
= X
0
'(p)
para todo p 2 M.SiX y Y est´an 'relacionados a X
0
y Y
0
respectivamente, entonces
[X, Y ] est´a 'relacionado a [X
0
,Y
0
].
Una distribuci´on D de dimensi´on r sobre un a variedad M es una asignaci´on a cada
punto p 2 M un subespa ci o rdimensional D
p
⇢ T
p
M. Y este es ll a m a d o diferen-
ciable si cada punto p tiene una vecindad U y r campos vectoriales sobre U, digamos
X
1
,...,X
r
, los cuales for m a n una base de D
q
para cada q 2 U. El conjunto X
1
,...,X
r
es denominado como una base local para la distribuci´on D en U. Se dice qu e un campo
vectorial X pert en ece a D si X
p
2 D
p
para to do p 2 M. Finalmente, D es involutiva si
[X, Y ] pertenece a D siempre que dos campos vectoriales X y Y pertenescan a D.Por
una distribuci´on siempre se entender´a que se trata de una distribuci´on diferenciab l e.
Una subvariedad conexa N de M es dicha variedad integral de la distribuci´on D si
f
⇤
(T
p
N)=D
p
para todo p 2 N,dondef es el embebimiento de N en M. Si no exist e
otra variedad integral de D el cual contenga N, entonces N es llamado de variedad
integral maximal de D. El teorema cl´asi co de Frobenius puede ser fo r mulado como
sigue.
Proposici´on 1.16 Sea D una distr ibuci´on involutiva sobre una variedad M. A trav´es
de cada punto p 2 M, atraviesa una ´unica variedad integral N( p) de D. Cualquier
variedad integral a trav´es de p es una subvariedad abierta de N(p).
Ahora d e fi n i re m os el producto de dos variedades M y N de dimensi´on m y n,
respectivamente. Si M est´a definida por un ´atlas A = {(U
i
, '
i
)} y N est´a definida por
el ´atlas B = {(V
j
,
j
)}, entonces la estructura diferenciab l e sobre el espacio topol´ogico
1.2 Variedades suaves 17
M ⇥N est´a definida por una ´atlas {(U
i
⇥V
j
, '
i
⇥
j
)},donde'
i
⇥
j
: U
i
⇥V
j
! R
m+n
=
R
m
⇥R
n
est´a definida de manera natu r a l . Note que este ´atlas no es completo aunque lo
fueran A y B. Para cada punto (p, q)deM⇥N, el espacio tan g ente T
(p,q)
M⇥N puede ser
identificado con la suma direct a T
p
M+T
q
N en un modo n a t u r al . Esto es, para X 2 T
p
M
y Y 2 T
q
N, el´ıjanse las cur vas x (t )yy(t)talqueX es tangente a x(t)enp = x(t
0
)
y Y es tangente a y(t)enq = y(t
0
). Entonces (X, Y ) 2 T
p
M + T
q
N es identificado
con el vector Z 2 T
(p,q)
M ⇥ N el cual es tangente a la curva z(t)=(x(t),y(t)) en
(p, q)=(x(t
0
),y(t
0
)). Sea
¯
X 2 T
(p,q)
M ⇥ N un vector t a n g ente a la curva (x(t),q)
de M ⇥ N en (p, q). Semejantement e, sea
¯
Y 2 T
(p,q)
M ⇥ N un vector tangente a la
curva (p, y(t)) de M ⇥ N en (p, q). En otras palabras,
¯
X es la imagen de X bajo la
aplicaci´on M ! M ⇥ N el cual env´ıa p
0
2 M hacia ( p
0
,q)y
¯
Y es la imagen de Y bajo
la aplicaci´on N ! M ⇥ N el cual env´ıa q
0
2 N hacia (p, q
0
). Entonces Z =
¯
X +
¯
Y ,
porque para cualquier funci´on f sobre M ⇥ N, Zf = df (x(t),y(t))/dt|
t=t
0
es, por la
regla de la cadena, igual a
d
dt
f(x(t),y(t
0
))
t=t
0
+
d
dt
f(x(t
0
),y(t))
t=t
0
=
¯
Xf +
¯
Yf .
De modo m´as general:
Proposici´on 1.17 (F´ormula de Leibniz). Sea ' una aplicaci´on de la variedad pro-
ducto M ⇥ N hacia otra variedad P . La diferencial '
⇤
en (p, q) 2 M ⇥ N puede ser
expresado como sigue. Si Z 2 T
(p,q)
M ⇥N corresponde a (X, Y ) 2 T
p
M +T
q
N, entonces
'
⇤
(Z)='
1⇤
(X)+'
2⇤
(Y ) ,
donde '
1
: M ! P y '
2
: N ! P est´an definidas por
'
1
(p
0
)='(p
0
,q) para p
0
2 M y '
2
(q
0
)='(p, q
0
) para q
0
2 N.
Demostraci´o n: De la definici´on de
¯
X,
¯
Y,'
1
y '
2
implican que '
⇤
(
¯
X)='
1⇤
(X)y
'
⇤
(
¯
Y )='
2⇤
(Y ). Por tanto, '
⇤
(Z)='
⇤
(
¯
X)+'
⇤
(
¯
Y )='
1⇤
(X)+'
2⇤
(Y ).
2
Note que si P = M ⇥ N y ' es la tran sfor m aci´on identidad, entonces la p r eced i d a
proposici´on se reduce a la f´ormula Z =
¯
X +
¯
Y .
Sea X un campo vectorial sobre una variedad M. Una curva x(t)enM es llamada
curva integral de X si, para cualquier par´ametro escogido t
0
, el vector X
x(t
0
)
es tangente
alacurvax(t)enx(t
0
). Para cualquier p
0
de M, exi st e una ´unica curva integral x(t)
de X, definida en |t| < ✏ para alg´un ✏ > 0, tal que p
0
= x(0). En efecto, sea u
1
,...,u
n
un sist em a de coordenadas locales en una vecindad U de p
0
yporlocualhaciendo
X =
P
⇠
j
(@/@u
j
)enU. Entonces una cur va integral de X es una soluci´on del siguiente
sistema de e cu ac i ones diferenciales ordinarias:
du
j
dt
= ⇠
j
(u
1
(t),...,u
n
(t)),j=1, . . . , n.
18 Preliminares
Nuestra aseveraci´on sigue del teorema fundamental de si st ema s de ecuaciones diferen-
ciales ordinarias.
Un grupo a 1par´ametro de difeomorfismos de eM es una aplicaci´on d e R ⇥ M
hacia M,(t, p) 2 R ⇥ M ! '
t
(p) 2 M, que satisface las siguientes condiciones:
(1) Para cada t 2 R, '
t
: p ! '
t
(p)esundifeomorfismodeM;
(2) Para cualesquiera t, s 2 R y p 2 M, '
t+s
(p)='
t
('
s
(p)).
Cada grupo a 1par´ametro de difeomorfismos '
t
inducen un campo vectorial X como
sigue. Para cada punto p 2 M, X
p
es el vector tangente a la curva x(t)='
t
(p),
denominada la ´orbita de p,conp = '
0
(p). La ´orbita '
t
(p)enunacurvaintegraldeX
comenzando en p. Un grupo local a 1par´ametro de difeomorfismos locales puede ser
definido del siguiente modo, exceptuando a que '
t
(p) estar ´a definido s´olo para t en una
vecindad de 0 y p en un conjunto abierto de M. Siendo m´as precisos, en un intervalo
abierto I
✏
=(✏, ✏)yenU un conjunto ab i er t o de M. Un grupo local a 1par´ametro
de difeomorfismos locales definidos sobre I
✏
⇥ U es una aplicaci´on de I
✏
⇥ U sobr e M
el cual satisface las siguientes condiciones:
(1’) Para cada t 2 I
✏
, '
t
: p 7! '
t
(p) es un difeomorfismo d e U sobre un conjunto
abierto '
t
(U)deM;
(2’) Si t, s, t + s 2 I
✏
ysip, '
s
(p) 2 U, entonces
'
t+s
= '
t
('
s
(p)) .
Al igual que en el caso de un grupo a 1par´ametro de difeomor fi sm o s, '
t
induce un
campo vectorial X definido sobre U. Ahora probaremos lo rec´ıproco.
Proposici´on 1.18 Sea X un campo vectorial sobre una variedad M. Para cada pun-
to p
0
de M, existe una vecindad U de p
0
, un n ´umero positivo ✏ y un grupo local a
1par´ametro de difeomorfismos locales '
t
: U ! M, t 2 I
✏
, el cual induce el campo X
dado.
Diremos que X genera un grupo local a 1p ar ´ametro de di feo m or fis mo s locales '
t
en u n a vecindad de p
0
. S i existe un grupo a 1pa r ´ametro (global) de difeomorfismos
de M el cual induce X, entonces deci m o s que X es completo.Si'
t
(p)est´adefinido
sobre I
✏
⇥ M para alg´un ✏, entonces X es completo.
Demostraci´o n:
Sea u
1
,...,u
n
un sistema de coo r d en a d a s locales en una vecindad W de p
0
tal que
u
1
(p
0
)=··· = u
n
(p
0
)=0.SeaX =
P
⇠
i
(u
1
,...,u
n
)(@/@u
i
)enW . Considerando el
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lin eal es:
df
i
dt
= ⇠
i
(f
1
(t),...,f
n
(t)),i=1,...,n
1.2 Variedades suaves 19
con funciones desconocidas f
1
(t),...,f
n
(t). Por el teorema fundamental para sistemas
de ecuaci o n es diferenci a l es ordina r i a s, existe un conjunto de funciones f
1
(t; u),...,f
n
(t; u),
definidos para u =(u
1
,...,u
n
)con|u
j
| <
1
ypara|t| < ✏
1
, el cual forma una solu ci ´on
de la ecuaci ´on diferen ci a l para cada u fijado y satisfaciendo la condici´on inicial:
f
i
(0; u)=u
i
.
Sea '
t
(u)=(f
1
(t; u),...,f
n
(t; u)) para |t| < ✏
1
y u en U
1
= {u
|u
i
| <
1
}.Si
|t|, |s| y |t + s| son todos menores que ✏
1
yambosu y '
s
(u)est´anenU
1
, entonces
las funciones g
i
(t)=f
i
(t + s; u)sonsimplementevistoscomounasoluci´ondela
ecuaci´on diferencial con condici´on inici al g
i
(0) = f
i
(s; u). Por la unicidad de la soluci´on,
tenemos g
i
(t)=f
i
(t; '
s
(u)). Esto prueba que '
t
('
s
(u)) = '
t+s
(u). Puesto que '
0
es el
difeomorfismo identidad de U
1
, existe > 0y✏ > 0talque,paraU = {u
|u
i
| < },
'
t
(U) ⇢ U
1
si |t| < ✏. Por ta nto, '
t
('
t
(u)) = '
t
('
t
(u)) = '
0
(u)=u pa r a cada
u 2 U y |t| < ✏. Esto prueba qu e '
t
es un difeomorfismo de U para |t| < ✏. As´ı, '
t
es
un grupo local a 1par´ametro de di feo m o r fi sm o s locales d efi n i d o s sobre I
✏
⇥ U.Dela
construcci´on de '
t
, es obvio que '
t
induce el ca m po vectorial X dado sobre U.
2
Observaci´on 1.2 En el transcurso de la precedida prueba, mostramos tambi´en que
si dos grupos locales a 1par´ametro d e difeomorfismos locales '
t
y
t
definidos sob r e
I
✏
⇥ U inducen el mismo campo vectorial sobre U, ellos co i n ci d en sobre U.
Proposici´on 1.19 Sobre una variedad compacta M, cada campo vectorial X es com-
pleta.
Demostraci´o n: Para cada punto p 2 M, sea U(p) una vecindad de p y ✏(p)un
n´umero positivo tal que el campo vectorial X genera un grupo local a 1par´ametro de
difeomorfismos local es '
t
sobre I
✏(p)
⇥U(p). Puesto que M es compacta, el cubrimiento
abierto {U(p) | p 2 M} tiene un subcubrimiento finito {U(p
i
) | i =1,...,k}. Sea
✏ =m´ın{✏(p
1
),...,✏(p
k
)}. Es claro que '
t
(p)est´adefinidasobreI
✏
⇥ M y, por tanto,
sobre R ⇥ M.
2
En lo qu e sigue, no daremos expl´ıcitamente un dominio d e definici´on de un campo
vectorial X dado y del correspondiente grupo loca l a 1par´ametro de difeomorfismos
locales '
t
. Cada f´ormula es v´alida siempre que este tenga sentido, y sea sencillo de
especificar, si fuera necesario, el dominio de definici´on de los campos vectoriales o
difeomorfismos envueltos.
Proposici´on 1.20 Sea ' un difeomorfismo de M. Si un campo vectorial X genera
un grupo local a 1par´ametro de difeomorfismos locales '
t
, entonces el campo vecto-
rial '
⇤
X genera ' '
t
'
1
.
20 Preliminares
Demostraci´o n: Es claro que ' '
t
'
1
es un grupo local a 1par´am et r o de difeo-
morfismos locales. Para mostr a r que esto induce el campo vectorial '
⇤
X, sea p un
punto arbitrario de M y q = '
1
(p). Puesto que '
t
induce X, el vector X
q
2 T
q
M es
tangente a la curva x(t)='
t
(q)enq = x(0). Esto implica que el vector
('
⇤
X)
p
= '
⇤
(X
q
) 2 T
p
M
es tangente a la curva y(t)=' '
t
(q)=' '
t
'
1
(p).
2
Corolario 1.1 Un campo vectorial X es invariante por ', i.e., '
⇤
X = X, si y s´olo si
' conmuta con '
t
.
Ahora daremos una interpretaci´on geom´etrica d el bra cket [X, Y ] de dos campos
vectoriales.
Proposici´on 1.21 Sean X y Y campos vectoriales sobre M. Si X genera un grupo
local a 1par´ametro de difeomorfismos locales '
t
, entonces
[X, Y ]= l´ım
t!0
1
t
[Y ('
t
)
⇤
Y ] .
Siendo m´as precisos,
[X, Y ]
p
=l´ım
t!0
1
t
[Y
p
(('
t
)
⇤
Y )
p
],p2 M.
El l´ımite sobre el lado derecho es tomado con respecto a la topol og´ıa natural del espacio
vectorial tangente T
p
M. Primero probaremos dos lemas.
Lema 1.1 Si f(t, p) es una funci´on sobre I
✏
⇥ M, donde I
✏
es un intervalo abierto
(✏, ✏), tal que f(0,p)=0para todo p 2 M, entonces existe una funci´on g( t, p) sobre
I
✏
⇥ M tal que f (t, p)=t · g(t, p). M´as aun, g(0,p)=f
0
(0,p), donde f
0
= @f/@t, para
p 2 M.
Demostraci´o n: Es suficiente defini r
g(t, p)=
Z
1
0
f
0
(ts, p)ds .
2
Lema 1.2 Sea X generando '
t
. Para cualquier funci´on f sobre M, existe una funci´on
g
t
(p)=g(t, p) tal que f '
t
= f + t · g
t
y g
0
= Xf sobre M.
La funci´on g(t, p)est´adefinida,paracadafijadop 2 M, en |t | < ✏ para alg´un ✏.
Demostraci´o n: Considere f (t, p)=f('
t
(p)) f(p)yapliqueellemaanterior.En-
tonces f '
t
= f + t · g
t
. Tenemos
(Xf)
p
=l´ım
t!0
1
t
[f('
t
(p)) f(p)] = l´ım
t!0
1
t
f(t, p)= l´ım
t!0
g
t
(p)=g
0
(p) .
2
1.2 Variedades suaves 21
Demostraci´on de la Proposici´on 1.21. Dada una funci´on f sobre M, consid er a r una
funci´on g
t
tal que f '
t
= f + t· g
t
y g
0
= Xf (por el ´ultimo lema). Seaa p(t)='
1
t
(p).
Entonces
(('
t
)
⇤
Y )
p
f =(Y (f '
t
))
p(t)
=(Yf)
p(t)
+ t · (Yg
t
)
p(t)
y
l´ım
t!0
1
t
[Y ('
t
)
⇤
Y ]
p
f =l´ım
t!0
1
t
[(Yf)
p
(Yf)
p(t)
] l´ım
t!0
(Yg
t
)
p(t)
= X
p
(Yf) Y
p
g
0
=[X, Y ]
p
f,
probando nuestra aseveraci´on.
2
Corolario 1.2 Con las mismas condiciones de la proposici´on 1.21, tenemos en un
modo m´as general
('
s
)
⇤
[X, Y ]= l´ım
t!0
1
t
[('
s
)
⇤
Y ('
s+t
)
⇤
Y ]
para cualquier valor de s.
Demostraci´o n:
Para un valor fijado de s, considere el campo vectorial ('
s
)
⇤
Y yaplicandolapro-
posici´on 1.21. Entonces tenemos
[X, ('
s
)
⇤
Y ]=l´ım
t!0
1
t
[('
s
)
⇤
Y ('
t
)
⇤
('
s
)
⇤
Y ]
=l´ım
t!0
1
t
[('
s
)
⇤
Y ('
s+t
)
⇤
Y ] ,
pues '
s
'
t
= '
s+t
.Porotrolado,('
s
)
⇤
X = X por el corolario 1.1. Puesto que ('
s
)
⇤
preserva el bracket, obtenemos
('
s
)
⇤
[X, Y ]=[X, ('
s
)
⇤
Y ] .
2
Observaci´on 1.3 La conclusi´on de est e corolario pu ed e ser escrita como
d
dt
('
t
)
⇤
Y
t=s
= ('
s
)
⇤
[X, Y ] .
Corolario 1.3 Sup´ongase que X y Y generan los grupos locales a 1par´ametro '
t
y
s
, respectivamente. Entonces '
t
s
=
s
'
t
para cada s y t si y s´olo si [X, Y ]=0.
22 Preliminares
Demostraci´o n:
Si '
t
s
=
s
'
t
para cada s y t, Y es invariante par a cada '
t
por el corolario
1.1. Por la proposici´on 1.21, [X, Y ] = 0. Rec´ıprocamente, si [X, Y ] = 0, entonces
d(('
t
)
⇤
Y )/dt =0paracadat por el corolario anterior. Adem´as, ('
t
)
⇤
Y es un vector
constante para cada punto p as´ı que Y es invar i ante para cad a '
t
. Por el corolario 1.1,
cada
s
conmuta con cada '
t
. 2
1.2.2. Campos tensoriales
Sea el ´algeb r a tensorial T (p)=
L
n
r,s=0
T
r
s
(T
p
M)=
L
n
r,s=0
T
r
s
(p), sobre el espacio
tangente T
p
M en el punto p de una variedad M. Un campo tensorial del tipo (r, s)sobre
un subconjunto N de M es una asignaci´on de un tensor K
p
2 T
r
s
(p)paracadapuntop
de N. En una vecindad coordenada U con un sistema de coordenada local x
1
,...,x
n
,
haciendo X
i
= @/@x
i
, i =1,...,n, como una base para cada espacio tangente T
p
M,
p 2 U,y!
i
= dx
i
, i =1,...,n, como la base dual de T
⇤
p
M. Un campo tensorial K del
tipo (r, s)definidosobreU entonces es expresado por
K
p
=
X
K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
X
i
1
⌦ ··· ⌦ X
i
r
⌦ !
j
1
⌦ ··· ⌦ !
j
s
,
donde K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
son funciones sobre U, denominadas las componentes de K con respec-
to al sistema de coordenada local x
1
,...,x
n
. Decimos que K es de clase C
k
si sus
componentes K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
son fun ci on es de clase C
k
; de hecho, tiene que ser verificado que
esta noci´on es ind ependiente de la elecci´on de un sistema de coor d en ad as locales. Es
simple de hacer por medio de la f´or mula 1.1 donde la matriz (A
i
j
)esreemplazadapor
la matriz Jacobiana entre dos sistemas de coordenadas locales. De ahor a en adel ante
usaremos el t´ermino campo tensorial para referiremos que son de clase C
1
amenos
que establezcamos lo contrario.
Proposici´on 1.22 Un campo tensorial K del tipo (0,r) (respectivamente del tipo (1,r) )
sobre M puede ser considerado como una aplicaci´on rlineal de X(M) ⇥ ···⇥ X(M)
hacia F(M) (resp. X(M)) tal que
K(f
1
K
1
,...,f
r
X
r
)=f
1
···f
r
K(X
1
,...,X
r
) para f
i
2 F(M) y X
i
2 X(M) .
Rec´ıprocamente, y tal aplicaci´on puede ser considerado como un campo tensorial del
tipo (0,r) ( resp. del tipo (1,r) ).
Demostraci´o n:
Dado un campo tensorial K del tipo (0,r)(resp.tipo(1,r)), K
p
es una aplica-
ci´on rlineal de T
p
M ⇥ ···⇥ T
p
M hacia R (resp. T
p
M)yportanto(X
1
,...,X
r
) 7!
(K( X
1
,...,X
r
))
p
= K
p
((X
1
)
p
,...,(X
r
)
p
) es una aplicaci´on rlineal de X(M) ⇥ ···⇥
X(M)haciaF(M)(resp.X(M)) satisfaciendo la precedida condici´on. Rec´ıprocamente,
sea K : X(M)⇥···⇥X(M) ! F(M)(resp.X(M)) una aplicaci´on rlineal sobre F(M).
El punto esencial de la prueba es mostrar que el valor de la funci´on (resp. el campo
1.2 Variedades suaves 23
vectorial) K(X
1
,...,X
r
)enelpuntop depende s´olo del valor de X
i
en el punto p. Esto
implicar´a que K i n d u ce una aplicaci´on rli n ea l de T
p
M ⇥ ···⇥ T
p
M hacia R (resp.
T
p
M)paracadap. Pr i m er o ob ser vemos que la aplicaci´on K puede ser localizado. Es
decir, tenemos
Lema 1.3 Si X
i
= Y
i
en una vecindad U de p para i =1,...,r, entonces tenemos que
K(X
1
,...,X
r
)=K(Y
1
,...,Y
r
) en U.
Demostraci´on del lema. Es suficiente mostrar que si X
1
=0enU, entonces
K(X
1
,...,X
r
)=0enU. Para cualqui er y 2 U, sea f una funci ´on diferenciable so-
bre M tal que f(y)=0yf =1fueradeU. Entonces X
1
= fX
1
y K(X
1
,...,X
r
)=
fK(X
1
,...,X
r
), el cual es nulo en y. Esto pr u eb a el lema.
Para completar la prueba de la proposici´on, es suficiente mostrar que si X
1
se
anula en un punto p, as´ı lo hace K(X
1
,...,X
r
). Sea x
1
,...,x
n
un sistema de coor-
denas local entorno de p,as´ıqueX
1
=
P
i
f
i
(@/@x
i
). Po demos tomar campos vecto-
riales Y
i
yfuncionesdiferenciablesg
i
sobre M tal que g
i
= f
i
y Y
i
=(@/@x
i
)para
i =1,...,n en al g u na vecindad U de p. Entonces X
1
=
P
i
g
i
Y
i
en U. Por el lema,
K(X
1
,...,X
r
)=
P
i
g
i
· K(Y
i
,X
2
,...,X
r
)enU. Puesto que g
i
(p)=f
i
(p)=0para
i =1,...,n, K(X
1
,...,X
r
) es nulo en p. 2
Ejemplo 1.4 Un a m´etrica Riemanniana (definida positiva) sobre M es un campo
tensorial covariante g de grado 2 que s at i sfa ce (1) g(X, X) > 0 para t odo X 2 X(M),
y g(X, X)=0siys´olosiX =0y(2)g(Y, X )=g(X, Y )paratodoX, Y 2 X(M). En
otras palabras, g asigna un producto interior en cada espacio tangente T
p
M, p 2 M. En
t´erminos de un sistema de coordenadas local x
1
,...,x
n
, las componentes de g son dadas
por g
ij
= g(@/@x
i
, @/@x
j
). As´ı, g se puede configurar para escribir ds
2
=
P
g
ij
dx
i
dx
j
.
Ejemplo 1.5 Un a form a difere n ci al ! de grado r no es m´as que un campo tensorial
covariante de grado r el cual es antisim´etrico:
!(X
⇡(1)
,...,X
⇡(r)
)=✏(⇡) !(X
1
,...,X
r
) ,
donde ⇡ es una permutaci´on arbitraria de (1, 2,...,r)y✏(⇡)essusigno.Paracual-
quier tensor covariante K en p ocualquiercampotensorialK sobre M, definimos una
alternaci´on A como sigue:
(AK)(X
1
,...,X
r
)=
1
r!
X
⇡
✏(⇡) · K(X
⇡(1)
,...,X
⇡(r)
) ,
donde la suma es hecha sobre todas las permutaciones ⇡ de (1, 2,...,r). Es f´acil verificar
que AK es antisim´etrico si y s´olo si AK = K.Si! y !
