Savez
editorial
de alimentos
Reología y viscosidad
Miranda–Zamora William Rolando
Espinoza Valdiviezo Diana Lastenia
Vallejos More Leandro Alonso
Sánchez Chero Manuel Jesús
Ygnacio Santa Cruz Abraham Guillermo
Miranda–Zamora William Rolando
Espinoza Valdiviezo Diana Lastenia
Vallejos More Leandro Alonso
Sánchez Chero Manuel Jesús
Ygnacio Santa Cruz Abraham Guillermo
William Rolando Miranda–Zamora
Diana Lastenia Espinoza Valdiviezo
Manuel Jesús Sánchez Chero
Hans Himbler Minchán Velayarce
Juan Antonio Ticona Yujra
Juan de Dios Mendoza Seclén
José Arturo Rodríguez Kong
Savez
editorial
Reología y viscosidad de alimentos
Savez
editorial
William Rolando Miranda–Zamora
Diana Lastenia Espinoza Valdiviezo
Manuel Jesús Sánchez Chero
Hans Himbler Minchán Velayarce
Juan Antonio Ticona Yujra
Juan de Dios Mendoza Seclén
José Arturo Rodríguez Kong
Reología y viscosidad de alimentos
Título: Reología y viscosidad de alimentos
Autores:
William Rolando Miranda–Zamora
Diana Lastenia Espinoza Valdiviezo
Manuel Jesús Sánchez Chero
Hans Himbler Minchán Velayarce
Juan Antonio Ticona