0
son formas diferenciales de
grado r y s respectivamente, entonces ! ⌦ !
0
es un campo tensorial covariante de grado
r + s y !^ !
0
= A(! ⌦ !
0
).
24 Preliminares
Ejemplo 1.6 Un a simetrizaci´on S puede ser definido com o sigue. Si K es un tensor
covariante o campo tensorial de grado r, entonces
(SK)(X
1
,...,X
r
)=
1
r!
X
⇡
K(X
⇡(1)
,...,X
⇡(r)
) .
Para cualquier K, SK es sim´etrico y SK = K si y s´olo si K es sim´etrico.
Ahora procederemos a defi n i r la noci´on de diferenciaci´on de Lie. Sea T
r
s
(M)elcon-
junto de campos tensoriales del tipo (r, s) defin i d os sobre M yseaT (M)=
L
1
r,s=0
T
r
s
(M).
Entonces T (M)esun´algebrasobreelcampodelosn´umerosrealesR, la multiplicaci´on
⌦ est´a definida de modo p u ntual, i.e., si K, L 2 M entonces (K ⌦ L)
p
= K
p
⌦ L
p
para
todo p 2 M.Si' es un difeomorfismo de M, su diferencial '
⇤
da un isomorfismo lineal
del espacio tangente T
'
1
(p)
M sobr e el espacio tangente T
p
M. Este i so m or fis mo li n eal
puede ser extendido a un isomorfismo del ´algebra T ('
1
(p)) sobre el ´algebra tensorial
T (x), al cual denotaremos por ˜'. Dado un campo tensori a l K, definimos un campo
tensorial ˜'K por
(˜'K)
p
=˜'(K
'
1
(p)
),p2 M.
De este modo, cada difeomorfismo ' de M induce un automorfismo de ´algebras de
T (M)elcualpreservatipoyconmutaconcontracciones.
Sea X un campo vectorial sobre M y '
t
un grupo local a 1par´ametro de difeo-
morfismos locales generado por X. Definiremos la derivada de Lie L
X
K de un campo
tensorial K con respecto a un campo tensorial X som o si gu e. En aras de la simp l ici -
dad, asumamos que '
t
es un grupo a 1par´ametro de difeomorfismos globales de M;
no existe dificultad en modificar la definici´on cuando X es no completo. Para cada t,
˜'
t
es un automorfismo del ´algebra T (M). Para cualquier campo tensorial K sobre M,
hacemos
(L
X
K)
p
=l´ım
t!0
1
t
[K
p
(˜'
t
K)
p
] .
La aplicaci´on L
X
lleva T (M)ens´ımismoelcualenv´ıaK h a ci a L
X
K yesllamadola
diferenciaci´on de Lie con respecto a X. Tenemos la sigu i ente
Proposici´on 1.23 La diferenciaci´on de Lie L
X
con respecto a un campo vectorial X
satisface las siguientes condiciones:
(a) L
X
es una derivaci´on en T (M), i.e., es lineal y satisface
L
X
(K ⌦ K
0
)=(L
X
K) ⌦ K
0
+ K ⌦ (L
X
K
0
)
para todo K, K
0
2 T (M);
(b) L
X
preserva tipo: L
X
(T
r
s
(M)) ⇢ T
r
s
(M);
(c) L
X
conmuta con cada contracci´on de un campo tensorial;
(d) L
X
f = Xf para cada funci´on f;
1.2 Variedades suaves 25
(e) L
X
Y =[X, Y ] para cada campo vectorial Y .
Demostraci´o n: Es claro que L
X
es lineal. Sea '
t
un grupo local a 1par´a m et r o de
difeomorfismos locales generados por X. Entonces
L
X
(K ⌦ K
0
)=l´ım
t!0
1
t
[K ⌦ K
0
˜'
t
(K ⌦ K
0
)]
=l´ım
t!0
1
t
[K ⌦ K
0
(˜'
t
K) ⌦ (˜'
t
K
0
)]
=l´ım
t!0
1
t
[K ⌦ K
0
(˜'
t
K) ⌦ K
0
]
+l´ım
t!0
1
t
[( ˜'
t
K) ⌦ K
0
(˜'
t
K) ⌦ (˜'
t
K
0
)]
=(L
X
K) ⌦ K
0
+ K ⌦ (L
X
K
0
) .
Puesto que ˜'
t
preserva tipo y conmuta con contracciones, as´ı lo ha ce L
X
.Sif es una
funci´on sob r e M, entonces
(L
X
f)(p)= l´ım
t!0
1
t
[f(p) f('
1
t
(p))] = l´ım
t!0
1
t
[f('
1
t
(p)) f(p)] .
Si reparamos que '
1
t
= '
t
es un grupo local a 1par´ametro de difeomorfismos
locales generados por X, vemos que L
X
f = (X)f = Xf. Los dem´as puntos ya
los tratamos en par´agrafos anteriores. 2
Por una derivaci´on en T (M), se entiende por aquella aplicaci´on de T (M)ens´ı
mismo la cual satisface l a s condiciones ( a ) , (b) y (c) de la proposici´on 1.23.
Sea S un campo tensorial del tipo (1, 1). Para cada p 2 M, S
p
es un end om or fi smo
lineal del espacio tangente T
p
M. Por la proposici´on 1.8, S
p
puede ser extendido de
modo ´unico a un a derivaci´on del ´algebra tensorial T (p)sobreT
p
M. Para cada campo
tensorial K, def´ınese SK por (SK)
p
= S
p
K
p
, p 2 M. Entonces S es una derivaci´on en
T (M). As´ı tenemos la siguiente
Proposici´on 1.24 Cada derivaci´on D en T (M) puede ser expresado de modo ´unico
como sigue:
D = L
X
+ S,
donde X es un campo vectorial y S es un campo tensorial del tipo (1, 1).
Demostraci´o n: Puest o que D preserva tipo, est e lleva F(M)ens´ımismoysatisface
D(fg)=Df · g + f · Dg para f, g 2 F(M). Esto implica que existe un campo vectorial
X tal que Df = Xf para cada f 2 F(M). Claramente, D L
X
es una derivaci´on
en T (M)elcualescerosobreF(M). Deberemos mostrar que cualquier derivaci´on D
el cual es cero sobre F(M)esinducidaporuncampotensorialdeltipo(1, 1). Para
cualquier campo vector i al Y , DY es un campo vectorial y, para cual q ui er funci´on f,
D(fY )=Df ·Y +f ·DY = f ·DY , pues Df =0porasunci´on.Porlaproposici´on1.22,
existe un ´unico campo ten sor ial S del tipo (1, 1) tal que DY = SY para cad a campo
vectorial Y . Para mostrar que D coincide con la derivaci´on tensorial inducida por S,
es suficiente probar el siguiente
26 Preliminares
Lema 1.4 Dos derivaciones D
1
y D
2
en T (M) coinciden si y s´olo si coinciden sobre
F(M) y X(M).
Demostraci´o n: Primero ob ser vemos que una derivaci ´on D puede ser localizado, que
es, si u n campo tensor i al K se anula sobre un con ju nto abierto U, entonces DK se
anula sobre U. En efecto, para cada p 2 U sea f un a funci ´on tal que f(p)=0yf =1
fuera de U. Entonces K = f · K yportantoDK = Df · K + f · DK . Como K y
f se anulan en p, as´ı lo hace DK. Esto implica que si dos campos tensorial K y K
0
coinciden sobre un conjunto abierto, entonces DK y DK
0
coinciden sobre U.
Sea D = D
1
+ D
2
. Nuestro probl em a es ahora probar qu e si una derivaci´on D es
cero sobre F(M)yX(M), entonces este es cero sobre T (M). Sea K un campo tensorial
del tipo (r, s)yp un punto arbitrario de M. Para mostrar que DK se anula en p, sea
V una vecindad coor d en a d a para p con un sistema de coordenadas local x
1
,...,x
n
y
sea
K =
X
K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
X
i
1
⌦ ··· ⌦ X
i
r
⌦ !
j
1
⌦ ··· ⌦ !
j
s
,
donde X
i
= @/@x
i
y !
j
= dx
j
. Podemos extender K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
, X
i
y !
j
a M yasumamos
que la igualdad se toma en una peque˜na vecindad U de p. Puesto que D puede ser
localizado, es suficiente mostrar que
D(K
i
1
···i
r
j
1
···j
s
X
i
1
⌦ ··· ⌦ X
i
r
⌦ !
j
1
⌦ ··· ⌦ !
j
s
)=0.
Mas esto suceder´a una vez que mostremos que D! =0paracada1forma ! sobre M.
Sea Y cualquier campo vectorial y C : T
1
1
(M) ! F(M)lacontracci´onobviaquehace
C( Y ⌦ !)=!(Y )unafunci´on.Entoncestenemos
0= D(C(Y ⌦ !)) = C(D(Y ⌦ !))
= C(DY ⌦ !)+C(Y ⌦ D!)= C(Y ⌦ D!)=(D!)(Y ) .
Puesto que esto se toma para cada campo vectorial Y , tenemos que D! =0.
2
El conjunto de todas las derivaciones de T (M) forma un ´al ge b ra de Lie sobre R (de
dimensi´on infinita) con respecto a la adici´on natural y multiplicaci´on y la operaci´on
bracket definida por [D, D
0
]K = D(D
0
K) D
0
(DK ). Tambi´en tenemos como conse-
cuencia que el conjunto de todos los campos tensoriales S del ti po (1, 1) foman un
sub´algebra del ´algebra de Lie de derivaciones de T (M). En la prueba de la proposici´on
1.24, mostramos que una derivaci´on de T (M)esinducidaporuncampotensorialdel
tipo (1, 1) si y s´olo si es cero sobre F(M). Esto implica inmediatamente que si D es
una derivaci´on de T (M)yS un campo tensorial del tipo (1, 1), entonces [D, S ] es cero
sobre F(M)y,portanto,esinducidaporuncampotensorialdeltipo(1, 1). En otras
palabras, el conjunto de campos tensoriales del tipo (1, 1) es un ideal del ´algebra de
Lie de derivaciones de T (M). As´ı como el conjunto de deferenciaciones de Lie L
X
,
X 2 X(M), forman un sub´algebra del ´algebra de derivaciones de T (M). Esto sigue de
la siguiente
1.2 Variedades suaves 27
Proposici´on 1.25 Para cualesquier campos vectoriales X y Y , se tiene
L
[X,Y ]
=[L
X
,L
Y
] .
Demostraci´o n: En virtud del lema anterior, es suficiente mostrar que [L
X
,L
Y
] tiene
el mismo efecto como L
[X,Y ]
sobre F(M)yX(M). Para f 2 F(M), tenemos que
[L
X
,L
Y
]f = XY f YXf =[X, Y ]f = L
[X,Y ]
f.
Para Z 2 X(M), se tiene que
[L
X
,L
Y
]Z =[X, [Y,Z]] [Y,X,Z]=[[X, Y ],Z]
por la id entidad de Jacobi.
2
Proposici´on 1.26 Sea K un campo tensorial del tipo (1,r) el cual interpretamos como
en la proposici´on 1.22. Para cualquier campo vectorial X, entonces tenemos que
(L
X
)(Y
1
,...,Y
r
)=[X,K(Y
1
,...,Y
r
)]
r
X
i=1
K(Y
1
,...,[X, Y
i
],...,Y
r
) .
Demostraci´o n: Tenemos
K(Y
1
,...,Y
r
)=C
1
···C
r
(Y
1
⌦ ··· ⌦ Y
r
⌦ K) ,
donde C
1
,...,C
r
son obvias contracciones. Usando las condiciones (a) y (c) d e la pro-
posici´on 1.23, tenemos que, para cualquier derivaci´on D de T (M),
D(K( Y
1
,...,Y
r
)) = (DK )(Y
1
,...,Y
r
)
+
X
i
K(Y
1
,...,DY
i
,...,Y
r
) .
Si D = L
X
, entonces (e) de la proposici´on 1.23 implican la conclusi´on de la prueba.
2
Proposici´on 1.27 Sea '
t
un grupo local a 1par´ametro de difeomorfismos locales
generados por un campo vectorial X. Para cualquier campo tensorial K, tenemos
˜'
s
(L
X
K)=
✓
d
dt
(˜'
t
K)
◆
t=s
.
Demostraci´o n: Por definici´on,
L
X
=l´ım
t!0
1
t
[K ˜'
t
K] .
28 Preliminares
Reemplazando K por ˜'
s
, obtenemos
L
X
(˜'
s
K)= l´ım
t!0
1
t
[˜'
s
K ˜'
s+t
K]=
✓
d
dt
(˜'
t
K)
◆
t=s
.
Nuestro p r o b l em a es adem´as probar que ˜'
s
(L
X
K)=L
X
(˜'
s
K), i.e., L
X
K =˜'
1
s
L
X
˜'
s
(K)
para tod o campo tensorial K. Es una verificaci´on dir ect a y ver que ˜'
1
s
L
X
˜'
s
(K)es
una derivaci´on de T (M). Como en las pruebas anteriores, es suficiente probar que L
X
y˜'
1
s
L
X
˜'
s
(K)coincidensobreF(M)yX(M). Primero reparemos que, po r lo ya
visto, estos coinciden sobre X(M). El hecho de que coincidan sobre F(M)siguedelas
siguientes f´ormulas:
'
⇤
(('
⇤
X)f)=X('
⇤
f) ,
˜'
1
f = '
⇤
f,
los cuales se toman para cada difeom o r fi sm o ' de M yde('
s
)
⇤
X = X.
2
Corolario 1.4 Un campo tensorial K es invariante por '
t
para cada t si y s´olo si
L
X
K =0.
Sea ⌦
r
(M) el espacio de formas diferencia l es de grado r definidos sobre M, i.e., cam-
pos tensoriales covariantes antisim´etricos de grado r. Con respecto al producto exterior,
⌦(M)=
L
n
r=0
⌦
r
(M)formaun´algebrasobreR. Una derivaci´on (resp. antiderivaci´on)
de ⌦(M)esunaaplicaci´onlinealD de ⌦(M)ens´ımismoelcualsatisface
D(!^ !
0
)=D!^ !
0
+ !^ D!
0
para !, !
0
2 ⌦(M)
(resp. = D!^ !
0
+(1)
r
!^ D!
0
para ! 2 ⌦
r
(M), !
0
2 ⌦(M)) .
Una d er i vaci´on o una antiderivaci´on D de ⌦(M)sedicequeesdegradok si est e lleva
⌦
r
(M)hacia⌦
r+k
(M)paracadar. La diferenciaci´on exterior d es u n a antiderivaci´on
de gado 1. Como un resultado general sobre derivaciones y antiderivaciones de ⌦(M),
tenemos a la
Proposici´on 1.28.
(a) Si D y D
0
son derivaciones de grado k y k
0
respectivamente, entonces [D, D
0
] es
una derivaci´on de grado k + k
0
;
(b) Si D es una derivaci´on de grado k y D
0
una antiderivaci´on de grado k
0
, entonces
[D, D
0
] es una antiderivaci´on de grado k + k
0
;
(c) Si D y D
0
son antiderivaciones de grado k y k
0
respectivamente, entonces
DD
0
+ D
0
D es una derivaci´on de grado k + k
0
;
(d) Una derivaci´on o una antiderivaci´on est´a completamente determinada por sus
efectos sobre ⌦
0
(M)=F(M) y ⌦
1
(M)=X(M).
1.2 Variedades suaves 29
Proposici´on 1.29 Para cada campo vectorial X, L
X
es una derivaci´on de grado 0
de ⌦(M) el cual conmuta con la diferenciaci´on exterior d. Rec´ıprocamente, cada de-
rivaci´on de grado 0 de ⌦(M) el cual conmuta con d es igual a L
X
para alg´un campo
vectorial X.
Demostraci´o n: Observe primero que L
X
conmuta con la alternaci´on A definido atr´as.
Esto sigue inm ed i at amente de la sigu i ente f´ormula:
(L
X
!)(Y
1
,...,Y
r
)=X(!(Y
1
,...,Y
r
))
X
i
!(Y
1
,...,[X, Y
i
],...,Y
r
) ,
cuya prueba ya vimos. Por tanto, L
X
(⌦(M)) ⇢ ⌦(M)y,paracualesquier!, !
0
2 ⌦(M),
tenemos
L
X
(!^ !
0
)=L
X
(A(! ⌦ !
0
))
= A(L
X
(! ⌦ !
0
))
= A(L
X
! ⌦ !
0
)+A(! ⌦ L
X
!
0
)
= L
X
!^ !
0
+ !^ L
X
!
0
.
Para probar que L
X
conmuta con d, primer o ob ser vemos que, para cual q u i er di feo -
morfismo ' de M,˜'! =('
1
)
⇤
! y, por tanto, ˜' conmuta con d. Sea '
t
un grupo
local a 1 p a r ´ametro de difeomorfismos locales generados por X.De ˜'
t
(d!)=d(˜'!)
yladefinici´ondeL
X
! estos implican que L
X
(d!)=d(L
X
!)paracada! 2 ⌦(M).
Rec´ıprocamente, sea D una derivaci´on de grado 0 de ⌦(M)elcualconmutacond.
Puesto que D lleva F(M)ens´ımismo,D es una derivaci´on de F(M)yhayuncampo
vectorial X tal que Df = Xf para cada f 2 F(M). Sea D
0
= D L
X
. Entonces D
0
es una derivaci´on de ⌦(M)talqueD
0
f =0paracadaf 2 F(M). Para probar que
D
0
=0essuficienteprobarqueD
0
! =0paracada1forma !. D
0
puede ser local i za d o
yessuficientemostrarqueD
0
! = 0 cuando ! es de la forma fdg donde f,g 2 F(M)
(porque ! es localmente de la forma
P
f
i
dx
i
con respecto a un sistema de coordenadas
local x
1
,...,x
n
). Sea ! = fdg.DeD
0
f =0yD
0
(dg)=d(D
0
g)=0,obtenemos
D
0
(!)=(D
0
f)dg + f · D
0
(dg)=0.
2
Para cada campo vectorial X, definimos una antiderivaci´on ı
X
, llamado el producto
interior con respecto a X,degrado1de⌦(M)talque
(a) ı
X
f =0paracadaf 2 F(M);
(b) ı
X
! = !(X)paracada! 2 ⌦(M).
Esta antiderivaci´on es ´unica si este existe. Para probar su existencia, consi d er em os,
para cada r, la contracci´on C : T
1
r
(M) ! T
0
r1
(M) asociado con el par (1, 1).
30 Preliminares
Considerar cada rforma ! como un elemento de T
0
r
(M)ydef´ıneseı
X
! = C(X ⌦ !).
En otras palab r a,
(ı
X
!)(Y
1
,...,Y
r1
)=r · !(X, Y
1
,...,Y
r1
)paraY
i
2 X(M) .
As´ı defi n i d a , ı
X
, es una antiderivaci´on de ⌦(M); ı
X
(!^ !
0
)=ı
X
!^ !
0
+(1)
r
!^ ı
X
!
0
,
donde ! 2 ⌦
r
(M)y!
0
2 ⌦
s
(M), siguen simplemente de la siguiente f´ormula:
(!^ !
0
)(Y
1
,Y
2
,...,Y
r+s
)=
1
(r + s)!
X
✏(j; k)!(Y
j
1
,...,Y
j
r
)!
0
(Y
k
1
,...,Y
k
s
) ,
donde la suma es tomada sobre todas las posibles particiones de (1,...,r+ s)hacia
(j
1
,...,j
r
)y(k
1
,...,k
s
)y✏(j; k)representaelsignodelapermutaci´on(1...,r+ s) 7!
(j
1
,...,j
r
,k
1
,...,k
s
).
Puesto que
(ı
2
X
!)(Y
1
,...,Y
r2
)=r(r 1) · !(X, X, Y
1
,...,Y
r2
)=0,
tenemos que
ı
2
X
=0.
La siguiente proposici´on relaciona d, L
X
e ı
X
.
1.2 Variedades suaves 31
Proposici´on 1.30.
(a) L
X
= d ı
X
+ ı
X
d para cada campo vectorial X.
(b) [L
X
,ı
Y
]=ı
[X,Y ]
para cada campo vectorial X y Y .
Demostraci´o n: Por (c) de la proposici ´on 1.28, d ı
X
+ ı
X
d es una derivaci ´on de
grado 0. Este conmuta con d porque d
2
=0.Porlaproposici´on1.29,esteesiguala
la diferenci a ci ´on de Lie con respecto a alg´un campo vectorial. Para probar que esto en
realidad es igual a L
X
, tenemos solamente que mostrar que L
X
f =(d ı
X
+ ı
X
d)f
para cada funci´on f. Pero esta conclusi´on es cierta pues L
X
f = Xf y(d ı
X
+ı
X
d)f =
ı
X
(df )=df (X)=Xf. Para probar la segund a aseveraci´on (b), observese primero que
[L
X
,ı
Y
] es una derivaci´on antisim´etrica de grado 1yqueambos[L
X
,ı
Y
]eı
[X,Y ]
son
cero sobre F(M ). Por (d) de la proposici´on 1.28, es suficiente mostrar que ellos tienen
el mismo efecto sobre cada 1for m a !. Com o notamos en la prueba de la proposici´on
1.29, tenemos
(L
X
!)(Y )=X(!(Y )) !([X, Y ])
el cual pu ed e ser probado del mismo modo como en la p r oposici´on 1.26. Por tanto,
[L
X
,ı
Y
]! = L
X
(!(Y )) ı
Y
(L
X
!)
= X(!(Y )) (L
X
!)(Y )
= !([ X, Y ])
= ı
[X,Y ]
! .
2
Proposici´on 1.31 Si ! es una rforma, entonces
(d!)(X
0
,X
1
,...,X
r
)=
1
r +1
r
X
i=0
(1)
i
X
i
(!(X
0
,...,
ˆ
X
i
,...,X
r
))
+
1
r +1
X
06i<j6r
(1)
i+j
!([X
i
,X
j
],X
0
,...,
ˆ
X
i
,...,
ˆ
X
j
,...,X
r
) ,
donde el s´ımbolo
ˆ
X significa que el t´ermino X es omitido. (Los casos r =1y 2 son
particularmente ´utiles). Si ! es una 1forma, entonces
(d!)(X, Y )=
1
2
{ X(!(Y )) Y (!(X)) !([X, Y ]) },X,Y2 X(M).
Si ! es una 2forma, entonces
(d!)(X, Y , Z)=
1
3
{ X(!(X, Z )) + Y (!(Z, X)) + Z(!(X, Y ))
!([X, Y ],Z) !([Y,Z ],X) !([Z, X],Y) } ,
X, Y , Z 2 X(M) .
32 Preliminares
Demostraci´o n: La prueba es por inducci´on sobre r.Sir =0,entonces! es una
funci´on y d !(X
0
)=X
0
!, lo qu e muestra que la f´ormula de atr´as es verdadera cuando
r = 0. As´umase que la f´ormula es v´alida para r 1. Sea ! una rfor m a y, por
simplicidad de notaci´on, sea X = X
0
. Por (a) de la proposici´on 1.30,
(r +1)d!(X, X
1
,...,X
r
)=(ı
X
d!)(X
1
,...,X
r
)
=(L
X
!)(X
1
,...,X
r
) (d ı
X
!)(X
1
,...,X
r
) .
Como visto en la prueba de la proposici´on 1.29,
(L
X
!)(X
1
,...,X
r
)=X(!(X
1
,...,X
r
))
r
X
i=1
!(X
1
,...,[X, X
i
],...,X
r
) .
Puesto que ı
X
! es una (r 1)forma, tenemos, por hi p ´otesis de inducci´on,
(d ı
X
!)(X
1
,...,X
r
)=
1
r
r
X
i=1
(1)
i1
X
i
(ı
X
!(X
1
,...,
ˆ
X
i
,...,X
r
))
+
1
r
X
16i<j6r
(1)
i+j
(ı
X
!)([X
i
,X
j
],X
1
,...,
ˆ
X
i
,...,
ˆ
X
j
,...,X
r
)
=
1
r
r
X
i=1
(1)
i1
X
i
(!(X, X
1
,...,
ˆ
X
i
,...,X
r
))
1
r
X
16i<j6r
(1)
i+j
!([X
i
,X
j
],X,X
1
,...,
ˆ
X
i
,...,
ˆ
X
j
,...,X
r
) .
Nuestra proposici´on sigue inmediatamente de estas tres f´ormulas.
2
Observaci´on 1.4 Las f´ormulas de esta proposici´on tambi´en son v´alidas para rformas
avaloresvectoriales.
Proposici´on 1.32 Sean A y B campos tensoriales del tipo (1, 1). Sea
S(X, Y )=[AX, BY ]+[BX, AY ]+AB[X, Y ]+BA[X, Y ]
A[X, B Y ] A[BX,Y ] B[X, AY ] B[AX, Y ] ,
X, Y 2 X(M) .
Entonces la aplicaci´on S : X(M)⇥ X(M) ! X(M) es un campo tensorial del tipo (1, 2)
y S(X, Y )=S(Y,X).
S es denominada la torsi´on de A y B.
1.3 Grupos de Lie 33
1.3. Grupos de Lie
´
Esta secci´on est´a basada en (Ble ecker, D.; 1981) y (Greub, W.H. y Hal perin, S.;
1972).
1.3.1. Grupos de Lie y ´algebras de Lie
Definici´on 1.1 Un grupo de Lie es un conjunto G el cual es un grupo y una variedad
suave a la vez; y para el cual las siguientes aplicaciones son suaves:
(i) La aplicaci´on multiplicaci´on dada por
µ : G ⇥ G ! G
(x, y) 7! xy .
(ii) La aplicaci´on inversa dada por
⌫ : G ! G
x 7! x
1
.
El elemento unidad del grupo de Lie es denotado por e.
Un homomorfismo de grupos de Lie ' : G ! H es un homomorfismo suave de
grupos. Un isomorfismo de grupo s de Lie es una aplicaci´on que es un homomor-
fismo y un difeomorfismo a la vez.
Sea G un grupo d e Lie. Cada a 2 G determina aplicacio n es suaves
a
, ⇢
a
: G ! G,
dados por
a
(x)=ax y ⇢
a
(x)=xa .
Ellos son llamados de translaciones a izquierda y derecha por a.Losaxiomasdegrupo
producen las siguientes relaciones
a
b
=
ab
, ⇢
a
⇢
b
= ⇢
ba
,
e
= ⇢
e
=id y
a
⇢
b
= ⇢
b
a
.
En particular,
a
y ⇢
b
son difeomorfismos, con inversas
a
1
y ⇢
b
1
.
Consideraremos las siguientes notaciones para las dericadas de
a
, ⇢
b
por
L
a
=(
a
)
⇤
= T
a
: TG ! TG y R
b
=(⇢
b
)
⇤
= T⇢
b
: TG ! TG .
Estas relaciones p r od ucen las siguientes
L
a
L
b
= L
ab
, R
a
R
b
= R
ba
,
R
e
= L
e
=id
TG
y L
a
R
b
= R
b
L
a
.
Si ' : G ! H es un homomorfism o de grupos de Lie, entonces
'
a
=
'(a)
' y ' ⇢
b
= ⇢
'(b)
' .
34 Preliminares
Por tanto
'
⇤
L
a
= L
'(a)
'
⇤
y '
⇤
R
b
= R
'(b)
'
⇤
.
En par t i cul ar , cada ('
⇤
)
x
= T
x
' : T
x
G ! T
'(x)
H (x 2 G)esinyectiva(respectivamen-
te, sobreyectiva) si y s´olo si T
e
' =('
⇤
)
e
lo es.
Ahora considerando las aplicaciones multiplicaci´on e inversa. Sus derivad as son
aplicaciones de fibrado
µ
⇤
= Tµ : TG⇥ TG ! TG y ⌫
⇤
= T ⌫ : TG ! TG .
Lema 1.5 Sea ⇠ 2 T
a
G, ⌘ 2 T
b
G. Entonces
(1) µ
⇤
(⇠, ⌘)=R
b
⇠ + L
a
⌘
y
(2) ⌫
⇤
(⇠)= ( L
1
a
R
a
)(⇠) .
Demostraci´o n:
(1) Sea j
a
: G ! {a} ⇥ G y j
b
: G ! G ⇥ {b} denotan las inclusiones op u est a s a y b
respectivamente. Entonces
µ
⇤
(⇠, ⌘)=(µ
⇤
(j
b
)
⇤
)(⇠)+(µ
⇤
(j
a
)
⇤
)(⌘)
=(µ j
b
)
⇤
(⇠)+(µ j
a
)(⌘)
=(⇢
b
)
⇤
(⇠)+(
a
)
⇤
(⌘)
= R
b
(⇠)+L
a
(⌘) .
(2) Puesto que x 7! µ(x, ⌫(x)) es la aplicaci´on constante G ! e, tenemos
Tµ(⇠,T⌫(⇠)) = 0 .
Ahora (2) s i gu e de (1).
2
Las translaciones a izquierda y a derecha de un grupo de Lie G inducen autom o r -
fismos (
a
)
⇤
y(⇢
a
)
⇤
del ´algebra de Lie r ea l , X(M), de campos vectoriales sobre G.
Un campo vectorial X sobre G es llamado invariante a izquierda si L
a
(X
x
)=X
ax
,
a, x 2 G; i . e. , (
a
)
⇤
X = X, a 2 G.
Puesto que cada (
a
)
⇤
preserva el bracket de Lie, los campos vectoriales invariantes
aizquierdaformanunsub´algebra,X
L
(G), de X(M).
Proposici´on 1.33 Un isomorfismo fuerte de fibrados ↵ : G ⇥ T
e
G
⇠
=
! TG es dado por
(a, h) 7! L
a
(h) .
1.3 Grupos de Lie 35
Demostraci´o n: ↵ restricto a las fibras es un isomorfismo. M´as aun, es dado por
↵(a, h)=Tµ(0
a
,h)
(por el lema 1.5) ´este es suave.
2
Corolario 1.5 Un isomorfismo X
L
(G)
⇠
=
! T
e
G es dado por
X 7! X
e
.
En particular dim X
L
(G)=dimG.
Corolario 1.6 Un isomorfismo de F(G)m´odulos
X
L
(G) ⌦ F(G)
⇠
=
! X (G )
es dado por X ⌦ f 7! f · X .
Definici´on 1.2 Sea h 2 T
e
G. El ´unico campo vectorial invariante a izquierda X tal
que X
e
= h es denotado por X
h
, y es llamado el campo vectorial invariante a
izquierda generado por h.
Similarmente, un campo vectorial Y es denominado invariante a derecha si
(⇢
b
)
⇤
Y = Y , b 2 G. El ´algebra de Lie de campos vectoriales invariantes a derecha
es denotado por X
R
(G)
⇠
=
! T
e
G. La misma prueba como dada en la pro posici´on 1.5
muestra que
Y 7! Y
e
define un iso m o r fi sm o X
R
(G)
⇠
=
! T
e
G. El campo vectorial invariante a derecha que
corresponde a h 2 T
e
G bajo este isomorfismo es llamad o el campo vectorial invariante
a derecha generado por h , y es denotado por Y
h
.
Proposici´on 1.34 Si X 2 X
L
(G) y Y 2 X
R
(G), entonces
[X, Y ]=0.
Demostraci´o n: Def´ınase i
L
Y 2 X(G ⇥ G)yi
R
Y 2 X(G ⇥ G)pori
L
Y (x, y )=
(Y (x), 0) y i
R
X(x, y)=(0,X(y)). Entonces
i
R
X ⇠
µ
X y i
L
X ⇠
µ
Y,
Por lo que
0=[i
R
X, i
L
Y ] ⇠
µ
[X, Y ] .
Puesto que µ es sobreyectiva, concluimos que [X, Y ] = 0. 2
36 Preliminares
Finalmente, considerando la aplicaci´on inversa ⌫ : x 7! x
1
de G. Como ⌫
2
=id,
⌫ es un difeomorfismo. Claramente,
⌫
a
= ⇢
a
1
⌫ ,T⌫ L
a
= R
a
1
T ⌫ , y ⌫
⇤
(
a
)
⇤
=(⇢
a
1
)
⇤
⌫
⇤
.
En particular, ⌫
⇤
se restringe a un isomorfismo
X
L
(G)
⇠
=
! X
R
(G)
de ´algeb r a s de Lie. En vista del lema 1. 5 (2), tenemos
⌫
⇤
X
h
= Y
h
,h2 T
e
G,
yportanto,parah, k 2 T
e
G,
[X
h
,X
k
](e)= [Y
h
,Y
k
](e) .
El ´algebra de Lie de un grupo de Lie.
El ´algebra de Lie de un grupo de Lie G es el espacio vectorial T
e
G, junto con la
estructura de ´algebra de Lie inducida de X
L
(G)medianteelcorolariodelaproposi-
ci´on 1. 3 3. As´ı, para h, k 2 T
e
G,
[h, k]=[X
h
,X
k
](e) .
Ahora consideremos un homomor fi sm o de grupos de Lie, ' : G ! H. Como '(e)=e
(e denota la unidad en ambos grupos), la derivada T ' se restringe a una aplicaci ´on
lineal
T
e
' : T
e
G ! T
e
H.
Esta aplicaci´on ser´a denotada por '
0
.
Proposici´on 1.35 '
0
es un homomorfismo de ´algebras de Lie.
Demostraci´o n: Esto sigue del hecho de que
X
h
⇠
'
X
'
0
h
,h2 T
e
G.
Por tanto [X
h
,X
k
] ⇠
'
[X
'
0
h
,X
'
0
k
]. Evaluando esta relaci´on en e obtenemos
'
0
[h, k]=['
0
h, '
0
k] .
2
Si : H ! K es un segundo homomorfismo de gr u pos de Lie, entonces
( ')
0
=
0
'
0
.
1.3 Grupos de Lie 37
Ejemplo 1.7.
(1) El grupo vectorial: Si V es un espaci o vectorial real o complejo finito dimen-
sional, la ad i ci ´on vectorial hace de V un grupo de Lie.
(2) El grupo GL(V ): Consid´erese al gru po GL(V )deautomorfismoslinealesde
un espacio vectorial Vndimensional (real o complejo). Este es un subconjunto
abierto del espacio vectorial L(V ), y por tanto una variedad; m´as aun, la multi-
plicaci´on e inversa son suaves y as´ı GL(V )esungrupodeLie.
Puesto que GL(V )esunsubconjuntoabiertodeL(V ), su fibrado tangente es la
restricci´on del fibrado tangente de L(V ),
TGL(V )=GL(V ) ⇥ L(V ) .
En particular, el espacio vectorial subyacente d el correspondiente ´algebra de Lie
es L(V ).
Continuando, observemos que las translaciones a izquierda
⌧
, con ⌧ 2 GL(V ),
son dadas por
⌧
()=⌧ , ⌧, 2 GL(V ) .
Esto implica que
L
⌧
(, ↵)=(⌧ , ⌧ ↵) , 2 GL(V ), ↵ 2 L(V ) .
Por tanto el campo vectorial invariante a izquierda generado por ↵ 2 L(V )es
dado por
X
↵
(⌧)=(⌧, ⌧ ↵) , ⌧ 2 GL( V ) .
Para determinar los brackets de Lie, sea f una funci o n a l lineal en L(V )ydeno-
tando tambi´en su restricci´on a GL(V )porf. entonces
(X
↵
f)(⌧)=f(⌧ ↵) ,
yporloque
([X
↵
,X
]f)(⌧)=f(⌧ (↵ ↵)) .
Como ⌧ 2 GL(V )yf 2 L(V )
⇤
fueron arbitrarios, obtenemos
[X
↵
,X
]=X
↵ ↵
.
En particular, la est ru ctu r a de Lie de L(V )inducidadelaestructuradelgrupo
de Lie de GL(V )esdadapor
[↵, ]=↵ ↵ .
(3) El grupo de los inversibles de una ´algebra asociati va: S ea A una ´algebra
asociativa finito dimensional sobre R, con elemento unidad. Para a 2 A, defina
µ(a):A ! A como la multiplicaci´on a izquierda por a. Entonces a tiene una
inversa en A si y s´olo si µ(a)esunisomorfismolineal;i.e.,siys´olosi
det µ(a) 6=0.
38 Preliminares
Los elementos inversibles de A forman un grupo G(A)bajolacomposici´on;la
condici´on atr´as muestra que G(A)esabiertoenA.PortantoG(A)esungrupo
de Lie. El mismo argumento como dado para GL(V )enL(V )muestraqueel
´a l g e b r a d e L i e d e G(A)esA, con bracket de Lie dado por
[↵, ]=↵ ↵, ↵, 2 A.
(4) Productos directos: Sea G, H grupos de Lie. La variedad producto G⇥H puede
ser grupo de Lie haciendo
(x, y) · (x
0
,y
0
)=(x · x
0
,y· y
0
), x, x
0
2 Gy,y
0
2 H.
Este grupo de Lie es llamado el producto directo de G y H.
Las proyecciones ⇡
G
: G ⇥ H ! G y ⇡
H
: G ⇥ H ! H, y las i n cl u si o n es
G, H ! G ⇥ H, opuesto d e e, son todos homomorfismos de grup os de Lie. Los
homomorfismos de ´algebras de Lie ⇡
0
G
,
0
H
son dados por
⇡
0
G
(h, k)=h y ⇡
0
H
(h, k)=k.
Esto implica que el bracket de Lie en T
e
(G ⇥ H)esdadopor
[(h, k), (h
0
,k
0
)] = ([h, h
0
], [k, k
0
]),h,h
0
2 T
e
G, k, k
0
2 T
e
H.
(5) Fibrado tangente: Si G es un grupo de Lie, entonces la aplicaci´on
Tµ : TG⇥ TG ! TG
hace de TG un grupo de Lie, con aplicaci´on inversa T ⌫. (La ley asociativa es
obtenida diferenciando la relaci´on µ (µ ⇥ id ) = µ (id ⇥ µ).) La secci´on cero
o : G ! TG es un h om o m or fis mo de grupos de Lie.
(6) La `componente: Sea G un grupo de Lie, y sea G
0
denotando la componente
conexa de la varied ad G el cual contiene e; este es una subvaried ad abierta. Puesto
que µ, ⌫ son continu as y G
0
⇥ G
0
, G
0
siendo conexas est os implican que
µ(G
0
⇥ G
0
) ⇢ G
0
y ⌫(G
0
) ⇢ G
0
.
De modo similar, aG
0
a
1
⇢ G
0
, a 2 G. As´ı G
0
es un subgrupo normal de G.
Este es claramente un grupo de Lie y es l lam ad o la `componente de G. El grupo
cociente G/G
0
es denominado grupo componente de G.
(7) Los n´umeros reales no nulos R
⇤
= R {0} ylosn´umeroscomplejosnonulos
C
⇤
= C {0} son cada uno grupos de Lie bajo la multiplicaci´on. Si V (respec-
tivamente, W )esunespaciovectorialreal(respectivamente,complejo),entonces
las aplicaciones
det : GL(V ) ! R
⇤
ydet:GL(W ) ! C
⇤
,
i.e., det
0
=tr.
1.3 Grupos de Lie 39
1.3.2. La aplicaci´on exponencial
Subgrupos a 1par´ametro
Un subgrupo a 1par´ametro de un grupo de Lie G es un homomor fi smo, ↵, d el
grupo aditivo de n´umeros reales hacia G,
↵ : R ! G.
En otras palabras, un subgrupo a 1par´ametro es una aplicaci´on suave ↵ : R ! G tal
que
↵(s + t)=↵(s)↵(t) , s, t 2 R .
En particular, ↵(0) = e y ↵(t)=↵(t)
1
.
Supongamos que ↵ : R ! G sea un grupo a 1p a r ´ametro. Entonces ↵ determina
un camino ˙↵ : R ! TG
˙↵(t)=T
t
↵ ·
d
dt
2 T
↵(t)
G.
En particular, ˙↵(0) 2 T
e
G.
Proposici´on 1.36 Sea ↵ : R ! G una aplicaci´on suave tal que ↵(0) = e y sea
˙↵(0) = h. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) ↵ es un subgrupo a 1par´ametro.
(2) ↵ es una ´orbita de X
h
.
(3) ↵ es una ´orbita de Y
h
.
Demostraci´o n:
(1))(2): Denote el campo vectorial t 7! d/dt sobre R por T ; este es un camp o vect o r i a l
invariante a izquierda y derecha por T (0). Por tanto si ↵ es un subgrupo a 1par´ametro,
T ⇠
↵
X
h
;
i.e., ↵ es una ´orbita de X
h
.
(2))(1): Asumiendo que ↵ es una ´orbita de X
h
yfijandos 2 R. Entonces
t 7! ↵(s + t)yt 7! ↵(s)↵( t )
son ambas ´orbitas de X
h
(usando la invariancia a izquierda de X
h
), y coinciden en
t =0.Portanto
↵(s + t)=↵(s)↵(t) .
(3),(1): Misma prueba como en (2),(1). 2
Proposici´on 1.37 A cada vector h 2 T
e
G corresponde un ´unico subgrupo a 1par´ame-
tro, ↵, tal que
˙↵(0) = h.
40 Preliminares
Demostraci´o n: La unicidad es inmediata de la proposici´on 1.36. Ahora probemos la
existencia. De acuerdo al teorema de existencia y unicidad de solucion de una EDO,
tenemos que para alg´un ✏ > 0existeuna´orbita
↵
0
:(✏, ✏) ! G,
para X
h
, satisfaciendo ↵
0
(0) = e.
Ahora fijemos t
0
2 (0, ✏). Def´ınase la aplicaci´on suave
↵
p
:(pt
0
✏,pt
0
+ ✏) ! G, p2 Z ,
por
↵
p
(t)=↵
0
(t
0
)
p
↵
0
(t pt
0
) .
Como X
h
es invariante a izquierda, estas aplicaciones son todas ´orbitas para X
h
. M´as
aun,
↵
p1
(pt
0
)=↵
0
(t
0
)
p
= ↵
p
(pt
0
) .
Por tanto ↵
p1
y ↵
p
coinciden en la intersecci´on de su domi n i o.
Esto conduce a una aplicaci´on suave ↵ : R ! G dada por
↵(t)=↵
p
(t) ,t2 (pt
0
✏,pt
0
+ ✏);
↵ es una ´orbita para X
h
satisfaciendo ↵(0) = e; as´ı por la proposici´on 1.3 6 est e es un
subgrupo a 1 p a r ´ametro. 2
El subgrup o a 1par´ametro, ↵, que satisface ˙↵(0) = h es llamado el subgrupo
a 1par´ametro generado por h, y es denotado por ↵
h
. En particular, el subgrupo a
1par´ametro generado por 0 es la aplicaci´on constante t 7! e.
Ejemplo 1.8 S ea C
⇤
el grupo multiplicativo de n´u m er os complejos no nulos:
C
⇤
= { z 2 C | z 6=0} Entonces su correspondiente ´algebra de Lie es C, conside-
rado como un espacio vectorial real.
El subgrupo a 1par´am et r o generado por un vector h 2 C es dado por
↵
h
(t)= exp(th) .
La aplicaci´on expon en cial
Sea G un grupo de Lie con ´algebra de Lie g (= T
e
G). Define una aplicaci´on
: R ⇥ g ! G
por
(t, h)=↵
h
(t) ,t2 R,h2 g .
1.3 Grupos de Lie 41
Lema 1.6 es una aplicaci´on suave. Este satisface
(st, h)= (t, sh) , s, t 2 R,h2 g .
Demostraci´o n: La ecuaci´on se toma porque ambos lados definen al subgrupo a
1par´ametro generado por sh.
Para mostrar que es suave, def´ınase un campo vectorial Z sobre la var i ed ad g ⇥ G
por
Z(h, a)=(0,X
h
(a)) .
En vista de existencia y soluci´on de una EDO definida por un campo vectorial, exi st en
vecindades I de 0 2 R, V de 0 en g y U de e en G, y existencia de u n a aplicaci´on suave
' : I ⇥ (V ⇥ U) ! g ⇥ G
tal que
˙'(t, h, a)=Z('(t, h, a)) ,t2 I, h 2 V, a 2 U,
y
'(0,h,a)=(h, a) .
Ahora escribamos
'(t, h, e)=('
g
(t, h), '
G
(t, h)),t2 I, h 2 V.
Entonces ˙'
g
(t, h)=0, '
g
(0,h)=h,yas´ı
'
g
(t, h)=h, t 2 I, h 2 V.
Esto implica que
˙'
G
(t, h)=X
'
g
(t,h)
('
G
(t, h)) = X
h
('
G
(t, h)) .
Por tanto '
G
(t, h)=↵
h
(t)= (t, h)yas´ı es suave en I ⇥ V .
Ahora la ecu a ci ´on funcion al
(t + ⌧,h)= (t, h) (⌧,h),t,⌧ 2 R,h2 g
implica que es suave en R ⇥V . Finalmente, aplicando la ecuaci´on (st, h)= (t, sh),
vemos que es suave en R ⇥ g.
2
Definici´on 1.3 La aplicaci´on exponencial para G es la aplicaci´on suave exp : g !
G dada por
exp h = (1,h)=↵
h
(1) .
42 Preliminares
Esto implica que el subgrupo a 1par´ametro g en er a d o por h 2 g puede ser escrito
como
↵
h
(t)= exp(th),t2 R.
En particular exp(ph)=(exph)
p
,p2 Z,h2 g.
Proposici´on 1.38 La aplicaci´on exponencial satisface
exp 0 = e y T
0
exp = (d exp)
0
= id .
Demostraci´o n: Fijando h 2 g. Entonces
h =˙↵
h
(0) =
d
dt
(exp th)
t=0
= T
0
exp(h) .
2
Corolario 1.7 Existen vecindades V de 0 en g y U de e en G en donde la aplicaci´on
exponencial se restringe como un difeomorfismo
exp : V
⇠
=
! U.
Corolario 1.8 Sea g = g
1
··· g
r
una descomposici´on de E como suma directa de
subespacios. Def´ınase ' : g ! G por
'(h
1
··· h
r
)= exph
1
· ... · exp h
r
,h
i
2 g
i
.
Entonces T
0
' =id,yporloque' lleva una vecindad de 0 difeom´orficamente sobre
una vecindad de e.
Demostraci´o n: Claramente T
0
' se restringe a la identidad en cada g
i
; por tanto este
se restringe a la identidad en g. 2
Corolario 1.9 Si G es conexo, entonces exp(g) genera G.
Demostraci´o n: exp(g)contieneunavecindaddee. As´ı el corolario sigue del siguiente
Lema. 2
Lema 1.7 Si G es conexa, y U ⇢ G es una vecindad de e, entonces U genera G.
Demostraci´o n: U genera un subgrupo abierto H de G . As´ı cada clase Ha (a 2 G)
es abierto y
G = H [
[
a6=H
Ha
particiona G en dos conjuntos abiertos disjuntos. Puesto que G es conexo, G = H.
2
1.3 Grupos de Lie 43
Ejemplo 1.9.
(1) Consid´erese el caso G = GL(V ), g = L(V ). Entonces exp es la exponencial de
matrices conocida.
(2) Sea H un segundo grupo de Lie con su respectivo ´al g eb r a de Lie h. Entonces la
aplicaci´on exponencial para G ⇥ H es dada por
exp(h, k)=(exp
G
(h), exp
H
(k)),h2 g,k2 h
Homomorfismos.
Proposici´on 1.39 Sea ' : G ! H un homomorfismo de grupos de Lie. Entonces el
homomorfismo inducido, '
0
, de ´algebras de Lie satisface
' exp
G
=exp
H
'
0
.
Demostraci´o n: Fijando h 2 g. Entonces
↵ : t 7! '(exp
G
(th)) y : t 7! exp
H
(t'
0
(h))
son subgrupos a 1par´am et r o de H. M´as aun,
˙↵(0) = '
0
(h)=
˙
(0) ,
yportanto↵ = . En particular
'(exp
G
(h)) = exp
H
('
0
(h)),h2 g.
2
Corolario 1.10 As´umase : G ! H como un segundo homomorfismo de grupos de
Lie y que '
0
=
0
. Si G es conexo, entonces ' =
Demostraci´o n: La proposici´on 1.39 implica que ' y coinciden en exp
G
(g). Este
genera G. Puesto que ' y son homomorfismos de grupos, esto implica que ' = .
2
Corolario 1.11 El homomorfismo ' es inyectivo si y s´olo si
T ' : TG ! TH
es inyectivo. En este caso ' es un embebimiento de G sobre H.
44 Preliminares
Demostraci´o n: Si T ' es inyectivo, entonces ciertamente ' es inyectivo. Rec´ıproca-
mente, asum i en d o ' inyectivo. Sea V una vecindad de 0 en g tal que la restricci´on
de exp
G
a V es inyectivo. Entonces puesto que exp
H
'
0
= ' exp
G
, la restricci´on de
exp
H
'
0
a V es inyectiva. En particular , la restricci´on de '
0
a V es inyectivo.
Como '
0
es lineal y V es un subcon ju nto abierto de g, esto implica que '
0
es
inyectivo. Puesto que
T
a
' = L
'(a)
'
0
L
a
1
,a2 G,
cada T
a
' es inyectivo. Por tanto as´ı lo es T '. 2
Corolario 1.12 Si ' es biyectivo, entonces es un difeomorfismo y por tanto un iso-
morfismo entre grupos de Lie.
Demostraci´o n: Puesto q u e ' es inyectivo, entonces tambi´en lo es T ' : TG ! TH.
Como ' es biyectivo, implica qu e ' es un difeomorfismo. 2
1.3.3. Representaciones.
En esta secci´on prefijaremos un grupo de Lie G con su corres pondiente ´algebra de
Lie g.
La derivada de una representaci´on.
Una representaci´on de G en un espacio vectorial W finito dim en si o n a l (real o com-
plejo) es un homomorfismo de grupos de Lie
R : G ! GL(W ) .
Puesto que el ´algebra de Lie de GL(W )eselespacioL(W )deaplicacioneslineales
de W , la derivada del homomorfismo R es un homomorfismo de ´algebras de Lie,
R
0
: g ! L(W )
R
0
es llamado la derivada de la representaci´on R.
Un homomorfismo de ´algebras de Lie ✓ : g ! L(W )esllamadalarepresentaci´on
de g en W . As´ı R
0
es una representaci´on de g en W .
Una representaci´on, R,deG (respectivamente, ✓ de g)esdenominadafiel si
ker R = e (respectivamente, si ker ✓ =0).
Si R es una representaci´on de G en W , entonces el subespacio invariante de R es el
subespacio W
R=I
(o simplemente W
I
)dadopor
W
I
= { w 2 W | R(g)w = w, g 2 G } .
1.3 Grupos de Lie 45
De modo similar, si ✓ es una representaci´on de g en W , entonces el subespacio invariante
para ✓ es el subespacio W
✓=0
(o W
0
)dadopor
W
0
= { w 2 W | ✓(h)w =0,h2 g } .
Un subespacio V ⇢ W es ll am ad o estable para R (respectivamente, estable para ✓)
si cad a uno de los operadores R(g),g2 G (respectivamente ✓(h),h2 g)llevaV en s´ı
mismo.
Ahora fijando h 2 g. Entonces R(exp th), y R
0
(h)sonaplicacioneslinealesdeW .
En particular, consideremos el grupo a 1par´ametro
R
h
: t 7! R(exp th)
como un camino en el espacio vectorial L(V ). Por lo tanto la diferenciaci´on produce
un camino
˙
R
h
en L(W ).
Por otro lado recordemos que TGL(W )=GL(W ) ⇥ L(W ). M´as aun,
X
R
0
(h)
(⌧)=(⌧, ⌧ R
0
(h)), ⌧ 2 GL(W ),h2 g.
Aplicando esta f´ormula co n ⌧ = R
h
(t)seconsigueelsiguiente
Lema 1.8
˙
R
h
(t)=R
h
(t) R
0
(h).
Proposici´on 1.40.
(1) El subespacio invariante W
I
y W
0
para R y R
0
est´an relacionados por
W
I
⇢ W
0
.
Si G es conexo, entonces W
I
= W
0
.
(2) Si V ⇢ W es estable para R, entonces este es estable para R
0
. Si V es estable
para R
0
y G es conexo, entonces V es estable para R.
Demostraci´o n:
(1) Sup´ongase h 2 g y w 2 W
I
. Entonces R
h
(t)w = w,yas´ı
˙
R
h
(t)w =
d
dt
(R
h
(t)w)=0.
Ahora el le m a 1.8 produce R
0
(h)w =0.PorloqueW
I
⇢ W
0
.
Rec´ıprocamente, sea h 2 g yasumaquew 2 W
0
. Entonces el lema 1.8 implica
que P
h
(t)w = w, t 2 R. Esto implica que
P (exp h)w = w, h 2 g.
Ahora considerando que G sea conexo, obtenemos q u e R(g)w = w, para cada
g 2 G.
46 Preliminares
(2) La prueba sigue el mismo camino que el item (1). 2
Ejemplo 1.10 Establezcamos que R (respectivamente, ✓)denotar´aunarepresentaci´on
de G (respectivamente, g)enW .
(1) Representaci´on contragrediente: La representaci´on, R
]
,deG en W
⇤
contra-
grediente a R est´a defin i d a por
R
]
(g)=(R(g)
1
)
⇤
,g2 G.
La representaci´on ✓
]
de g en W
⇤
contragrediente a ✓ est´a definida por
✓
]
(h)= ✓(h)
⇤
,h2 g.
Evidentemente
(R
]
)
0
=(R
0
)
]
.
(2) Representaciones multilineales: Representaciones ⌦R, ^R y _R de G en
⌦W , ^W , _W son dados por
(⌦R)(g)= ⌦ R(g), (^R)(g)= ^ R(g)y(_R)(g)= _ R(g),g2 G.
Las representaciones ✓
⌦
, ✓
^
, ✓
_
de g en ⌦W , ^W y _W son dadas por
✓
⌦
(h)(w
1
⌦ ··· ⌦ w
p
)=
p
X
i=1
w
1
⌦ ··· ⌦ ✓(h)w
i
⌦ ··· ⌦ w
p
,
✓
^
(h)(w
1
^ ···^ w
p
)=
p
X
i=1
w
1
^ ···^ ✓(h)w
i
^ ···^ w
p
,
✓
_
(h)(w
1
_ ···_w
p
)=
p
X
i=1
w
1
_ ···_✓(h)w
i
_ ···_w
p
,p> 1,
y
✓
⌦
(h) =0, ✓
^
(h) =0, ✓
_
(h) =0, 2 R.
Evidentemente,
(⌦R)
0
=(R
0
)
⌦
, (^R)
0
=(R
0
)
^
y(_R)
0
=(R
0
)
_
.
(3) Recordemos que L
p
(W )denotaelespaciodefuncionalesplineales en W . Def´ıne-
se una representaci´on, R
p
,deG en L
p
(W )dadapor
(R
p
(g))(w
1
,...,w
p
)=(R(g
1
)w
1
,...,R(g
1
)w
p
),
w
i
2 W, g 2 G, 2 L
p
(W ).
Entonces la derivada de R
p
es dada por
[(R
p
)
0
(h)]()(w
1
,...,w
p
)=
p
X
i=1
(w
1
,...,R
0
(h)w
i
,...,w
p
),h2 g.
1.3 Grupos de Lie 47
La representaci´on adjunta.
Cada g 2 G determina el automor fismo interior, ⌧
g
,deG dado por
⌧
g
(a)=gag
1
,g2 G.
Por tanto la derivada, ⌧
0
g
,de⌧
g
es un auto m or fis mo del ´algebra de Lie g.
Este es denot ad o por Ad g. Pu est o que ⌧
g
=
g
⇢
1
g
,
Ad g = L
g
R
1
g
,g2 G.
Proposici´on 1.41 La correspondencia Ad : g 7! Ad g define una representaci´on de
G en g.
Demostraci´o n: Evidentemente ⌧
g
⌧
g
0
= ⌧
gg
0
,yas´ı
Ad g Ad g
0
= Ad gg
0
.
As´ı Ad es un homomorfism o de grupos. Queda por demostrar que Ad es s u ave.
Definamos una aplicaci´on suave T : G ⇥ G ! G haciendo
T (g, a)=⌧
g
(a),g,a2 G.
Su derivada, dT , es suave. Pero
(dT )
(g,e)
(0,h) = Ad g (h) .
Por tanto, para cada h 2 g, la aplicaci´on g 7! Ad g (h)sonsuaves.Estoimplicaque
Ad es suave. 2
La representaci´on Ad es llamada la representaci´on adjunta de G.
Por otro lado, una representaci´on, ad, de ´algebras de Lie g en el espacio vectorial g
es dado por
ad(h)(k)=[h, k],h,k2 g.
Esta es denomin ad a la representaci´on adjunta de g.
Proposici´on 1.42 ad es la derivada de Ad.
Lema 1.9 Fijando a 2 G, h 2 g. Entonces
X
h
(a)=Y
Ad (a) h
(a) .
Demostraci´o n: Recordemos que Ad (a)=R
1
a
L
a
.Portanto
Y
Ad(a)h
(a)=(R
a
Ad(a))(h)=L
a
(h)=X
h
(a) .
2
48 Preliminares
Demostraci´on de la proposici´on 1.42. Fijando h 2 g yseae
1
,...,e
n
una base
para g. Entonces funciones f
i
sobre g est´an definidas por
Ad(g) h =
n
X
i=1
f
i
(g) e
i
,g2 G.
Ellos satisfacen
Ad
0
(k)h =
n
X
i=1
(X
k
(f
i
))(e)e
i
,k2 g.
Por otro lado, aplicando el lema 1.9 obtenemos
X
h
=
n
X
i=1
f
i
Y
e
i
.
Como [X
k
,Y
e
i
] = 0, esto implica que
[X
k
,X
h
]=
n
X
i=1
X
k
(f
i
)Y
e
i
.
Evaluando esto en e obtenemos [k, h] = Ad
0
(k)h. 2
Corolario 1.13 Ad (exp h)=exp(ad h),h2 g.
En resumen, cada automorfismo ' de un grupo de Lie G induce un automorfismo
'
⇤
= T
e
' de su ´algebra de Lie g; en efect o , si A 2 g, '
⇤
A es tambi´en un campo
vectorial invariante a izquierda y '
⇤
[A, B]=['
⇤
A, '
⇤
B]paraA, B 2 g. Para cada
g 2 G y A 2 g, tenemos Ad(g)A =(R
g
1
)A,porquegxg
1
= L
g
R
g
1
x = R
g
1
L
g
x y A
es invariante a izquierda. Sea A, B 2 g y '
t
el grupo a 1par´ametro de difeomorfismos
de G generado por A. Sea a
t
=exp(tA)='
t
(e). Entonces '
t
(x)=xa
t
para x 2 G.
Por la proposici´on 1.21, tenemos
[A, B]=l´ım
t!0
1
t
[('
t
)
⇤
B B]
=l´ım
t!0
1
t
[(R
a
t
)
⇤
B B]
=l´ım
t!0
1
t
[Ad(a
1
t
)B B].
Esto implica que si H es un subgrupo de Lie invariante de G, su ´algebra de Lie h es
un ideal de g, A 2 g y B 2 h implican que [A, B] 2 h. Rec´ıprocamente, el subg r u po de
Lie conexo H generado por un ideal h de g es un sub gr upo invariante de G.
Una forma di f er en ci a l ! sobre G es denominada invariante a izquierda si (L
a
)
⇤
! = !
para cada a 2 G. El espacio vectorial g
⇤
formado por todas las 1 for m as invariantes a
izquierda es el espacio dual del ´algebra de Lie g: si A 2 g y ! 2 g
⇤
, entonces la funci´on
1.3 Grupos de Lie 49
!(A)esconstantesobreG.Si! es un a forma invariante a izquierda, entonces as´ı lo es
d!, p o r q u e la derivada exterior conmuta con '
⇤
. Por ta nto obtenemos la ecuaci´on de
Maurer-Cartan:
d!(A, B)=
1
2
!([A, B]) para ! 2 g
⇤
y A, B 2 g .
La 1forma can´onica ✓ sobre G es la 1forma i nvariante a izquierda a valores en g
´u n i c a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r
✓(A)=A para A 2 g .
Sea E
1
,...,E
r
una base p a r a g yhaciendo
✓ =
r
X
i=1
✓
i
E
i
.
Entonces ✓
1
,...,✓
r
forman una base para el espacio de 1form as reales i nvariantes a
izquierda sobre G. Haciendo
[E
j
,E
k
]=
r
X
i=1
c
i
jk
E
i
,
donde los c
i
jk
son llamados las constantes de estructura de g con respecto a la base
E
1
,...,E
r
. Esto puede ser sencillamente verificado que la ecuaci´on de Maurer-Cartan
es dada por
d✓
i
=
1
2
r
X
j,k=1
c
i
jk
✓
j
^ ✓
k
,i=1,...,r.
Ahora consideremos el grupo de Lie de difeomorfismos. Decimos que un grupo de
Lie G es un grupo de Lie de difeomorfismos sobre una vari ed ad M oqueG actua
diferenciablemente sobre M si l as siguientes condiciones son satisfechas:
(1) Cada elemento a de G i n d u ce un difeomorfism o de M, denotado por x 7! xa
donde x 2 M;
(2) G ⇥ M 3 (a, x) 7! xa 2 M es una aplicaci´on diferenciable;
(3) x(ab)=(xa)b para todo a, b 2 G y x 2 M.
Tambi´en escribimos R
a
x en vez de xa ydecimosqueG actua sobre M por la derecha. Si
escribimos ax yasumimosque(ab)x = a(bx) en lugar de (3) , decimos que G actua sobre
M aizquierdayusamoslanotaci´onL
a
x por ax tambi´en. N´otese que R
ab
= R
b
R
a
y L
ab
= L
a
L
b
. De (3) y del hecho de que cada R
a
o L
a
es uno-a-uno sobre M, esto
implica que R
e
y L
e
son los di feo m or fi smo s identidad de M.
Decimos que G actua efectivamente (resp. libremente)sobreM si R
a
x = x para
todo x 2 M (resp. para alg´un x 2 M)implicaquea = e.
Si G actua sobre M por la derecha, asignamos a cada elemento A 2 g un campo
vectorial A
⇤
sobre M como sigue. La acci ´on del su b gr upo a 1par´a m et r o a
t
=exptA
sobre M induce un campo vectorial sobre M, el cual ser´a denotado por A
⇤
.
50 Preliminares
Proposici´on 1.43 Sea un grupo de Lie G actuando sobre M por la derecha. La apli-
caci´on : g ! X(M) el cual env´ıa A hacia A
⇤
es un homomorfismo de ´algebras de Lie.
Si G actua efectivamente sobre M, entonces es un isomorfismo de g sobre X(M). Si
G actua libremente sobre M, entonces, para cada A 2 g no cero, (A) nunca se anula
sobre M.
Demostraci´o n: Primero observemos que puede ser definido tambi´en en el siguiente
modo. Para cada x 2 M, sea
x
la aplicaci´on a 2 G ! xa 2 M. Entonces (
x
)
⇤
A
e
=
(A)
x
. Esto implica que es una aplicaci´on lineal de g hacia X(M). Para probar que
conmuta con el bracket, sea A, B 2 g, A
⇤
= A, B
⇤
= B y a
t
=exptA. As´ı tenemos
[A
⇤
,B
⇤
]= l´ım
t!0
1
t
[B
⇤
R
a
t
B
⇤
].
Del h e cho de que R
a
t
xa
1
t
(c)=xa
1
t
ca
t
para c 2 G, obtenemos ( d en o t a n d o la dife-
rencial de una aplicaci´on por la misma letra)
(R
a
t
B
⇤
)
x
= R
a
t
xa
1
t
B
e
=
x
(Ad(a
1
t
)B
e
)
yportanto
[A
⇤
,B
⇤
]=l´ım
t!0
1
t
[
x
B
e
x
(Ad(a
1
t
)B
e
)]
=
x
✓
l´ım
t!0
1
t
[B
e
Ad(a
1
t
)B
e
]
◆
=
x
([A, B]
e
)
=([A, B])
x
,
En virtud de la f´ormula para [A, B] en g en t´ermino s de Ad G . As´ı tenemos probado que
es un homomorfismo d el ´algebra de Lie g ha ci a el ´alg eb r a de Lie X(M). Sup´ongase
que A =0entodaspartessobreM. Esto significa que el grupo a 1par´ametro de
difeomorfismos R
a
t
es trivial, que es, R
a
t
es el difeomorfismo identidad de M para
cada t.SiG es efectiva sobre M, esto implica que a
t
= e par a cada t yportanto
A =0.Paraprobarquelaanterioraseveraci´ondenuestraproposici´on,asumaqueA
se anula en alg´un punto x de M. Entonces R
a
t
deja x fijado p a r a cada t.SiG actua
libremente sobre M, esto impli ca que a
t
= e par a cada t yportantoA =0.
2
Cap´ıtulo 2
Fibrados con grupo estructural
´
Este cap´ıtulo sigue principalmente las ideas de (Greub, W.H. y Halperin, S.; 197 3 ),
(Saunders, D.J.; 1989) y (Steenrod, N.; 1951).
2.1. Fibrados suaves
2.1.1. La propiedad del pro duct o local
Sea ⇡ : E ! M una aplicaci´on suave ent r e variedades. La aplicaci´on ⇡ es dicha que
tiene la propiedad de producto local con respecto a una variedad modelo F si existe un
cubrimiento abierto {U
↵
} de M yunafamilia{
↵
} de difeomo r fi sm o s
↵
: U
↵
⇥ F ! ⇡
1
(U
↵
) ,
tal que
⇡
↵
(x, p)=x, x2 U
↵
,p2 F.
El sistema {(U
↵
,
↵
)} ser´a llamado la descomposici´on local de ⇡.
Claramente cualquier aplicaci´on con la propiedad de producto local es sobreyectiva
yabierta.
Definici´on 2.1 Un fibrado suave es una cu´adrupla (E,⇡,M,F) donde ⇡ : E ! M
es una aplicaci´on suave el cual tiene la propiedad de producto local con respecto a F .
Una descomposici´on local para ⇡ es llamada la representaci´on en coordenadas del
fibrado.
Llamaremos a E como el espacio total o espacio fibrado, M el espacio base,y
F la fibra t´ıpica o fibra modelo. Para cada x 2 M, el conjunto F
x
= ⇡
1
(x) ser´a
llamada la fibra sobre x . Cada fibra es un subconjunto cerrado de E,yE es la uni´on
disjunta de las fibras.
Una secci´on suave de un fibrado (E, ⇡,M,F) es una aplicaci´on suave : M ! E tal
que ⇡ = Id
B
.
51
52 Fibrados con grupo estructural
Si {(U
↵
,
↵
)} es una representaci´on en coordenadas del fibrado, obtenemos biyecciones
↵,x
: F ! F
x
,x2 U
↵
, definidas por
↵,x
(q)=
↵
(x, p),p2 F.
En particular, si x 2 U
↵
, obtenemos aplica ci o n es
1
,x
↵,x
: F ! F . Estos son
difeomorfismos. En efecto, puesto que
↵
y
definen difeomorfismos de U
↵
⇥ F sobre
⇡
1
↵
, ellos determinan un difeomorfismo
↵
=
1
↵
de U
↵
⇥ F sobre s´ı misma.
Mas
↵
(x, q)=(x,
1
,x
↵,x
(q)),x2 U
↵
,q2 F,
yportanto
1
,x
↵,x
es un difeomor fi sm o de F .
Ahora sup´ongase que (E
0
, ⇡
0
,M
0
,F
0
)esunsegundofibradosuave.Entoncesuna
aplicaci´on suave ' : E ! E
0
es aquella que preserva fibra si, siempre que ⇡ z
1
= ⇡ z
2
,
(z
1
,z
2
2 E), entonces ⇡
0
'(z
1
)=⇡
0
'(z
2
). Cualquier aplicaci´on ' que preserva fibra
induce un a aplicaci´on ˆ' : M ! M
0
haciendo el requerimiento de que el siguiente
diagrama conmuta.
E E
0
M M
0
'
⇡
⇡
0
ˆ'
Ahora mos tr em o s que ˇ' es siempre suave. En efecto, si {(U
↵
,
↵
)} es una descom-
posici´on local para ⇡ y q 2 F es fijado, entonces
ˇ'(x)=(⇡
0
'
↵
)(x, q),x2 U
↵
.
Por tanto ˇ' es suave sobre cada m i embro U
↵
del cubrimiento de M.
Sea (E
00
, ⇡
00
,M
00
,F
00
)untercerfibradoyasumaque' : E ! E
0
, ' : E
0
! E
00
preservan fibra . Entonces '
0
' : E ! E
00
preserva fibra y ('
0
')ˇ = ˇ'
0
ˇ'.
Proposici´on 2.1 Sea M, F variedades y sea E un conjunto. Asuma que la aplicaci´on
sobreyectiva entre conjuntos ⇡ : E ! M es dada con las siguientes propiedades:
(1) Existe un cubrimiento abierto {U
↵
} de M y una familia {
↵
} de biyecciones
↵
: U
↵
⇥ F ! ⇡
1
(U
↵
) .
(2) Para cada x 2 U
↵
,q2 F, ⇡
↵
(x, q)=x.
(3) La aplicaci´on
↵
: U
↵
⇥ F ! U
↵
⇥ F definido por
↵
(x, q)=(
1
↵
)(x, q)
son difeomorfismos.
Entonces existe exactamente una estructura de variedad sobre E para el cual (E,⇡,M,F)
es un fibrado suave con representaci´on en coordenadas {(U
↵
,
↵
)}.
2.2 Fibrados principales 53
Demostraci´o n: Podemos asumir que {↵} es numerable y haciendo W
↵
= ⇡
1
(U
↵
),
'
↵
=
1
↵
,yM
↵
= U
↵
⇥ F obtenemos una ´u n ica estructura de variedad suave sobre E
tal que los
↵
son difeomorfismos.
Entonces la hip´otesis (2) nos dice que la restricci´on de ⇡ a ⇡
1
(U
↵
)es⇡
↵
1
↵
,
donde ⇡
↵
: U
↵
⇥ F ! U
↵
denotan las proyecciones sobre su primer factor. Pu est o que
⇡
↵
es suave, ⇡ es suave sobre ⇡
1
(U
↵
). Por tanto ⇡ es suave sobre E yentonces,por
definici´on, {(U
↵
,
↵
)} es una descomposici´on local para ⇡.Portanto(E,⇡,M,F)es
un fibrado con representaci´on en coor d en a d a s {(U
↵
,
↵
)}. 2
Proposici´on 2.2 Cada fibrado suave tiene una representaci´on en coordenadas finita.
Demostraci´o n: Sea {(U
↵
,
↵
)} cualquier representaci´on en coordenadas para
(E,⇡,M,F). Escogiendo un refinamiento {V
ij
| i =1,...,p; j 2 N} de {U
↵
} tal
que V
ij
\ V
ik
= ; para j 6= k. Sea V
i
=
S
j
V
ij
ydef´ınase
i
: V
i
⇥ F ! ⇡
1
(V
i
)por
i
(x, q)=
ij
(x, q)six 2 V
ij
,q2 F,
donde
ij
es la restricci ´on de alg´un
↵
. 2
2.2. Fibrados principales
Definici´on 2.2 Sea G un grupo de Lie. Un fibrado principal (suave) con grupo
estructural G es un par (P,T), donde
(i) P =(P, ⇡,M,G) es un fibrado suave.
(ii) T : P ⇥ G ! P es una acci´on a derecha de G sobre P .
(iii) P admite una representaci´on en coordenadas {(U
↵
,
↵
)} tal que
↵
(x, gg
0
)=
↵
(x, g) · g
0
,x2 U
↵
,g,g
0
2 G.
(N´otese que escribimos T (z,g)=z · g).
La acci´on T es denominada la acci´on principal y u n a representaci´on en coordenadas
satisfaciendo la condici´on (iii) es llamada una representaci´on principal en coordenadas.
La condici´on (iii) implica que
⇡(z · g)=⇡(z) · g, z 2 P, g 2 G.
M´as incluso, esto implica que la acci´on T es l i br e y que la ´orbita d e G atrav´es del
punto z 2 P es la fibra conteniendo z. En particular, las ´orbitas son subvariedades de
P . Estos ser´an denotados por G
x
= ⇡
1
(x)(x 2 M), (puesto que la acci´on es libre no
existe confusi´on con la notaci´on pa ra el grupo de isotrop´ıa). N´otese q u e G
x
7! x define
una biyecci´on de conjuntos entre las ´orbitas y M.
54 Fibrados con grupo estructural
Sea
ˆ
P =(
ˆ
P,ˆ⇡,
ˆ
M,
ˆ
G)unsegundofibradoprincipalconacci´onprincipal
ˆ
T . Una
aplicaci´on suave equivariante ' : P !
ˆ
P es llamada homomorfismo de fibrados princi-
pales. Tal homomorfismo es aquella que preserva ´orb i t as , y por tanto preserva fibras.
As´ı este ind u ce una aplica ci ´on suave ˇ' : P !
ˆ
P tal que ˆ⇡ ' =ˇ' ⇡.
M´as aun, ' se restr in ge a las aplicaciones suaves '
x
: G
x
! G
ˇ'(x)
(x 2 M). Las
relaciones
'
x
(z · a)='
x
(z) · a, z 2 G
x
,a2 G,
implican que cada '
x
es un difeomorfismo. Esto conduce a que ' es un difeomorfismo si
ys´olosi ˇ' lo es. En est e caso '
1
es tambi´en un homomorfismo de fibrados principales
y ' y '
1
son llamados isomorfismos de fibrados principales.SiM = M
0
yˇ' =Id,
entonces ' es l l am ad o un isomorfismo estricto o fuerte entre fibrados principales.
Ejemplo 2.1.
(1) El fibrado producto: El fibrado trivial,
(M ⇥ G, ⇡,M,G),
junto con la acci´on a derecha
(x, a) · b =(x, ab),x2 M, a, b 2 G
es un fibrad o principal. Est e es llamado fibrado trivial.
(2) Espacios homog´eneos: Sea K un subgrupo cerra d o de G. Entonces el fibrado
(G, ⇡,G/K,K), junto con la acci´on de K sobre G por la multiplicaci´on a derecha,
es un fibrad o principal con grupo estructu r al K.
(3) Fibrado referencial: Sea ⇠ =(E,⇢,M,E)unfibradovectorial,y,parax 2 M,
sea G
x
denotando el conjunto de isomorfismos lineales de E hacia E
x
. Deberemos
construir un fibrado principal, (P, ⇡,M,GL(E)), donde P =
S
x
G
x
y ⇡ es la pro-
yecci´on que llev a G
x
hacia x.
En efecto, sea {(U
↵
,
↵
)} una representaci´on en coordenadas para ⇠. Los isomor-
fismos
↵,x
: E
⌘
! E
x
determina un conjunto de biyecciones
'
↵,x
: GL(E) ! G
x
,x2 U
x
,
por
'
↵,x
=
↵,x
', ' 2 GL(E) .
As´ı el conju nto de biyecciones '
↵
: U
↵
⇥ GL(E) ! ⇡
1
(U
↵
)sondadospor
'
↵
(x, ')=
↵,x
',x2 U
↵
, ' 2 GL(E).
Evidentemente
('
1
↵
'
)(x, ')=(x,
1
↵,x
,x
'),x2 U
↵
\ U
, ' 2 GL(E).
2.2 Fibrados principales 55
Esto implica que '
1
↵
'
es un difeomorfismo d e (U
↵
\ U
) ⇥ GL(E). Por tanto
por la proposici´on 2.1 existe una ´un i ca estructura suave sobre el conjunto P tal
que (P, ⇡,M,GL(E)) se torna un fibrado suave.
Finalmente, def´ınase una acci´on a derecha de GL(E)sobrecadaconjuntoG
x
haciendo
'
x
· ' = ' ', '
x
2 G
x
, ' 2 GL(E).
Estas acciones definen una acci´on a derecha de GL(E)sobreelconjuntoP . Incluso
m´as,
'
↵
(x, ') · '
1
= '
↵
(x, ' '
1
),x2 U
↵
, ', '
1
2 GL(E).
Esto implica que la acci´on de GL(E )sobreP es suave y que P =(P, ⇡,M,GL(E))
es un fibrado pr incipal.
Fijando una base e
1
,...,e
r
de E. Entonces una biyecci´on de G
x
al conjunto de
bases ( o referenciales)deE
x
es dado por
' 7! ('e
1
,...,'e
r
) .
Por esta raz´on P es llamado el fibrado referencial asociado a ⇠.
2.2.1. Propiedades elementales
Sea P =(P, ⇡,M,G)unfibradoprincipalqueadmiteunasecci´on sobre un
conjunto abierto U ⇢ M. determina el h o m o m o r fi sm o ' : U ⇥ G ! P de fibrados
principales, dados por
'(x, a)=(x) · a, x 2 U, a 2 G.
' puede ser considerado como un i so m o r fi sm o fuerte del fibrado trivial a la restricci´on
de P a U. En parti cu l a r , si P ad m i t e una secci´on global, este es un fibrado trivial.
Si ⌧ es una segu n da secci´on sobre u n conjunto abierto V , entonces existe una ´unica
aplicaci´on suave
g
UV
: U \ V ! G
tal que '(x, g
UV
(x)) = ⌧(x). Tenemos
⌧(x)=(x) · g
UV
(x),x2 U \ V,
yestaecuaci´ondeterminag
UV
.
Lema 2.1 Sea P =(P, ⇡,M,G) un fibrado suave. Sea T una acci´on suave a derecha
libre de G a P , cuyas ´orbitas coinciden con las fibras del fibrado. Entonces P es un
fibrado principal con acci´on principal T .
Demostraci´o n: Sea {U
↵
} un cu b r i m i ento abier t o de M tal que cada U
↵
admite una
secci´on
↵
: U
↵
! P . Def´ınase
↵
: U
↵
⇥ G
⌘
! ⇡
1
(U
↵
)haciendo
↵
(x, a)=
↵
(x) · a.
56 Fibrados con grupo estructural
Entonces {(U
↵
,
↵
)} es una representaci´on en coorden a d a s satisfaci en d o la condici´on (iii).
2
Continuando, sea P =(
ˆ
P,ˆ⇡,
ˆ
M,
ˆ
G) un fib r ado principal, y sea : M !
ˆ
M una
aplicaci´on suave. Construiremos un fibrado principal (P, ⇡,M,G)juntoconunhomo-
morfismo, ' : P !
ˆ
P , de fibrad os principales el cual ind u ce .
En efecto, sea P la uni´on disjunta,
P =
[
x2M
({x} ⇥ G
(x)
),
ydefinea⇡ por ⇡({x} ⇥ G
(x)
)=x. Define una acci´o n a de re cha, T ,deG sobre el
conjunto P yunaaplicaci´onequivariantedeconjuntos' : P !
ˆ
P por
T ((x, z),a)=(x, z · a)y'(x, z)=z, z 2 G
(x)
,x2 M, a 2 G.
Damos a P una estructura su ave, como sigue. Esc´oja se un cubrimiento abierto {V
⌫
}
de
ˆ
M tal que cada V
⌫
admite una secci´on
⌫
: V
⌫
!
ˆ
P . Sea U
⌫
=
1
(V
⌫
)ydefina
biyecciones
⌫
: U
⌫
⇥ G ! ⇡
1
(U
⌫
)por
⌫
(x, a)=(x,
⌫
( (x)) · a) .
Entonces para x 2 U
⌫
\ U
µ
,
(
1
µ
⌫
)(x, a)=(x, g
µ⌫
( (x))a) ,
donde g
µ⌫
: V
⌫
\ V
µ
! G es la aplicaci´on su ave satisfaciendo
⌫
(y)=
µ
(y) · g
µ⌫
(y),y2 V
µ
\ V
⌫
.
As´ı, aplicando la proposici´on 2.1 obtenemos una ´unica estructura suave sobre P tal que
P =(P, ⇡,M,G)esunfibradosuaveconrepresentaci´onencoordenadas{(U
⌫
,
⌫
)}.
Como las aplicaciones
⌫
son equivariante, T es una acci´on suave y ( P,T)esunfibrado
principal. M´as aun, ' es un homomorfismo de fibrados principal es.
2.3. Fibrados asociados
En esta secci´on P =(P, ⇡,M,G) denotar´a u n fibrado principal con acci´on princi-
pal T . Adem´as
S : G ⇥ F ! F
denotar´a una acci´on, fija, a izquierda de G sobre una variedad F .
2.3 Fibrados asociados 57
2.3.1. Fibrados asociados
Considere la acci´on a derecha, Q,deG sobre la variedad producto P ⇥ F dado por
Q
a
(z,y)=(z, y) · a =(z · a, a
1
· y),z2 P, y 2 F, a 2 G.
Q ser´a llamada acci´on conjunta de G. El conjunto de ´orbitas para la acci´on conjunta
ser´a denotad o por P ⇥
G
F y
q : P ⇥ F ! P ⇥
G
F
denotar´a la proyecci´on correspondiente; i.e., q(z,y)esla´orbitaatrav´esde(z,y).
La aplicaci´on q d et er m i n a una aplicaci´on ⇢ : P ⇥
G
F ! M via el diagrama conmu-
tativo
P ⇥ F P ⇥
G
F
P M,
q
⇡
P
⇢
⇡
(2.1)
donde ⇡
P
: P ⇥ F ! P es la proyecci´on obvia. Den´otese a ⇢
1
(x)porF
x
, x 2 M.
Proposici´on 2.3 E xiste una ´unica estructura suave sobre P ⇥
G
F tal que
(1) ⇠ =(P ⇥
G
F, ⇢,M,F) es un fibrado suave.
(2) q : P ⇥ F ! P ⇥
G
F es una aplicaci´on suave que preserva fibra, que se restringe
a difeomorfismos
q
z
: z ⇥ F
⇠
=
! F
⇡(z)
,z2 P,
sobre cada fibra.
(3) (P ⇥ F, q, P ⇥
G
F, G) es un fibrado principal suave con acci´on principal Q.
(4) ⇡
P
es un homomorfismo de fibrados principales.
Definici´on 2.3 ⇠ es denominado el fibrado con fibra F y grupo estructural G
asociado a P; q es llamada la aplicaci´on principal.
Demostraci´on de la proposici´on.
Prueba de (1): Construiremos una estructura suave sobre P ⇥
G
F para el cual ⇠
es un fibrado suave. Sea {U
↵
} un cubrimiento abierto de M yconsid´ereselasecci´on
↵
: U
↵
! P . Estos est´an relacionad o s por
(x)=
↵
(x) · g
↵
(x),x2 U
↵
\ U
,
donde g
↵
: U
↵
\ U
! G son aplicaciones suaves. Def´ınanse las aplicaciones,
'
↵
: U
↵
⇥ F ! ⇢
1
(U
↵
),
58 Fibrados con grupo estructural
haciendo
'
↵
(x, y)=q(
↵
(x),y),x2 U
↵
,y2 F.
Entonces ⇢('
↵
(x, y)) = x yas´ı'
↵
se restringe al conjunto de aplicaciones
'
↵,x
: F ! ⇢
1
(x),x2 U
↵
.
M´as aun, para cada ´orbita en ⇢
1
(x) se corresponde a un ´unico y 2 F tal que la ´orbita
pasa atrav´es de
↵
(x),y). Por tanto '
↵,x
es biyecci´on, y as´ı '
↵
es biyectivo.
Adem´as, las relaciones q(z · a, y)=q(z, a · y)implicanque
'
1
↵
'
(x, y)=(x, g
↵
(x) · y),x2 U
↵
\ U
,y2 F.
As´ı, esto est ab l e ce una estructura suave sobre P ⇥
G
F en el cu al ⇠ se torna un fibrado
suave con representaci´on en coordenadas {(U
↵
, '
↵
)}.
Prueba de (3): Para mostrar que (P ⇥ F, q , P ⇥
G
F, G), es un fibrado principal con
acci´on p r i n ci pa l Q, consid´erese el siguiente diagrama conmutativo,
U
↵
⇥ G ⇥ F ⇡
1
(U
↵
) ⇥ F
U
↵
⇥ F ⇢
1
(U
↵
) ,
↵
⇥ Id
Id ⇥S
q
'
↵
(2.2)
donde
↵
(x, a)=
↵
(x) · a. Sea V
↵
= ⇢
1
(U
↵
); entonces
q
1
(V
↵
)=(⇡ ⇡
P
)
1
(U
↵
)=⇡
1
(U
↵
) ⇥ F.
Por lo tanto, los difeomorfismos
↵
: V
↵
⇥ G
⇠
=
! q
1
(V
↵
)sondadospor
↵
('
↵
(x, y),a)=(
↵
(x, a),a
1
· y).
Ellos satisfacen l as relaciones
(q
↵
)(w, a)=w,
↵
(w, ab)=Q(
↵
(w, a),b),w2 V
↵
, a, b 2 G;
(3) sigue.
Prueba de (2): El diagrama con mutativo (2 . 1 ) muestra que q preserva fibra, m i entras
que el dia g ra ma conmutativo (2.2) implica que la aplicaci´on
q
z
: F
⇠
=
! F
⇡(z)
son difeomorfismos.
Prueba de (4) : Sigue trivialmente de los anteriores. 2
2.3 Fibrados asociados 59
2.3.2. Aplicaciones equivariantes
As´umase que P =(
ˆ
P,ˆ⇡,
ˆ
M,G) se a un segu n d o fi b r a d o pr i nci p a l y q u e
ˆ
S sea una
acci´on a izquierda de G sobre una variedad
ˆ
F . Sup´ongase que
' : P !
ˆ
P y ↵ : F !
ˆ
F
sean aplicaciones equivariantes.
Entonces la aplicaci´on ' ⇥ ↵ : P ⇥ F !
ˆ
P ⇥
ˆ
F es equi variante con respecto a la
acci´on conjunta de G; i.e., este es un h o m o m o r fi sm o de fibrados prin ci p a l es. Por lo que
induce una aplicaci´on suave,
' ⇥
G
↵ : P ⇥
G
F !
ˆ
P ⇥
G
ˆ
F,
el cual hace al diagrama,
P ⇥ F
ˆ
P ⇥
ˆ
F
P ⇥
G
F
ˆ
P ⇥
G
ˆ
F,
'⇥↵
q
ˆq
'⇥
G
↵
conmutar.
Sea : M !
ˆ
M una apli ca ci ´on suave inducida por '. Entonces el d i a g r a m a ,
P ⇥
G
F
ˆ
P ⇥
G
ˆ
F
M
ˆ
M,
'⇥
G
↵
⇢
ˆ⇢
conmuta, i.e., '⇥
G
↵ es una aplicaci´on que preservan fibra entre los fibrados asociados.
El diagrama conmutativo
F
ˆ
F
F
x
ˆ
F
(x)
↵
q
z
ˆq
'(z)
('⇥
G
↵)
x
x = ⇡(z),z2 P,
muestra que, si ↵ es un difeomorfismo, entonces as´ı lo es cada (' ⇥
G
↵)
x
.
El caso cuando P =
ˆ
P y ' =Id,esdeparticularimportancia;enestecaso
obtenemos una aplicaci´on que preserva fibra,
(Id ⇥
G
↵):P ⇥
G
F ! P ⇥
G
ˆ
F,
el cual ind u ce la aplicaci´on identidad en M.
60 Fibrados con grupo estructural
Ejemplo 2.2.
1. F = {point}. Entonces P ⇥
G
F = M yelfibradoprincipal(P ⇥ F, q, P ⇥
G
F, G)
coincide con P.
2. Asuma la acci´on de G sobre F como trivial. Entonces ⇠ =(M ⇥ F, ⇢,M,F)es
trivial. Tambi´en, si el fibrado principal P es trivial, entonces as´ı lo es ⇠.
3. Sup´ongase que y 2 F sea fijado bajo la acci´on de G: a · y = y, a 2 G.
Entonces la inclusi ´on j : {y} ! F es equivari ante. Este induce un diagrama
conmutativo suave
P ⇥
G
{y} P ⇥
G
F
M M;
⇠
=
⇢
Id
as´ı es una secci´on en ⇠.
4. extensi´on: Sea : G ! K un homomorfismo de gr u pos de L i e. Entonces G
actua a izquierda sobre K por
a · y = ( a) y, a 2 G, y 2 K.
As´ı obtenemos un fibrado P
=(P ⇥
G
K, ⇢,M,K).
Por otro lado, la aplicaci´on multiplicaci´on de K determina una acci´on a derecha
(P ⇥ K) ⇥ K ! P ⇥ K.
Esta aplicaci´on tiene en cuenta l os factores sobre q para producir una acci´on libre
aderecha
T
:(P ⇥
G
K) ⇥ K ! P ⇥
G
K.
Las ´orbitas de T
son precisamente las fibras de P ⇥
G
K. As´ı esto implica que
(P
,T
)esunKfibrado principal. Este es llamado de extensi´on de P.
Continuando, def´ınase un a aplicaci´on suave '
: P ! P ⇥
G
K considerando
'
(z)=q(z, e). El diagrama,
P ⇥ G P ⇥ K
P P ⇥
G
K
M
Id⇥
T
q
'
⇡
⇢
conmuta. Esto muestra que '
es una aplicaci´on que preserva fibra de P hacia
P ⇥
G
K, induciendo la identidad en M.
En particular, consid´erese el caso cuando G = K y =Id; as´ı G actua sobre s´ı
mismo por la multiplicaci´on a izquier d a . En este caso '
es un isomorfismo fuerte
de fibrados principales, y el diagrama muestra que (P ⇥ G, q , P ⇥
G
G, G)esel
fibrado principal trivial.
2.3 Fibrados asociados 61
5. Reducci´on del grupo estructural: Tambi´en, sea : G ! K un ho m o m o r fi sm o
de grupos de Lie. As´umase que
ˆ
P =(
ˆ
P,ˆ⇡,M,K) es un fi b ra do prin c i p al . Una
reducci´on del grupo estructural de
ˆ
P de K hacia G via es un fibrado principal
P =(P, ⇡,M,G)yunaaplicaci´onsuavequepreservafibra' : P !
ˆ
P , induciendo
la identidad en la base, y satisfaciendo
'(z · a)='(z) · (a),a2 G.
Tal reducci´on induce un isomorfismo obvio de fibrados principales de la extensi´on
de P a
ˆ
P. Rec´ıprocamente, si P =(P, ⇡,M,G)escualquierfibradoprincipalcon
extensi´on P
=(P ⇥
G
K, ⇢,M,K), entonces el homomorfismo '
es una re-
ducci´on del grupo estructural de P
de K hacia G.
2.3.3. Fibrado vectorial asociado
Asuma ahora que F es un espacio vectorial finito dimensional (real o complejo) y S
una representaci´on de G en F. En este caso F = P ⇥
G
F es un fibrado vectorial.
En efecto, para cada x 2 M, z 2 ⇡
1
(x), los difeomorfismos q
z
: F
⇠
=
! F
x
son
conectados por
q
z·a
= q
z
S(a) ,a2 G.
Puesto que la apli caci ´on S(a)esunisomorfismolineal,existeuna´unicaestructura
lineal en F
x
para el cual las aplicaciones q
z
se tornan isomorfismos lineales. El vector
cero de F
x
es dado por 0
x
= q( z, 0),z2 ⇡
1
(x).
Cada '
↵,x
de la representa ci ´on en coo r d en a d a s {(U
↵
, '
↵
)} para ⇠ es un isomorfismo
lineal. Por tanto ⇠ es un fibr ad o vectorial con representaci´on en coordenadas de fib r ad o
vectorial {(U
↵
, '
↵
)}. Puesto que q se r est r i nge a isomorfismos en las fibras, el fibrado
trivial (P ⇥ F, ⇡
P
,P,F)eselpull-backde⇠ a P via ⇡.
A la representaci´on trivi a l S corr esponde el fibrado vectorial trivial.
Siguiendo, con si d er e una representaci´on de G en un segundo espacio vectorial H y
sea ↵ : F ! H sea una aplicaci´on lineal equivariante. Entonces la aplicaci´on inducida,
Id ⇥
G
↵ : P ⇥
G
F ! P ⇥
G
H,
es lineal en cada fibra, y as´ı esta es una aplicaci´on (fuerte) de fibrados.
Denote a los fibrados vectoriales que corresponden a F y E por F y E yconsidere
las representaciones inducidas de G en los espacios
F E, F ⌦ E,L(F; E), F
⇤
, ^ F.
Las varias aplicaciones can´onicas entre estos espacios vectoriales, tal como
evaluaci´on: L(F; E) ⌦ F ! E,
composici´on: L(F) ⌦ L(F) ! L(F),
proyecci´on: F E ! F,
trazo: L(F) ! R,
62 Fibrados con grupo estructural
conmutan con la representaci´on de G. As´ı , ellos inducen aplicaciones entre lo s corres-
pondientes fibrados vectoriales. Para l o s cuatro ejemplo s atr´as tenemos
evaluaci´on: L(F; E) ⌦ F ! E,
composici´on: L(F ) ⌦ L(F ) ! L(F ) ,
proyecci´on: F E ! F,
trazo: L(F ) ! F(M).
Cap´ıtulo 3
Teo r´ıa de conexi ones
´
Este cap´ıtulo recoge las ideas d e (Bleecker, D.; 1981), (Greub, W.H. y Halperin, S . ;
1973), (Kobaya sh i , S. y Nom i zu , K.; 1963), (Kol´a r, I., Michor P.W. y Slov´ak, J.; 1993),
(Learth Soares, B.; 2007) y (Mangiarotti, L. y Sardanashvily, G.; 2000).
3.1. Conexiones en un fibrado principal
Sea P =(P, ⇡,M,G) un fibrado principal sobre una variedad M con grupo es-
tructural G. Para cada u 2 P , sea V
u
un subespacio de T
u
P que consiste de vectores
tangentes a la fibra atrav´es de u. Una conex i ´on en P es asignar un subespacio H
u
de T
u
P , para cad a u 2 P ,talque
(a) T
u
P = V
u
H
u
;
(b) H
ua
=(R
a
)
⇤
H
u
para cada u 2 P y a 2 G,dondeR
a
es un difeomorfismo de P
inducido por a 2 G, R
a
u = ua;
(c) H
u
depende diferenciablemente sobre u.
La condici´on (b) significa que la distribuci´on u 7! H
u
es invariante por G. D en o -
minamos a V
u
como el subespacio vertical y H
u
el subespacio horizontal de T
u
P . Un
vector X 2 T
u
P es llamado vertical (resp. horizontal)siesteperteneceaV
u
(resp. H
u
).
Por (a), cada vector X 2 T
u
P puede ser escrito de modo ´unico como
X = Y + Z donde Y 2 V
u
y Z 2 H
u
.
Llamaremos a Y (resp. Z)lacomponente vertical (resp. hor izontal)deX ydenotaremos
este por vX (resp. hX). La condici´on (c) significa, por definici´on, que si X es un campo
vectorial suave sobre P entonces as´ı lo ser´an vX y hX. (Esto es equivalente a decir
que la distribuci´on u 7! H
u
es diferenciable).
Dada una conexi´on en P , definimos una 1forma ! sobre P avaloresenel´algebra
de Lie g de G como sigue. En el cap´ıtulo 1 mostramos que cada A 2 g induce un campo
63
64 Teor
´
ıa de conexiones
vectorial A
⇤
sobre P , denominado el campo vectorial funda m ental correspond i ente a
A,yqueA 7! (A
⇤
)
u
es un isomorfismo lineal de g hacia V
u
para cada u 2 P .Para
todo X 2 T
u
P , definimos !(X) como siendo el ´unico A 2 g tal que (A
⇤
)
u
es igual a la
componente vertical de X, vX . Es claro q u e !(X)=0siys´olosiX es horizontal. La
forma ! es denominada como la forma conexi´on de la conexi´on dada.
Proposici´on 3.1 La forma conexi´on ! de una conexi´on satisface las siguientes con-
diciones:
(a’) !(A
⇤
)=A para cada A 2 g;
(b’) (R
a
)
⇤
! = Ad(a
1
) !, que es, !((R
a
)
⇤
X)=Ad(a
1
) · !(X) para cada a 2 G y cada
campo vectorial X sobre P , donde Ad denota la representaci´on de G en g.
Rec´ıprocamente, dado una 1forma ! a valores en g sobre P satisfaciendo las condi-
ciones (a’) y (b’), existe una ´unica conexi´on en P cuya forma conexi´on es !.
Demostraci´o n: Sea ! la forma conexi´on de una conexi´on. La condici´on (a’) sigue
inmediatamente de la definici´on de !. Puesto que cada campo vectorial de P puede
ser descompuesto en campos vector i ales horizontales y campos vectoriales verticales, es
suficiente para verificar (b’) los siguientes dos casos especiales: (1) X es horizontal y (2)
X es vertical. Si X es horizontal, as´ı lo es (R
a
)
⇤
X para cada a 2 G por la condici´on (b)
para una conexi´on. As´ı, !((R
a
)
⇤
X)yAd(a
1
) · !(X)ambossonnulos.Elcasocuando
X es vertical, podemo s asumir adem´as que X es un campo vectorial fundamental A
⇤
.
Entonces (R
a
)
⇤
X es el campo vectorial fundamental correspondiente al Ad(a
1
)A. As´ı
tenemos
(R
⇤
a
!)
u
(X)=!
ua
((R
a
)
⇤
X)=Ad(a
1
)A = Ad(a
1
)(!
u
(X)) .
Rec´ıprocamente, dada una forma ! satisfaciendo (a’) y (b’), defi n i m os
H
u
= { X 2 T
u
P | !(X)=0} .
La verificaci´on de que u 7! H
u
define un a conexi´on cuya forma conexi´on es ! es directa
usando el teorema de Frobenius. 2
La proyecci´on ⇡ : P ! M induce una aplicaci´on lineal T
u
⇡ : T
u
P ! T
x
M para
cada u 2 P ,dondex = ⇡( u). Cuando una conexi´on es dada, T
u
⇡ lleva el su besp a ci o
horizontal H
u
isom´orficamente sobre T
x
M.
El levantamiento horizontal (o simplemente, el levantamiento)deuncampovecto-
rial X sobre M es un ´unico campo vectorial X
⇤
sobre P el cual es horizontal y que se
proyecta sobre X, esto es, T
u
⇡(X
⇤
u
)=X
⇡(u)
para cada u 2 P .(T ⇡(X
⇤
)=X).
Proposici´on 3.2 D ada una conexi´on en P y un campo vectorial X sobre M, existe
un ´unico levantamiento horizontal X
⇤
de X. El levantamiento X
⇤
es invariante por R
a
para cada a 2 G. Rec´ıprocamente, cada campo vectorial X
⇤
sobre P invariante por G
es el levantamiento de un campo vectorial X sobre M.
3.1 Conexiones en un fibrado principal 65
Demostraci´o n: La existencia y unicidad de X
⇤
es clara del hecho de que T⇡ produce
un isomorfismo lineal de H
u
sobre T
⇡(u)
M. Para probar que X
⇤
es diferenciable si X
lo es, tomemos una vecindad U de cualquier punto x de M tal que ⇡
1
(U)
⇠
=
U ⇥ G.
Usando est e isomorfi sm o, prim er o obtendr em o s un campo vectorial Y sobre ⇡
1
(U)
tal que T ⇡Y = X. Entonces X
⇤
es la com ponente horizontal de Y yportantoes
diferenciable. La invariancia de X
⇤
bajo G es clara de la invariancia del subespacio
horizontal b ajo G. Finalmente, sea X
⇤
un cam po vectorial horizontal sobre P invariante
por G. Para cada x 2 M, t´omese un punto u 2 P tal que ⇡(u)=x ydef´ınase
X
x
= T
u
⇡(X
⇤
u
). El vector X
x
es indepen di ente de la elecci´on de u tal que ⇡(u)=x,
puesto qu e si u
0
= ua, entonces T ⇡(X
⇤
u
0
)=T ⇡(R
a
· X
⇤
u
)=T ⇡(X
⇤
u
). Es obvio que X
⇤
es entonces el levantamiento del campo vectorial X. 2
Proposici´on 3.3 Sean X
⇤
y Y
⇤
levantamientos horizontales de X y Y respectivamen-
te. Entonces
(1) X
⇤
+ Y
⇤
es el levantamiento horizontal de X + Y ;
(2) Para cada funci´on f sobre M, f
⇤
·X
⇤
es el levantamiento horizontal de fX donde
f
⇤
es la funci´on sobre P definida por f
⇤
= f ⇡;
(3) La componente horizontal de [X
⇤
,Y
⇤
] es el levantamiento horizontal de [X, Y ].
Demostraci´o n: Las dos primeras aseveraciones son triviales. Para la tercera, tenemos
T ⇡(h[X
⇤
,Y
⇤
]) = T ⇡([X
⇤
,Y
⇤
]) = [X, Y ] .
2
Sea x
1
,...,x
n
un sistema de coordenadas locales en una vecindad coordenada U
en M. Sea X
⇤
i
el levantamiento horizontal en ⇡
1
(U)deloscamposvectorialesX
i
=
@/@x
i
en U para cada i. Entonces X
⇤
1
,...,X
⇤
n
forma una base local para la distribuci´on
u 7! H
u
en ⇡
1
(U).
Ahora expresaremos una forma conexi´on ! sob re P mediante u n a familia de for-
mas toda s definidas en un subconjunto abierto de la vari ed a d base M. Sea {U
↵
} un
cubrimiento abierto de M con una familia de isomorfismos
↵
: ⇡
1
(U
↵
) ! U
↵
⇥ G y
la correspondiente familia de funciones d e transici´on
↵
: U
↵
\ U
! G . Para cada ↵,
sea
↵
: U
↵
! P una secci´on sobre U
↵
definida por
↵
(x)=
1
↵
(x, e), x 2 U
↵
,dondee
es la identidad de G. Sea ✓ la 1forma can´onica (invariante a izquierda a valores en g)
sobre G.
Para cada no vacio U
↵
\ U
, defina una 1forma ✓
↵
avaloreseng sobre U
↵
\ U
por
✓
↵
=
⇤
↵
✓ .
Para cada ↵, defina una 1forma !
↵
avaloreseng sobre U
↵
por
!
↵
=
⇤
↵
! .
66 Teor
´
ıa de conexiones
Proposici´on 3.4 Las formas ✓
↵
y !
↵
est´an sujetas a las condiciones:
!
= Ad(
1
↵
)!
↵
+ ✓
↵
sobre U
↵
\ U
.
Rec´ıprocamente, para cada familia de 1formas {!
↵
} a valores en g definidas sobre U
↵
y satisfaciendo las precedidas condiciones, existe una ´unica for ma conexi´on ! sobre P
la cual da lugar a {!
↵
} en la manera descrita.
Demostraci´o n: Si U
↵
\ U
es no vacio,
(x)=
↵
(x)
↵
(x)paratodox 2 U
↵
\ U
.
Entonces para cada vector X 2 T
x
(U
↵
\ U
), el vector T
x
(X) 2 T
u
P ,dondeu =
(x), es la imagen de (
↵
(X),
↵
(X)) 2 T
u
0
P + T
a
G,dondeu
0
=
↵
(x)ya =
↵
(x),
bajo la aplicaci´on P ⇥ G ! P. Por la f´ormula de Leibniz, tenemo s
T
x
(X)=T
x
↵
(X)
↵
(x)+
↵
(x)T
x
↵
(X) ,
donde
↵
(X)
↵
(x)significaR
a
(T
x
↵
(X)) y
↵
(x)T
x
↵
(X)eslaimagende
↵
(X)
por la di feren ci a l de
↵
(x),
↵
(x) son consid er a d os como una aplicaci´on de G hacia P
el cual lleva b 2 G hacia
↵
(x)b. Tomando los valores de ! sobre ambos lados de la
igualdad, obtenem o s
!
(X)=Ad(
↵
(x)
1
)!
↵
(X)+✓
↵
(X) .
En efect o, si A 2 g es el campo vectorial invariante a izquierda sobre G el que es igual
a
↵
(X)ena =
↵
(x)as´ıque✓(
↵
(X)) = A, entonces
↵
(x)
↵
(X)eselvalordel
campo vectorial fundamental A
⇤
en u =
↵
(x)
↵
(x)yportanto!(
↵
(x)
↵
(X)) = A.
La rec´ıproca puede ser verificado siguiendo hacia atr´as el proceso de obtener {!
↵
}
de !. 2
3.2. Existencia y extensi´on de conexiones
Sea (P, ⇡,M,G)unfibradoprincipalyC un subconjunto de M. D ecim o s que una
conexi´on est´a defin id a sobre C si , en cada punto u 2 P con ⇡(u) 2 C, un subespacio
H
u
de T
u
P est´a dada de tal mo d o que las condiciones (a) y (b) para conexiones sean
satisfechas y H
u
dependa diferenciablemente sobre u en el siguiente sentido. Para cada
punto x 2 C, existe un a vecindad abierta U yunaconexi´onenP
|
U
= ⇡
1
(U)talque
el subespacio horizontal para ca d a u 2 ⇡
1
(C)eseldadoporH
u
.
Teorema 3.1 Sea (P, ⇡,M,G) un fibrado principal y C un subconjunto cerrado de M
(C puede ser vacio). Si M es paracompacto, cada conexi´on definida sobre C puede
ser extendida a una conexi´on en P . En particular, P admite una conexi´on si M es
paracompacto.
Demostraci´o n: Para probar este teorema, haremos uso de los siguientes
Lema 3.1 Una funci´on diferenciable definida sobre un subconjunto cerrado de R
n
pue-
de ser siempre extendida a una funci´on diferenciable sobre R
n
.
3.2 Existencia y extensi
´
on de conexiones 67
Lema 3.2 Cada punto de M tiene una vecindad U tal que cada conexi´on definida
sobre un subconjunto cerrado contenido en U puede ser extendida hacia una conexi´on
definida sobre U.
Demostraci´o n: Dado un punto de M, es suficiente considerar un sistema de coorde-
nadas U tal que ⇡
1
(U)estrivial:⇡
1
(U)
⇠
=
U ⇥ G. Sobre el fi b r a d o trivial U ⇥ G,una
forma conexi´on ! est´a completamente determinada por s u comportami ento en cada
punto de U ⇥ {e} (e: la identidad de G)porquedelapropiedadR
⇤
a
(!)=Ad(a
1
)!.
Adem´as, si : U ! U ⇥ G es la secci´on natural, esto es, (x)=(x, e)parax 2 U,
entonces ! est´a completamente determinada por la 1forma a valores en g sobre U.
En efecto, cada vector X 2 T
(x)
(U ⇥ G)puedeserescrito´unicamenteenlaforma
X = Y + Z,
donde Y es tangente a U ⇥{e} y Z es vertical as´ı que Y =
⇤
(⇡
⇤
X). Por tanto tenemos
!(X)=!(
⇤
(⇡
⇤
X)) + !(Z)=(
⇤
!)(⇡
⇤
X)+A,
donde A es el ´un i co elemento de g tal que se corresponde al campo vectorial funda-
mental A
⇤
que es igual a Z en (x). Puesto que A depend e solamente de Z,node
la con ex i ´on, ! est´a complet am ente determinada por
⇤
!. La ecuaci´on atr´as muestra
que, rec´ıprocamente, cada 1forma a valores en g sobre U determina de modo ´unico
una forma conexi´on sobre U ⇥ G. As´ı este lema se reduce al problema de extender la
1forma a valores en g sobre U.Si{A
j
} es una base p ar a g, entonces ! =
P
!
j
A
j
donde cada !
j
es una 1forma usual. As´ı es suficiente consi d e ra r el problem a de ex-
tender las 1formas usuales sobre U.Seax
1
,...,x
n
un sistema de coordenadas locales
en U. Entonces cada 1forma sobre U es de la forma
P
f
i
dx
i
donde cada f
i
es una
funci´on sobre U. As´ı nuestro problema es reducido a extender funciones sobre U.Por
tanto este lema sigue del lema anterior.
Ahora continuemos a demostrar el teorema. Sea {U
i
}
i2I
un cubrimiento abiert o
localmente finito de M tal que cada U
i
tiene la propiedad establecida en el lema anterior.
Sea {V
i
} u n refinamiento abierto de {U
i
} tal que
¯
V
i
⇢ U
i
. Par a cada subconjunto J
de I,hagamosS
J
=
S
i2J
¯
V
i
. Sea T el conjunto de pares (⌧,J)dondeJ ⇢ I y ⌧ es
una conexi´o n definida sobre S
J
el cual coincide con la conexi´on dada sobre A \ S
J
.
Introduciendo un orden en T como sigue: (⌧
0
,J
0
) < (⌧
00
,J
00
)siJ
0
⇢ J
00
y ⌧
0
= ⌧
00
sobre
S
J
0
. Sea (⌧,J) el elemento maximal de T . Entonces J = I y ⌧ es una conexi´on deseada.
2
Observaci´on 3.1 Otro modo de probar este teorema es u sa r el ´ultimo lema y una
partici´on de la unidad {f
i
} subordinada a {V
i
}. Sea !
i
una forma conexi´on sobre
⇡
1
(U
i
)elcualextiendelaconexi´ondadasobreA \
¯
V
i
. Entonces ! =
P
i
g
i
!
i
es una
forma conexi ´on deseada sobre P , donde cada g
i
es la funci´on sob r e P definida por
g
i
= f
i
⇡.
68 Teor
´
ıa de conexiones
3.3. Paralelismo
Dada una conexi´on en un fibrado principal (P, ⇡,M,G), definiremos el concepto
de desplazamiento paralelo de fibras a lo largo de cualquier curva dada ⌧ en la variedad
base M.
Sea ⌧ = x
t
,a6 t 6 b , una curva diferenciable por p a r t es de clase C
1
en M. Un
levantamiento horizontal osimplementelevantamiento de ⌧ es una cu r va horizontal
⌧
⇤
= u
t
,a6 t 6 b, en P tal que ⇡(u
t
)=x
t
para a 6 t 6 b. Aqu´ı una curva horizontal
en P significa una curva diferenciable por partes de clase C
1
cuyos vectores tangentes
son todos hori zontales.
La noci´on de levantamiento de una curva cor re sponde a la noci´on de levantamiento
de un ca m po vectorial. En efecto, si X
⇤
es el levantamient o de un campo vectorial
X sobre M, enton ces la curva integral de X
⇤
atrav´esdeunpuntou
0
2 P es un
levantamiento de la curva integral de X a trav´es del punto x
0
= ⇡(u
0
) 2 M. Ahora
probaremos
Proposici´on 3.5 ⇡(u
0
)=x
0
, existe un ´unico levantamiento ⌧
⇤
= u
t
de ⌧ el cual inicia
en u
0
.
Demostraci´o n: Por la trivialidad local del fibrado, existe una curva v
t
de clase C
1
en P tal que v
0
= u
0
y ⇡(v
t
)=x
t
para 0 6 t 6 1. Un levantamiento d e ⌧, si este exi st e,
debe ser de la forma u
t
= v
t
a
t
, donde a
t
es una curva en el grupo estructural G tal que
a
0
= e. Centr´andonos en la curva a
t
en G el cual hace u
t
= v
t
a
t
una curva horizontal.
Apliquemos la f´ormula de L ei b n i z a la acci´on P ⇥ G ! P , quien lleva (v, a)enva,y
as´ı obtener
˙u
t
=˙v
t
a
t
+ v
t
˙a
t
.
Sea ! la forma conexi´on de . Entonces, tenemos
!(˙u
t
)=Ad(a
1
t
)!(˙v
t
)+a
1
t
˙a
t
,
donde a
1
t
˙a
t
es ahora una curva en el ´algebra de Li e g = T
e
G de G. La curva u
t
es
horizontal si y s´olo si a
1
t
˙a
t
= !(˙v
t
)paracadat. La construcci´on de u
t
es as´ı r ed u cid a
al siguiente
Lema 3.3 Sea G un grupo de Lie y g su respectivo ´algebra de Lie identificado con
T
e
G. Sea Y
t
,a6 t 6 1, una curva continua en T
e
G. Entonces existe en G una ´unica
curva a
t
de clase C
1
tal que a
0
= e y ˙a
t
a
1
t
= Y
t
para 0 6 t 6 1.
Observaci´on 3.2 En el caso cu and o Y
t
= A para todo t, la curva a
t
no es m´as que el
subgrupo a 1par´ametro de G generado por A. Nuestra ecuaci´on diferencial ˙a
t
a
1
t
= Y
t
es por tanto una generalizaci´on de l a ecuaci´on diferencial para el subgrupo a 1par´ame-
tro.
Demostraci´o n: Podemos asumir que Y
t
est´a bien defini d a y es c ontinua para todo
t, 1 <t<1. Definamos un campo vectorial X sobre G ⇥ R somo sigue. El valor
3.3 Paralelismo 69
de X en (a, t) 2 G ⇥ R es, por definici´on, igual a ((Y
t
)
a
, (d/dz)
t
) 2 T
a
G ⇥ T
t
R,dondez
es el sistema de coordenadas natural en R. Es claro que la curva int eg r a l de X que
inicia en (e, 0) es de la forma (a
t
,t)ya
t
es la curva deseada en G. Lo que queda
por verificar es que a
t
est´a definica para todo t,06 t 6 1. Sea '
t
=exp(tX)el
grupo a 1par´ametro de difeomorfismos locales de G ⇥ R generado por X. Para cada
(e, s) 2 G⇥R, existe un n´umero p o si t i vo
s
tal que '
t
(e, r)est´adefinidapara|rs| <
s
y |t| <
s
. Como el subconjunto {e} ⇥ [0, 1] de G ⇥ R es compacto, podemos escoger
> 0talque,paracadar 2 [0, 1], '
t
(e, r)est´adefinidapara|t| < . Escogiendo
s
0
,s
1
,...,s
k
tal que 0 = s
0
<s
1
< ··· <s
k
=1ys
i
s
i1
< para cada i. Entonces
'
t
(e, 0) = (a
t
,t)est´adefinidapara06 t 6 s
1
; '
u
(e, s
1
)=(b
u
,u+s
1
)est´adefinidapara
0 6 u 6 s
2
s
1
,donde
˙
b
u
b
1
u
= Y
u+s
1
, y definimos a
t
= b
ts
1
a
s
1
para s
1
6 t 6 s
2
; ...;
'
u
(e, s
k1
)=(c
u
,s
k1
+u)est´adefinidapara06 t 6 s
k
s
k1
,donde ˙c
u
c
1
u
= Y
u+s
k1
,
ydefinimosa
t
= c
ts
k1
a
s
k1
, as´ı completamos la construcci´on de a
t
,06 t 6 1. 2
Ahora usando la proposici´on 3.5, definiremos el desplazamiento p a r al e l o de fibras
como sigue. Sea ⌧ = x
t
,06 t 6 1, una curva diferenciable de clase C
1
sobre M. Sea u
0
un punto arbitrario de P con ⇡(u
0
)=x
0
. El ´unico levantamiento ⌧
⇤
de ⌧ atrav´esde
u
0
tiene el punto final u
1
tal que ⇡(u
1
)=x
1
.Variandou
0
alolargodelafibra⇡
1
(x
0
)
obtenemos una aplicaci´on de la fibra ⇡
1
(x
0
)sobrelafibra⇡
1
(x
1
)elcualllevau
0
hacia
u
1
. Denota r em os esta a pl i ca ci ´on por la m i sm a letra ⌧ ydenominaremosaestecomo
desplazamiento paralelo a lo largo de la curva ⌧. El hecho de que ⌧ : ⇡
1
(x
0
) ! ⇡
1
(x
1
)
se torne un isomorfismo devien e de la siguiente
Proposici´on 3.6 E l desplazamiento paralelo a lo largo de cualquier curva ⌧ conmuta
con la acci´on de G sobre P : ⌧ R
a
= R
a
⌧ para cada a 2 G.
Demostraci´o n: Esto sigue d el hecho de que cada curva horizontal es llevada en otra
curva horizontal bajo R
a
. 2
El desplazamiento paralelo a lo largo de cualquier curva di f er en ci a b l e por partes
de clase C
1
puede ser defini d a en un modo semejante. Debemos reparar que el des-
plazamiento paralelo a lo lar g o de una curva ⌧ es indepen d i ente de una espec´ıfica
parametrizaci´on usada x
t
en el siguiente sentido. Consid´erese dos curvas parametriza-
das x
t
, a 6 t 6 b,yy
s
, c 6 s 6 d, en M. El desp l a za m i ento paralelo a lo largo de de
x
t
yelotroalolargodey
s
coinciden si existe un homeomorfismo ' del intervalo [a, b]
sobre [c, d]talque(1)'(a)=c y '(b)=d ,(2)' y '
1
ambos sean diferenciables de
clase C
1
excepto para un n´umero finito de valores del par´ametro, y (3) y
'(t)
= x
t
para
todo t, a 6 t 6 b.
Si ⌧ es la curva x
t
, a 6 t 6 b, denotaremos por ⌧
1
alacurvay
t
, a 6 t 6 b, definida
por y
t
= x
a+bt
. La sigu i ente proposici´on es evidente.
Proposici´on 3.7.
(a) Si ⌧ es una curva diferenciable por partes de clase C
1
en M, entonces el despla-
zamiento paralelo a lo largo de ⌧
1
es la inversa del desplazamiento paralelo a lo
largo de ⌧.
70 Teor
´
ıa de conexiones
(b) Si ⌧ es una curva de x hacia y en M y µ es una curva de y hacia z en M , el
desplazamiento paralelo a lo largo de la curva compuesta µ · ⌧ es la composici´on
de los desplazamientos paralelos ⌧ y µ.
3.4. Grupo de holonom´ıa
Usando la noci´on de desplazamiento paralelo, podemos definir el grupo de holonom´ıa
de una conexi´on dada en un fibrado principal (P, ⇡,M,G). En aras de la simplicidad,
diremos curva a una curva diferencia b l e por partes de clase C
k
, con 1 6 k 6 1.
Para cada punto x de M deno t a r em o s por C(x)alespaciodelazosenx, esto es, el
conjunto de todas las curvas cer r ad as que inician y terminan en x.Si⌧ y µ son elementos
de C(x), la curva compuesta µ · ⌧ (⌧ seguido de µ)estambi´enunelementodeC(x).
Como probamos en la secci´on anterior, para cada ⌧ 2 C(x), el desplazamiento paralelo
alolargode⌧ es un isomorfismo de ⇡
1
(x)sobres´ımismo.Elconjuntodetodostales
isomorfismos de ⇡
1
(x)sobres´ımismoformaungrupoenvirtudalaproposici´on3.7.
´
Este grupo es denominado como grupo de holonom´ıa de con referencia al punto x.
Sea C
0
(x)elsubconjuntodeC(x)queconsistedelazosloscualessonhomot´opicosa
cero. El subgrupo del grupo de holonom´ıa q ue consiste de despl azami entos paralelos
que surgen de todos los ⌧ 2 C
0
(x)esdenominadocomoelgrupo de holonom´ıa restricto
de con referencia al punto x. El grupo de holonom´ı a y el grupo de holonom´ıa restricto
de con referencial al punto x ser´an denotados por (x)y
0
(x)respectivamente.
Es conveniente entender a estos grupos como subgr u pos del gru po estructural G
del sigu i ente modo. Sea u un punto arbi t r a r i a m ente fijado de la fibra ⇡
1
(x). Cada
⌧ 2 C(x)determinaunelemento,digamos,a, de G tal que ⌧ (u)=ua. Si u n lazo
µ 2 C(x)determinab 2 G, entonces l a com p u est a µ·⌧ determina ba porque (µ·⌧)(u)=
µ(ua)=(µ(u))a = uba. El conjunto d e elementos a 2 G determin a d o por todos los
elementos ⌧ 2 C(x)formanunsubgrupodeG. Este subgrupo, denotado por (u),
es llamad o el grupo de holonom´ıa de con referencia al punto u 2 P . El grupo de
holonom´ıa restricto
0
(u) de con referencia al punto u puede ser definido como una
consecuencia. N´otese que (x) es un grupo de isomorfismos de la fibra ⇡
1
(x)sobres´ı
misma y (u)esunsubgrupodeG. Es claro que existe un ´u n i co iso m o r fi sm o de (x)
sobre (u)elcualhacealsiguientediagrama,conmutativo:
C( x)
(x) (u) .
Otra manera de definir (u) es la siguiente: Cuando dos puntos u y v de P pueden
ser unidos por una curva horizontal, escribiremos u ⇠ v.
´
Este es claram ente una relaci´on
de equivalencia. Entonces (u) es i g u al al c on junto de a 2 G tal que u ⇠ ua. Usan d o
el hecho de que u ⇠ v implica que ua ⇠ uv para cualquieru, v 2 P y a 2 G, es sencillo
de verificar un a vez m´as que ´este subconjunto de G forma un subgrupo de G.
3.4 Grupo de holonom
´
ıa 71
Proposici´on 3.8.
(a) Si v = ua, a 2 G, entonces (v)=Ad(a
1
)((u)), esto es, los grupos de holo-
nom´ıa (v) y (u) son conjugados en G. Similarmente
0
(v)=Ad(a
1
)(
0
(u)).
(b) Si dos puntos u y v de P pueden ser unidos por una curv a horizontal, entonces
(u)=(v) y
0
(u)=
0
(v).
Demostraci´o n:
(a) Sea b 2 (u)as´ıqueu ⇠ ub. Entonces ua ⇠ (ub)a conduce a que v ⇠ (va
1
)ba.
Por tanto Ad(a
1
)(b) 2 (v). Esto implica sencillamente que (v)=Ad(a
1
)((u)).
La prueba para
0
(v)=Ad(a
1
)(
0
(u)) es similar.
(b) La relaci´on u ⇠ v implica ub ⇠ vb para cada b 2 G. Puesto q u e la r el a ci ´on ⇠
es transitiva, u ⇠ ub si y s´olo si v ⇠ vb, esto es, b 2 (u)siys´olosib 2 (v). Para
probar que
0
(u)=
0
(v), sea µ
⇤
una curva horizontal en P de u hacia v.Sib 2
0
(u),
entonces exist e una curva horizontal ⌧
⇤
en P de u hacia ub tal que la curva ⇡(⌧
⇤
)en
M es un lazo en ⇡(u) homot´opico a cero. Entonces l a composici´on (R
b
µ
⇤
) · ⌧
⇤
· µ
1⇤
es una curva horizontal en P de v hacia vb ysuproyecci´onenM es un lazo en ⇡(v)
homot´opico a cero . As´ı b 2
0
(v). Semejantemente, si b 2
0
(v), entonces b 2
0
(u).
2
Si M es conexa, entonces para cada pa r de p u ntos u y v de P , exi st e un el em ento
a 2 G tal que v ⇠ ua. Esto conduce a q u e si M es conexo, los grupos de holonom´ıa
(u), u 2 P , son todos conjug a d o s uno con respecto a otro en G yportantoisomorfos
entre ellos.
El resto de esta secci´on se dedicar´a a probar el hecho de que el grupo d e holonom´ıa
es un grupo de Lie.
Teorema 3.2 Sea (P, ⇡,M,G) un fibrado principal cuya variedad base M es conexa y
paracompacta. Sea ( u) y
0
(u), u 2 P , el grupo de holonom´ıa y el grupo de holonom´ıa
restricto de una conexi´on con punto de referencia u. Entonces
(a)
0
(u) es un subgrupo de Lie conexo de G;
(b)
0
(u) es un subgrupo normal de (u) y (u)/
0
(u) es numerable.
En virtud a este teorema, (u) es un subgrupo de Lie de G cuya componente identidad
es
0
(u).
Demostraci´o n: Una pru eb a detallada puede encontrarse en (Kobayashi y Nomizu,
1961).
72 Teor
´
ıa de conexiones
3.5. La forma curvatura y ecuaci´on estructur a l
Sea (P.⇡,M,G)unfibradoprincipaly⇢ una representaci´on de G sobre un espacio
vectorial finito dimensional V ; ⇢(a)esunatransformaci´onlinealdeV para cada a 2 G
y ⇢(ab)=⇢(a)⇢(b)paraa, b 2 G. Una forma pseudotensorial de grado r sobre P de
tipo (⇢,V)esunarforma ' avaloresenV sobre P tal que
R
⇤
a
' = ⇢(a
1
) · ' para a 2 G.
Tal forma ' es denominada una forma tensorial si este es horizontal en el sentido que
'(X
1
,...,X
r
)=0siemprequealmenosunodelosvectorestangentesX
i
de P es
vertical, i.e., tangente a la fibra.
Ejemplo 3.1 Si ⇢
0
es la repr esentaci´on trivial de G sob r e V , que es, ⇢
0
(a)eslatrans-
formaci´on identidad de V para cada a 2 G, entonces una forma tensorial de grad o r
de tipo (⇢
0
,V)noesnadam´asqueunaforma' sobre P el cual puede ser expresado
como ' = ⇡
⇤
'
M
donde '
M
es una rforma a valores en V sobre la base M.
Ejemplo 3.2 S ea ⇢ una representaci´on de G sobre V y E el fibrado asociado a P con
fibra modelo V sobre el cual actua G atrav´esde⇢. Una forma tensorial ' de grado r
de tipo (⇢,V)puedeserconsideradocomounaasignaci´onacadax 2 M una aplicaci´on
multilineal antisim´etrica ˜'
x
de T
x
M ⇥ ···⇥ T
x
M (r veces) hacia el espacio vectorial
⇡
1
E
(x)quienesunafibradeE sobre x. Quiere decir, definimos
˜'
x
(X
1
,...,X
r
)=u('(X
⇤
1
,...,X
⇤
r
)),X
i
2 T
x
M,
donde u es cualquier punto de P con ⇡(u)=x y X
⇤
i
es cualquier vector en u tal
que T
u
⇡(X
⇤
i
)=X
i
para cada i. '(X
⇤
1
,...,X
⇤
r)esentoncesunelementodelafibra
modelo V y u es una aplicaci´on linea l de V sobre ⇡
1
E
(x)as´ıqueu('(X
⇤
1
,...,X
⇤
r
)) es
un el em ento de ⇡
1
E
(x). Esto puede ser sencillamente verificado que este elemento es
independiente de la elecci´on de u y X
⇤
i
. Rec´ıprocamente, dada una aplicaci´on multilineal
antisim´etrica ˜'
x
: T
x
M ⇥ ···⇥ T
x
M ! ⇡
1
E
(x)paracadax 2 M, una forma tensorial
' de grado r de tipo (⇢,V)sobreP puede ser definida por
'(X
⇤
1
,...,X
⇤
r
)=u
1
(˜'
x
(⇡(X
⇤
1
),...,⇡(X
⇤
r
))),X
⇤
i
2 T
u
P,
donde x = ⇡(u). En particular, una 0 for ma tensorial de tipo (⇢,V), esto es, una
funci´on f : P ! V tal que f(ua)=⇢(a
1
)f(u), puede ser identificado con una secci´on
transversal M ! E.
Sea una conexi´on en (P, ⇡,M,G). Sea V
u
y H
u
los subespaci o s vertical y horizontal
de T
u
P , respectivamente. Sea h : T
u
P ! H
u
la proyecci´on.
Proposici´on 3.9 Si ' es una rforma pseudotensorial sobre P de tipo (⇢,V), enton-
ces
(a) La forma 'h definida por ('h)(X
1
,...,X
r
)='(hX
1
,...,hX
r
), X
i
2 T
u
P , es
una forma tensorial del tipo (⇢,V);
3.5 La forma curvatura y ecuaci
´
on estructural 73
(b) d' es una (r +1)forma pseudotensorial del tipo (⇢,V);
(c) La (r +1)forma D' definida por D' =(d')h es una forma tensorial del tipo
(⇢,V).
Demostraci´o n: De R
a
h = h R
a
,a2 G, conduce a qu e 'h es una form a pseudo-
tensorial del tipo ( ⇢,V); es evidente que
('h)(X
1
,...,X
r
)=0,
si uno de los campos X
i
es vertical. (b) sigue de R
⇤
a
d = d R
⇤
a
,a2 G. (c) sigue de
(a) y (b). 2
La forma D' =(d')h es denominada como la derivada covariante exterior de ' y
D es ll am ad a la diferenciaci´on covariante exterior .
Si ⇢ es la representaci´on adjunta de G en el ´algeba de Lie g, una forma (pseu-
do)tensorial del tipo (⇢, g)esdenominadacomoaquelladeltipoAd G. La forma cone-
xi´on ! es una 1forma pseudotensor i al del tipo Ad G. Por la proposici´on 3.9, D! es
una 2forma tensorial del tipo Ad G yesllamadacomola forma curvatura de !.
Teorema 3.3 (Ecuaci´on estructural). Sea ! una forma conexi´on y ⌦ su forma
curvatura. Entonces
d!(X, Y )=
1
2
[!(X), !(Y )] + ⌦(X, Y ) para X, Y 2 T
u
P, u 2 P.
Demostraci´o n: Cada vector de P es la suma de un vector vert i cal y otro horizontal.
Puesto que ambos lados de l a ecuaci´on anterior son bilineales y antisim´et r i cos en X y
Y , es suficiente verificar la iguald a d en los tres siguientes casos especiales.
(1) X y Y sean horizontales. En este caso, !(X)=!(Y )=0ylaigualdadsereduce
aladefinici´onde⌦.
(2) X y Y sean verticales. Sea X = A
⇤
y Y = B
⇤
en u,dondeA, B 2 g. Aqu´ı
A
⇤
y B
⇤
son los campos vectoriales fundamentales correspondientes a A y B
respectivamente. Por lo que tenemos
2d!(A
⇤
,B
⇤
)=A
⇤
(!(B
⇤
)) B
⇤
(!(A
⇤
)) !([A
⇤
,B
⇤
])
= [A, B]
= [!(A
⇤
), !(B
⇤
)],
pues !(A
⇤
)=A, !(B
⇤
)=B y[A
⇤
,B
⇤
]=[A.B]
⇤
.Porotrolado,⌦(A
⇤
,B
⇤
)=0.
(3) X sea horizontal y Y vertical. Extendamos X auncampovectorialhorizontal
sobre P , al cual tambi´en denotaremos por X. Sea Y = A
⇤
en u,dondeA 2 g.
74 Teor
´
ıa de conexiones
Puesto que el lado derecho de la igualdad se anula, es suficiente mostrar qu e
d!(X, A
⇤
) = 0. Adem´as, tenemos que
2d!(X, A
⇤
)=X(!(A
⇤
)) A
⇤
(!(X)) !([X, A
⇤
])
= !([X, A
⇤
]) .
Ahora es sufi ci ente probar el siguiente
Lema 3.4 Si A
⇤
es el campo vectorial fundamental correspondiente a un elemento
A 2 g y X es un campo vectorial horizontal, entonces [X, A
⇤
] es horizontal.
Demostraci´o n: El campo vectorial fundamental A
⇤
es inducido por R
a
t
,dondea
t
es
el subgrupo a 1par´am et r o de G generado por A 2 g. As´ı, tenemos
[X, A
⇤
]= l´ım
t!0
1
t
[R
a
t
(X) X].
Si X es horizontal, as´ı tambi´en lo es R
a
t
(X). Por tanto [X, A
⇤
] es horizo ntal. 2
Corolario 3.1 Si X y Y son ambos campos vectoriales horizontales sobre P , entonces
!([X, Y ]) = 2 ⌦ (X, Y ).
La ecuaci´on estructural (com´unmente denominado de ecuaci´on estructural de E.
Cartan)esavecesescrita,enarasdelasimplicidad,como:
d! =
1
2
[!, !]+⌦.
Sea e
1
,...,e
r
una base pa r a el ´al g eb r a de Lie g y c
i
jk
, i, j, k =1,...,r, las constantes
de estructura de g con respecto a e
1
,...,e
r
, esto es,
[e
j
,e
k
]=
X
i
c
i
jk
e
i
,j,k=1,...,r.
Sea ! =
P
i
!
i
e
i
y ⌦ =
P
i
⌦
i
e
i
. Entonces la ecuaci´o n estructural puede ser expresado
como sigue:
d!
i
=
1
2
X
j,k
c
i
jk
!
j
^ !
k
+ ⌦
i
,i=1,...,r.
Teorema 3.4 (Identidad de Bianchi).
D⌦ =0.
Demostraci´o n: Por la definici´on de D, es suficiente probar que d⌦(X, Y , Z)=0
siempre que X, Y y Z sean todos vect o r es horizontales. Apliquemos la diferenciaci´on
exterior d alaecuaci´onestructural.Entonces
0=dd!
i
=
1
2
X
c
i
jk
d!
j
^ !
k
+
1
2
X
c
i
jk
!
j
^ d!
k
+ d⌦
i
.
3.6 Aplicaci
´
on entre conexiones 75
Puesto que !
i
(X)=0siemprequeX sea horizontal, tenemos que
d⌦
i
(X, Y , Z)=0
siempre que X, Y y Z sean todos horizontales. 2
Proposici´on 3.10 Sea ! una forma conexi´on y ' una 1forma tensorial del tipo
Ad G. Entonces
D'(X, Y )=d'(X, Y )+
1
2
['(X), !(Y )] +
1
2
[!(X), '(Y )] para X, Y 2 T
u
P, u 2 P.
Demostraci´o n: Como en la pru eba del teorema 3.3, es suficiente considerar los tres
casos especiales. Solamente el caso n o-t r iv i al es cuando X es vertical y Y horizontal.
Sea X = A
⇤
en u,dondeA 2 g. Extendamos Y auncampovectorialhorizontal
sobre P, denotado tambi´en por Y , el cual es invariante por R
a
, a 2 G. (Primero
extendamos al vector ⇡Y auncampovectorialsobreM yentonceslevantarestea
un campo vectorial hor i zo ntal sobre P ). Entonces [A
⇤
,Y] = 0. Como A
⇤
es vertical,
D'(A
⇤
,Y) = 0. Primero mostremos que el lad o derecho d e la igualdad se anula. As´ı,
tenemos
d'(A
⇤
,Y)=
1
2
(A
⇤
('(Y )) Y ('(A
⇤
))) '([A
⇤
,Y]) =
1
2
A
⇤
('(Y )),
as´ı que es suficiente mostrar A
⇤
('(Y )) + [!(A
⇤
), '(Y )] = 0 o A
⇤
('(Y )) = [A, '(Y )].
Si a
t
denota al subgrupo a 1 p a r ´ametro de G generado por A, entonces
A
⇤
u
('(Y )) = l´ım
t!0
1
t
['
ua
t
(Y ) '
u
(Y )]
=l´ım
t!0
1
t
[(R
⇤
a
t
')
u
(Y ) '
u
(Y )]
=l´ım
t!0
1
t
[Ad(a
1
)('
u
(Y )) '
u
(Y )]
=[A, '
u
(Y )],
pues Y es invariante bajo R
a
t
. 2
3.6. Aplicaci´on entre conexiones
En los cap´ıtulos anteriores consideramos ciertas ap l i cac i on es entre fibrado s princi-
pales tales como un homomo r fi sm o, una inyecci´on y aquellas que preservan fibra. Ah o r a
estudiaremos los efectos de es ta s aplicaciones sobre conexiones.
Proposici´on 3.11 Sea f :(P
0
, ⇡
0
,M
0
,G
0
) ! (P,⇡,M,G) un homomorfismo con el
correspondiente homomorfismo f : G
0
! G tal que la aplicaci´on inducida f : M
0
! M
es un difeomorfismo de M
0
sobre M. Sea
0
una conexi´on en P
0
, !
0
una forma conexi´on
y ⌦
0
la forma curvatura de
0
. Entonces
76 Teor
´
ıa de conexiones
(a) Existe una ´unica conexi´on en P tal que los subespacios horizontales de
0
son
llevados a subespacios horizontales de por f.
(b) Si ! y ⌦ son la forma conexi´on y la forma curvatura de respectivamente, enton-
ces f
⇤
! = f · !
0
y f
⇤
⌦ = f · ⌦
0
, donde f · !
0
o f · ⌦
0
significa la forma a valores en
g
0
sobre P
0
definida por (f ·!
0
)(X
0
)=f(!
0
(X
0
)) o (f ·⌦
0
)(X
0
,Y
0
)=f(⌦(X
0
,Y
0
)),
donde f a la derecha de la igualdad es el homomorfismo g
0
! g inducido por
f : G
0
! G .
(c) Si u
0
2 P
0
y u = f( u
0
) 2 P, entonces f : G
0
! G lleva (u
0
) sobre (u) y
0
(u
0
) sobre
0
(u), donde (u) y
0
(u) (resp. (u
0
) y
0
(u
0
)) son los grupos de
holonom´ıa de (resp.
0
) con punto de referencia u (resp. u
0
).
Demostraci´o n:
(a) Dado un punto u 2 P , el´ıjase u
0
2 P
0
y a 2 G tal que u = f(u
0
)a. Definamos al
subespacio hori zontal H
u
de T
u
P por H
u
= R
a
f(H
u
0
), donde H
u
0
es el subespacio
horizontal de T
u
0
P
0
con respecto a
0
. Debemos mostrar que H
u
es independiente
de la elecci´on de u
0
y a.Siu = f(v
0
)b,dondev
0
2 P
0
y b 2 G, entonces v
0
= u
0
c
0
pa-
ra alg´un c
0
2 G
0
. Si ha cem o s c = f(c
0
), entonces u = f(v
0
)b = f(u
0
c
0
)b = f(u
0
)cb
yportantoa = cb. Tenemos R
b
f(H
v
0
)=R
b
f(H
u
0
c
0
)=R
b
f R
c
0
(H
u
0
)=
R
b
R
c
f(H
u
0
)=R
a
f(H
u
0
), el cual prueba nuestra aseveraci´on. Deberemos mos-
trar que la distribuci´on u 7! H
u
es una conexi´on en P .Siu = f (u
0
)a, enton-
ces ub = f(u
0
)ab y H
ub
= R
ab
f(H
u
0
)=R
b
R
a
f(H
u
0
)=R
b
(H
u
), as´ı queda
probada la invariancia bajo G de la distribuci´on. Ahora deberemos probar que
T
u
P = V
u
+ H
u
,dondeV
u
es el esp aci o tangente a la fibra en u.Porlatriviali-
zaci´on local de P , es suficiente probar que la proyecci´on ⇡ : P ! M induce un
isomorfismo lineal ⇡ : H
u
! T
⇡(u)
M. Podemos asumir que u = f (u
0
)puestoque
la distribuci´on es invariante bajo G. En el diagrama co n mutativo
H
u
0
H
u
T
x
0
M
0
T
x
M,
f
⇡
0
⇡
f
la apli ca ci ´on ⇡
0
: H
u
0
H
u
0
! T
x
0
M
0
y f : T
x
0
M
0
! T
x
M son isomorfismos lineales y
por tanto las dos apl i ca ci o n es restantes tambi´en deben ser isomorfismos lineales.
La unicidad de es evidente de su constru cci´on.
(b) La ig ual d a d f
⇤
! = f · !
0
puede ser reescr i t a como sigue:
!(fX
0
)=f(!
0
(X
0
)) para X
0
2 T
u
0
P
0
,u
0
2 P
0
.
Es sufi ci ente verificar esta ecuaci´on en los dos casos especiales: (1) X
0
es hori zontal,
y(2)X
0
es vertical. Puesto que f : P
0
! P lleva cada vector hori zo ntal hacia
un vector horizontal, ambos lados de la igual d a d se anulan si X
0
es horizontal.
3.6 Aplicaci
´
on entre conexiones 77
Si X
0
es vertical, X
0
= A
0⇤
en u
0
, donde A
0
2 g
0
. Sea A = f(A
0
) 2 g. Puesto que
f(u
0
a
0
)=f(u
0
)f(a
0
)paracadaa
0
2 G
0
, tenemos q u e f(X
0
)=A
⇤
en f(u
0
). As´ı
!(fX
0
)=!(A
⇤
)=A = f(A
0
)=f(!
0
(A
0⇤
)) = f(!
0
(X
0
)).
De f
⇤
! = f · !
0
, obten em o s d(f
⇤
!)=d(f · !
0
)yf
⇤
d! = f · d!
0
. Por la ecuaci´on
estructural:
1
2
f
⇤
([!, !]) + f
⇤
⌦ =
1
2
f([!
0
, !
0
]) + f · ⌦
0
,
tenemos
1
2
[f
⇤
!,f
⇤
!]+f
⇤
⌦ =
1
2
[f · !
0
,f · !
0
]+f · ⌦
0
.
Esto implica que f
⇤
⌦ = f · ⌦
0
.
(c) Sea ⌧ un lazo en x = ⇡(u). Sea ⌧
0
= f
1
(⌧)as´ıque⌧
0
es un lazo en x
0
= ⇡
0
(u
0
).
Sea ⌧
0⇤
el levantamiento horizontal de ⌧
0
iniciando en u
0
. Entonces f(⌧
0⇤
)esel
levantamiento horizontal de ⌧ inicia n d o en u. El enunciado (c) ahora es trivial.
2
En la si tu a ci ´on dada como en la proposici´on 3. 1 1, deci m o s que f lleva la conexi´on
0
en la conexi´on .Enparticular,enelcasocuando(P
0
, ⇡
0
,M
0
,G
0
)esunsubfibrado
reducido de (P, ⇡,M,G)coninyecci´onf as´ı que M
0
= M y f : M
0
! M es el
difeomorfismo identidad, decimos que la conexi´on en P es reducible alaconexi´on
0
en P
0
. Un automorfi sm o f del fibrado (P, ⇡,M,G)esdenominadounautomorfismo de
una conexi´on en P si este lleva hacia
0
, y en este caso, es dicha que invariante
por f.
Proposici´on 3.12 Sea f :(P
0
, ⇡
0
,M
0
,G
0
) ! (P, ⇡,M,G) un homomorfismo tal que el
homomorfismo correspondiente f : G
0
! G lleva G
0
isomorficamente sobre G. Sea
una conexi´on en P , ! la forma conexi´on y ⌦ la forma curvatura de . Entonces
(a) Existe una ´unica conexi´on
0
en P
0
tal que los subespacios horizontales de
0
son
llevados hacia subespacios horizontales de por f.
(b) Si !
0
y ⌦
0
son la forma conexi´on y la forma curvatura de
0
respectivamente,
entonces f
⇤
! = f · !
0
y f
⇤
⌦ = f · ⌦
0
.
(c) Si u
0
2 P
0
y u = f(u
0
) 2 P , entonces el isomorfismo f : G
0
! G lleva (u
0
) hacia
(u) y
0
(u
0
) hacia
0
(u).
Demostraci´o n: Definamos
0
mediante su forma co n ex i ´on !
0
. Sea !
0
= f
1
· f
⇤
!,
donde f
1
: g ! g
0
es la inversa del isomorfismo f : g
0
! g inducido de f : G
0
! G.
Sea X
0
2 T
u
0
P
0
y a
0
2 G
0
yseaX = fX
0
y a = f(a
0
). Entonces tenemos
!
0
(R
a
0
X
0
)= f
1
(!(f(R
a
0
X
0
))) = f
1
(!(R
a
X))
= f
1
(Ad(a
1
)(!(X))) = Ad(a
1
)(f
1
(!(X)))
= Ad( a
01
)(!(X
0
)).
78 Teor
´
ıa de conexiones
Sea A
0
2 g
0
y A = f(A
0
). Sean A y A
0
denotando los campos vectoriales fundamentales
correspondientes a A y A
0
respectivamente. Entonces tenemos
!
0
(A
0⇤
)=f
1
(!(A
⇤
)) = f
1
(A)=A
0
.
Esto prueba que la forma !
0
define una conexi´on. La verificaci´on de los otros enunciados
es completamente an´aloga a la prueba de la proposici´on 3.11. 2
En las condiciones dadas como en la proposici´on 3.11, decimos que
0
es inducida por
f desde .Sif es una aplicaci´on que preserva fibra, esto es, G
0
= G y f : G
0
! G es el
automorfismo identidad, entonces !
0
= f
⇤
!. En particual, dado un fibrado (P, ⇡,M,G)
yunaaplicaci´onf : M
0
! M, cada conexi´on en P induce una conex i ´on en el fibrado
inducido f
1
P .
Para cualesquiera fibrados principales (P, ⇡
P
,M,G)y(Q, ⇡
Q
,M,H), P ⇥ Q es un
fibrado p r i n ci p a l sobre M ⇥ M con grupo G ⇥ H. Sea P + Q la restr i cci´on de P ⇥ Q a
la diagonal M de M ⇥ M. Puesto que M y M son difeomorfos uno con respecto al
otro de manera natural, consideremos P + Q como un fibrado principal sobre M con
grupo G ⇥ H. La restricci´on de la proyecci´on P ⇥ Q ! P a P + Q, d en o t a d o por f
P
,
es un homomorfism o con el correspondiente homomorfismo natural f
G
: G ⇥ H ! G.
Semejantemente, para f
Q
: P + Q ! Q y f
H
: G ⇥ H ! H.
Proposici´on 3.13 Sean
P
y
Q
conexiones en (P, ⇡
P
,M,G) y (Q, ⇡
Q
,M,H) respec-
tivamente. Entonces
(a) Existe una ´unica conexi´on en P + Q tal que el homomorfismo f
P
: P + Q ! P
y f
Q
: P + Q ! Q llevan hacia
P
y
Q
respectivamente.
(b) Si !, !
P
y !
Q
son formas conexi´on y ⌦, ⌦
P
y ⌦
Q
son las formas curvatura de ,
P
y
Q
respectivamente, entonces
! = f
⇤
P
!
P
+ f
⇤
Q
!
Q
, ⌦ = f
⇤
P
⌦
P
+ f
⇤
Q
⌦
Q
.
(c) Sea u 2 P, u 2 Q,y(u, v) 2 P + Q. Entonces el grupo de holonom´ıa (u, v)
de (resp. el grupo de holonom´ıa restricto
0
(u, v) de ) es un subgrupo de
(u) ⇥ (v) (resp.
0
(u) ⇥
0
(v)). El homomorfismo f
G
: G ⇥ H ! G (resp.
f
H
: G ⇥ H ! H) lleva (u, v) sobre (u) (resp. sobre (v))y
0
(u, v) sobre
0
(u) (resp. sobre
0
(v)), donde (u) y
0
(u) (resp. (v) y
0
(v)) son el gr upo
de holonom´ıa y el grupo de holonom´ıa restricto de
P
(resp.
Q
).
La prueba es semejante a la demostraci´on de la proposici´on 3.11.
Proposici´on 3.14 Sea (Q, ⇡
Q
,M,H) un subfibrado de (P, ⇡
P
,M,G), donde H es un
subgrupo de Lie de G. As´umase que el ´algebra de Lie g de G admite un subespacio m
tal que g = m h y Ad(H)(m)=m, donde h es el ´algebra de Lie de H. Para cada
forma conexi´on ! en P , la hcomponente !
0
de ! restr icta a Q es una forma conexi´on
en Q.
3.7 Teorema de la reducci
´
on y de holonom
´
ıa 79
Demostraci´o n: Sea A 2 h y A
⇤
el campo vectorial fundamental corr espon d i ente a
A. Entonces !
0
(A
⇤
)eslahcomponente d e !(A
⇤
)=A.Portanto,!
0
(A
⇤
)=A. Sea '
la mcomponente de ! restricto a Q. Sea X 2 T
v
Q y a 2 H. Entonces
!(R
a
X)=!
0
(R
a
X)+'(R
a
X),
Ad(a
1
)(!(X)) = Ad(a
1
)(!
0
(X)) + Ad( a
1
)('(X)).
El lad o izquierd o de las dos precedidas igualdades coinciden. Comparando las hcompo-
nentes del l a d o derecho, obtenemos !
0
(R
a
X)=Ad(a
1
)(!
0
(X)). Obs´ervese que usamos
el hecho de que Ad(a
1
)('(X)) est´a en m. 2
Observaci´on 3.3 La conexi´on definida por ! en P es reducible a una conexi´on en el
subfibrado Q si y solo si la restricci´on de ! a Q es a valores en h. Bajo las con d i ci o n es
de la pro posici´on 3.14 , significa q u e !
0
= ! sobre Q.
3.7. Teorema de la reducci ´on y de holonom´ıa
A menos que se establezca lo contrario, curva significar´a una curva diferenciable
por partes de clase C
1
.
Teorema 3.5 (Teorema de reducci´on) . Sea (P, ⇡,M,G) un fibrado principal con
una conexi´on , donde M es conexa y paracompacta. Sea u
0
un punto arbitrario de P .
Den´otese por P (u
0
) el conjunto de puntos en P los cuales pueden ser juntados a u
0
por una curva horizontal. Entonces
(1) P (u
0
) es un fibrado reducido con grupo estructural (u
0
).
(2) La conexi´on es reducible a una conexi´on en P (u
0
).
(1) Primero demostraremos
Lema 3.5 Sea Q un subconjunto de P, (P, ⇡,M,G),yH un subgrupo de Lie de G.
Asuma: (1) la proyecci´on ⇡ : P ! M lleva Q sobre M; (2) Q es estable por H, i.e.,
R
a
(Q)=Q para cada a 2 H; (3) si u, v 2 Q y ⇡(u)=⇡(v), entonces existe un
elemento a 2 H tal que v = ua; y (4) cada punto x de M tiene una vecindad U y
una secci´on : U ! P tal que (U) ⇢ Q. Entonces (Q, ⇡
Q
,M,H) es un subfibrado
reducido de (P, ⇡,M,G).
Demostraci´o n: Para cada u 2 ⇡
1
(U), sea x = ⇡(u)ya 2 G el elemento determi-
nado por u = (x)a. Defina un isomorfismo (u)=(x, a). Es sencillo de ver que
lleva Q \ ⇡
1
(U)1:1sobreU ⇥ H. Introduce una estru ct u r a diferenciable en Q de tal
manera que : Q \ ⇡
1
(U) ! U ⇥ H se torna un difeomorfismo; por lo que Q llega
a ser una variedad diferenciable. Ah o r a es evidente que Q tiene estructura de fibrado
principal sobre M con grupo estructural H yqueQ es un subfibrado de P .
80 Teor
´
ıa de conexiones
Demostraci´on del teorema 3.5. (1) Vemos que, de M paracompacto, el grupo de
holonom´ıa (u
0
)esunsubgrupodeLiedeG yqueelsubconjuntoP (u
0
)yelgrupo
(u
0
)satisfacenlascondiciones(1),(2)y(3)del´ultimolema.Paraverificar(4),del
lema, sea x
1
,...,x
n
un si st em a de coordenadas local ento r n o de x tal que x es el ori gen
(0,...,0) con respecto a este sistema de coordenadas. Sea U una vecindad c´ubita de
x definida por |x
i
| < . Dado cual q u i er punto y 2 U, sea ⌧
y
el segmento de l i nea de
x a y con respecto al sistema de coordenadas x
1
,...,x
n
. Fijando un punto u 2 Q tal
que ⇡(u)=x. Sea (y)elpuntodeP obtenido por el desplazamiento paralelo de u a
lo largo de ⌧
y
. Entonces : U ! P es una secci´on tal que (U) ⇢ Q. Ahora (1) del
teorema 3.5 sigue de este ´ultimo lema.
(2) Es inmediata consecuencia del siguiente
Lema 3.6 Sea (Q, ⇡
Q
,M,H) un subfibrado de (P, ⇡,M,G) y una conexi´on en P .
Si, para cada u 2 Q, el subespacio horizontal de T
u
P es tangente a Q, entonces es
reducible a la conexi´on en Q.
Demostraci´o n: Definimos una conexi´on
0
en Q como sigue. El subespacio horizontal
de T
u
Q, u 2 Q, con respecto a
0
es por definici´on el subespacio horizontal de T
u
P con
respecto a .Esobvioque es redu ci b le a
0
. 2
Llamaremos a P (u)elfibrado de holonom´ıa atrav´esdeu. Es evidente que P (u)=
P (v)siysolosiu y v pueden se juntados por una curva horizontal. Como la relaci´on
⇠ (u ⇠ v si u y v pueden ser unidos por una curva horizontal) es una relaci´on de
equivalencia, tenemos, para cada par de p u ntos u y v de P ,oP (u)=P (v)oP (u) \
P (v)=;. En otras palabras, P es descompuesto en la uni´on disju nta de fibrados de
holonom´ıa. Puesto que cada a 2 G lleva cada curva ho r i zo ntal en una curva hori zo ntal,
R
a
(P (u)) = P (ua)yR
a
: P (u) ! P (ua)esunisomorfismoconelcorrespondiente
isomorfismo Ad(a
1
):(u) ! (ua) del grupo estructural. Es sencillo de ver que,
dado cualesquier u y v, existe un elemento a 2 G tal que P (v)=P (ua). As´ı el fibrad o
de holonom´ıa P (u), u 2 P , son todos isomo rf os uno con respecto al otro.
Teorema 3.6 Sea (P, ⇡,M,G) un fibrado principal, donde M es conexa y paracom-
pacto. Sea una conexi´on en P , ⌦ la forma curvatura, (u) el grupo de holonom´ıa con
punto referencial u 2 P y P (u) el fibrado de holonom´ıa a trav´es de u de . Entonces
el ´algebra de Lie de (u) es igual al subespacio de g, ´algebra de Lie de G, generado
por todos los elementos de la forma ⌦
v
(X, Y ), donde v 2 P (u) y X y Y son vectores
horizontales arbitrarios en v.
Demostraci´o n: En virtud al teorema 3.5, podemos asumir que P (u)=P , i.e.,
(u)) = G. Sea g
0
el subespacio de g generado por todos los elementos de la for-
ma ⌦
v
(X, Y ), donde v 2 P (u)=P con X y Y vectores horizontales arbitrarios en v.
El subespacio g
0
es en realidad un ideal de g,porque⌦ es una fo r m a tensorial del tipo
AdG yportantog
0
es invariante bajo AdG. Deberem o s probar qu e g
0
= g.
Para cada punto v 2 P , sea S
v
el subespacio de T
v
P generado por el subespacio
horizontal H
v
yporelespaciog
0
v
= { A
⇤
v
| A 2 g
0
},dondeA
⇤
es el campo vectorial
3.8 Conexiones planas 81
fundamental sobre P correspondiente a A. La distr i b u ci ´on S tiene dimensi´on n + r,
donde n =dimM y r =dimg
0
. Deb em o s mostrar que S es diferenciable e i nvoluti-
vo. Sea v un punto arbitr´ario de P y U una vecindad coordenada de y = ⇡(v) 2 M
tal que ⇡
1
(U)esisomorfoconU ⇥ G. Sean X
1
,...,X
n
campos vectoriales diferen-
ciables sobre U los cuales son linealmente independientes en todas partes sobre U y
X
⇤
1
,...,X
⇤
n
los levantamientos horizontales de X
1
,...,X
n
. Sea A
1
,...,A
r
una base pa-
ra g
0
y A
⇤
1
,...,A
⇤
R
los correspond i entes campos vectoriales fundamentales. Es claro que
X
⇤
1
,...,X
⇤
n
,A
⇤
1
,...,A
⇤
r
forma una base local para S. Para probar que S es involutiva,
es suficiente verificar que el bracket de cual esq u i er a dos campos vectoriales pertenecen
a S. Es claro para [A
⇤
i
,A
⇤
j
], puesto que [A
i
,A
j
] 2 g
0
y[A
i
,A
j
]
⇤
=[A
⇤
i
,A
⇤
j
]. Adem´as
[A
⇤
i
,X
⇤
j
] es horizontal; en r ea l i d a d [A
⇤
i
,X
⇤
j
] = 0 como X
⇤
j
es invar i ante por R
a
para
cada a 2 G. Finalmente, sea A = !([X
⇤
i
,X
⇤
j
]) 2 g,donde! es la forma conexi´on
de . Tambi´en reparemos que A = !([X
⇤
i
,X
⇤
j
]) = 2⌦(X
⇤
i
,X
⇤
j
) 2 g
0
. Puesto que la
componente vertical de [(X
⇤
i
,X
⇤
j
)] en v 2 P es igual a A
⇤
v
2 S
v
,[X
⇤
i
,X
⇤
j
] pertenece a
S. Esto prueba nuestra aseveraci´on de que S es involutiva.
Sea P
0
la variedad integral maximal de S atrav´esdeu.PorlamaximalidaddeP
0
,
tenemos que P = P
0
. Adem´as ,
dim g =dim(P ) n =dim(P
0
) n =dimg
0
.
Esto implica que g = g
0
. 2
3.8. Conexiones planas
Sea P ⇥ G un fibrado princi p a l tr i v i a l . Para cada, a 2 G el conjunto M ⇥ {a} es
una subvar i ed a d de P . En particular, M ⇥ {e} es una subvariedad de P ,dondee es
la i d entidad de G.Laconexi´on can´onica plana en P est´a definida tomando el espacio
tangente a M ⇥ {a} en u =(x, a) 2 M ⇥ G como el subesp aci o horizontal en u. En
otras palabras, una conexi´on en P es la conexi´on can´onica plana si y solo si este es
reducible a una ´unica conexi´on en M ⇥ {e}. Sea ✓ la 1forma can´onica sobre G. Sea
f : M ⇥ G ! G la proyecci´on natur a l y sea
! = f
⇤
✓ .
Es facil de verificar que ! es la forma conexi´on de la conexi´on can´onica plana en P .La
ecuaci´on de Mau r er-Car t an de ✓ implica que la conexi´on can´onica plana tiene curvatu r a
cero:
d! = d(f
⇤
✓)= f
⇤
(d✓)=f
⇤
(
1
2
[✓, ✓])
=
1
2
[f
⇤
✓,f
⇤
✓]=
1
2
[!, !] .
Una conexi´on en cualquier fibrado principal (P, ⇡,M,G)esdenominadoplana si
cada punto x de M tiene una vecindad U tal que la conexi´on inducida en P
|
U
= ⇡
1
(U)
es isomorfo con la conexi´on can´onica plana en U ⇥ G. Siendo m´as preci so s, existe
un isomorfismo : ⇡
1
(U) ! U ⇥ G el cual lleva subesp aci os horizontales en cada
u 2 ⇡
1
(U)sobresubespacioshorizontalesen(u)delaconexi´oncan´onicaplanaen
U ⇥ G.
82 Teor
´
ıa de conexiones
Teorema 3.7 Una conexi´on en (P, ⇡,M,G) es plana si y solo si la forma curvatura
se anula id´enticamente.
Demostraci´o n: Asuma que la forma curvatura se anula id´enticamente. Para cada
punto x de M, sea U una simple vecindad abierta y conexa de x yconsiderelaconexi´on
inducida en P
|
U
= ⇡
1
(U). El grupo de holonom´ıa de la conexi´on inducida en P
|
U
consiste de solamente la identidad. Aplicando el teorema de reducci´on, teorema 3.5,
vemos que la conexi´on inducida en P
|
U
es isomor fo con la conexi´on can´onica plana en
U ⇥ G. La rec´ıproca es evidente. 2
Corolario 3.2 Sea una conexi´on en (P, ⇡,M,G) tal que la curvatura se anula id´enti-
camente. Si M es paracompacta y simplemente conexa, entonces P es isomorfo con el
fibrado trivial M ⇥ G y es isomorfo con la conexi´on can´onica plana en M ⇥ G.
Estudiaremos el caso cuando M no es necesariamente simplemente conexa. Sea una
conexi´on plana en (P, ⇡,M,G), donde M es conexa y paracompacta. Sea u
0
2 P y
M
⇤
= P(u
0
), el fibrado de holono m´ıa atrav´es de u
0
; M
⇤
es un fibrado p ri n ci p al sobre M
cuyo grupo estructural es el grupo de holon om´ıa (u
0
). Puesto que (u
0
)esdiscretoy
como M
⇤
es conexa, M
⇤
es un espacio de recubrimiento de M. Sea x
0
= ⇡(u
0
), x
0
2 M.
Cada curva cerrada de M iniciando en x
0
define, por medio del desplazamiento paralelo
alolargode´este,unelementode(u
0
). Puesto que el grupo de holonom´ıa es trivial,
cualesquier dos curvas cerradas en x
0
representando al mismo elemento del primer
grupo de homotop´ıa ⇡
1
(M,x
0
)dalugaralmismoelementode(u
0
). As´ı obtenemos
un h omo m or fi sm o de ⇡
1
(M,x
0
)sobre(u
0
). Sea N el subg r upo normal de (u
0
)y
sea M
0
= M
⇤
/N . Entonces M
0
es un fibrado principal sobre M con grupo estructural
(u
0
)/N . En particular, M
0
es un espacio de recub ri m i e nto de M. Sea (P
0
, ⇡
0
,M
0
,G)el
fibrado principal inducido de (P, ⇡,M,G)porlaproyecci´onderecubrimientoM
0
! M .
Sea f : P
0
! P el homomorfismo natural.
Proposici´on 3.15 Existe una ´unica conexi´on
0
en (P
0
, ⇡
0
,M
0
,G) el cual es llevado
hacia por el homomorfismo f : P
0
! P . La conexi´on
0
es plana. Si u
0
0
es un punto de
P
0
tal que f(u
0
0
)=u
0
, entonces el grupo de holonom´ıa (u
0
0
) de
0
con punto referencial
u
0
0
es isomorficamente llevado sobre N por f.
Demostraci´o n: Es claro que la forma curvatura d e
0
de anula id´enticamente y
0
es plana. Obser vemos que P
0
es el subconjunto de M
0
⇥ P defini d a como sigue:
P
0
= { (x
0
,u) 2 M ⇥ P | µ(x
0
)=⇡(u) } ,
donde µ : M
0
! M es la proyecci´on del recubr i m i ento. La proyecci´on ⇡
0
: P
0
! M
0
es
dada por ⇡
0
:(x
0
,u)=x
0
yelhomomorfismof : P
0
! P es d ada por f(x
0
,u)=u as´ı que
el correspondiente homomorfismo f : G ! G del gru po est r u ct u r a l es el au t o m o r fi sm o
identidad. Para prob a r que f lleva (u
0
0
)isom´orficamentesobreN, ´este es ade m ´as
suficiente probar que (u
0
0
)=N. Escriba
u
0
0
=(x
0
0
,u
0
) 2 P
0
⇢ M
0
⇥ P.
3.8 Conexiones planas 83
Como µ(x
0
0
)=⇡(x
0
), existe un elemento a 2 (u
0
)talque
x
0
0
= ⌫(u
0
a) ,
donde ⌫ : M
⇤
= P (u
0
) ! M
0
= P (u
0
)/N es la p royecci´on recubrimi ento. Sea ⌧ =
u
0
0
, 0 6 t 6 1, una curva horizontal en P
0
tal que ⇡
0
(u
0
0
)=⇡
0
(u
0
1
). Para cada t,
hacemos
u
0
t
=(x
0
t
,u
t
) 2 P
0
⇢ M
0
⇥ P.
Entonces la curva u
t
, 6 t 6 1, es horizontal en P yportantoest´acontenidaen
M
⇤
= P(u
0
). Puesto que µ(x
0
t
)=⇡(u
t
)=µ ⌫(u
t
)yx
0
0
= ⌫(u
0
a), tenemos x
0
t
= ⌫(u
t
a)
para 0 6 t 6 1. Tenemos que
⌫(u
1
a)=x
0
1
= ⇡
0
(u
0
1
)=⇡
0
(u
0
)=x
0
0
= ⌫(u
0
a)
y, consecuentemente,
⌫(u
1
)=⌫(u
0
) ,
lo que significa que u
1
= u
0
b para alg´un b 2 N. Esto muestra que (u
0
0
) ⇢ N. Rec´ıpro-
camente, sea b cualquier elemento de N. Sea u
t
, 0 6 t 6 1, una curva horizontal en P
tal que u
1
= u
0
b. Defina u n a curva horizontal u
0
t
, 0 6 t 6 1, en P
0
por
u
0
t
=(x
0
t
,u
t
) ,
donde x
0
t
= ⌫(u
t
a). Entonces u
0
t
= u
0
0
b, mostrando que b 2 (u
0
0
).
2
84 Teor
´
ıa de conexiones
III. Metodolog´ı a y conclusi´on
La presente tesis exhibe un modo compacto de describir las diferentes estructu-
ras geom´etricas conocidas en la geometr´ıa diferencial. Puesto que el grupo estructural
siendo un grupo de Lie arbitrario, n os permite considerar como casos particulares a
las diferentes geometr´ıas conocidas. Este abordage general permit e desar r o l l a r est r u c-
turas geom´e tr i ca s m´as gener a l i za das. Y que, en efecto, la liter a t u ra contempor´anea a s´ı
lo muestra. Para poder obtener ´esta generalizaci ´on fue preciso usar las metodolog´ıas
de construcci´on de fibrados generales con grupo estructural (constructivo, deductivo,
anal´ıtico y sint´etico).
Por tanto para percibir ´esta generalizaci´on debemos hacer ciertas adaptaciones. Por
ejemplo tener en cu enta siempre que las diferentes geometr´ıas son desarrolladas sobre
el grupo de Lie G = GL(m, F), donde F = R ´o C, grupo lineal general. Adaptemos
la teor´ıa desa r r o l l a d a en ´esta presente tesis al fibrado tangente TM, de una variedad
diferenciable M. Es decir, como sigue:
Sea F
m
el espacio vectorial d e todas las m´u p l a s d e e l e m e n t o s d e F y GL(m; F)
el grupo de todas las matrices no-singulares con entradas de F. El grupo GL(m; F)
act´ua sobre F
m
por la izquierda en un modo natural ; si a =(a
i
j
) 2 GL(m; F)y⇠ =
(⇠
1
,...,⇠
m
) 2 F
m
, entonces a⇠ =(
P
j
a
1
j
⇠
j
,...,
P
j
a
m
j
⇠
j
) 2 F
m
.
Sea (P, ⇡,M,G) un fibrado principal y ⇢ una representaci´on de G en
GL(m; F). As´ı sea E(P ⇥
G
F
m
, ⇡
E
,M,F
m
)elfibradoasociadoaP con fibra t´ıpica
F
m
sobre el cual G act´ua mediante ⇢. Llamaremos a E como el fibrado vectorial, real o
complejo, sobre M, de acuerdo a cu a n d o sea F = R o F = C. Cada fi b r a ⇡
E
(x),x2 M,
de E tiene la estructura de un espacio vectorial tal que cada u 2 P , con ⇡(u)=x y
considerado como una aplicaci´on de F
m
sobre ⇡
1
E
(x), es un isomorfismo lineal de F
m
sobre ⇡
1
E
(x). Sea S el conju nto de secciones ' : M ! E; ´este forma un espacio vectorial
sobre F (de dimensi´on infinita si m > 1) con la adisi´on y multiplicaci´on definidas por
(' + )(x)='(x)+ (x), ', 2 S, x 2 M,
(')(x)=('(x)), ' 2 S, 2 F,x2 M.
Podemos tambi´en considerar a S como un m´odulo sobre el ´algebra de funciones a
valores en F; si es una funci ´on a valores en F sobre M, entonces
(')(x)=(x) · '(x), ' 2 S, x 2 M.
85
86 Teor
´
ıa de conexiones
Sea una conexi´on en P . Recordando c´omo define la n oci´on de desplazami ento
paralelo de las fibras de E.Si⌧ = x
t
,a6 t 6 b, es un a curva en M y ⌧
⇤
= u
t
es un
levantamiento horizontal d e ⌧ ha ci a P , entonces, para cada ⇠ 2 F
m
prefijado, la curva
⌧
0
= u
t
⇠ es, por definici´on, un levantamiento horizontal de ⌧ hacia E.
Sea ' u n a secci´on de E definido sobre ⌧ = x
t
por lo que ⇡
E
'(x
t
)=x
t
para
todo t. Sea ˙x
t
el vector tangente a ⌧ en x
t
. Entonces, para cada t fi ja d o , la derivada
covariante r
˙x
t
' de ' en la direcci´on de (o con respecto a) ˙x
t
es
r
˙x
t
' =l´ım
h!0
1
h
[⌧
t+h
t
('(x
t+h
)) '(x
t
)] ,
donde ⌧
t+h
t
: ⇡
1
E
(x
t+h
) ! ⇡
1
E
(x
t
)denotaeldesplazamientoparalelodelafibra
⇡
1
E
(x
t+h
)alolargode⌧ de x
t+h
a x
t
. As´ı, r
˙x
t
' 2 ⇡
1
E
(x
t
)paracadat ydefine
una secci´on de E alolargode⌧. La secci´on ' es paralelo, ´esto es, la curva '(x
t
)enE
es horizontal, si y s´olo si r
˙x
t
' =0paratodot.
Sea X 2 T
x
M y ' una secci´on de E defini d a en una vecindad de x. Entonces la
derivada covariante r
X
' de ' en la direcci ´on de X est´a definida como sigue.
Sea ⌧ = x
t
, ✏ 6 t 6 ✏, una cur va tal que X =˙x
0
. Entonces hacemo s
r
X
' = r
˙x
t
' .
Es sencillo de ver que r
X
' es independiente de la elecci´on de ⌧ . Un a secci´on ' de E
definida sobre u n subconjunto abierto U de M es paralela si y s´olo si r
X
' =0para
todo X 2 T
x
M, x 2 U.
Hasta aqu´ı reproducimos la teor´ıa de conexiones sobre un fibrado vectorial E a
partir de una conexi´on so b r e un fibrado principal P particular.
Para concluir y dejar clara la relev ancia de la teor´ıa de fibrados principales y cone-
xiones definidas sobre ´esta, como mostrado en la tesis, es percibir que la geometr´ıa es
caracterizada por la simetr´ıa (grupo d e Lie) subyacente sobre ´esta. Esto quiere decir:
(a) Si G = O(n), se trata de la Geometr´ıa Riemanniana;
(b) Si G = O(1,n 1), se trata de la Geometr´ıa Lorentziana;
(c) Si G = O(p, q), se trata de la Geometr´ıa pseudo-Riemanniana;
(d) Si G = Sp(n), se trata de la Geometr´ıa Simpl´ectica;
(e) Si G = U(n), se trata de la Geometr´ıa de K¨ahler;
(f) Si G = U(p, q), se tra t a de la Geometr´ıa pseudo-K¨ahleriana;
Bibliograf´ıa
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Princeton.
87
Alexsander Apaico Cordova
Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas, con especialidad en Matemáticas de la
Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga, Magister en Administración de la
Educación.
Ponente a nivel Nacional e Internacional.
Editor de Libros académicos y de investigación.
Apasionado a la investigación.
apaicoalexs@gmail.com
ORCID: 0000-0002-7338-1671
Daúl Andrés Paiva Yanayaco
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga
https://orcid.org/0000-0001-7084-5840
daul.paiva@unsch.edu.pe
daulpaivay@gmail.com
Licenciado en Matemática por la Universidad Nacional de Piura.
Magíster en Matemática Aplicada por la Universidad Nacional de Piura. Docente
Asociado a Dedicación Exclusiva en la UNSCH. Experiencia en Docencia Universitaria por
más de 15 años en diversas universidades del Perú. Ponente en eventos académicos
nacionales e internacionales. Estudios de Doctorado en Matemática en el Instituto de
Matemática y Ciencias Afines de la Universidad Nacional de Ingeniería. Miembro del
Colegio de Matemáticos del Perú (COMAP) con número de colegiatura 1489.
Guillermo Jesús Zela Quispe
Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga
guillermo.zela@unsch.edu.pe
Licenciado en Matemáticas de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, con
número de registro 1249 del Colegio de Matemáticos del Perú (COMAP). Estudios de
Maestría en Matemática Pura en la Pontifica Universidad Católica del Perú. Docente de
categoría Auxiliar a Tiempo Completo, con experiencia en Docencia Universitaria 14 años
dictando cursos de Matemáticas en la universidad.
José Carlos Juarez Pulache
https://orcid.org/0000-0003-0016-506X
pulachejuarez@gmail.com, jose.juarez@unsch.edu.pe
Licenciado en Matemática de la Universidad Nacional de Piura, con registro N° 1499 del
Colegio de Matemáticos del Perú-COMAP. Magister en Matemática Aplicada. Docente
en la categoría Auxiliar, con 10 años de experiencia universitaria en diferentes
universidades del Perú.
Savez
editorial
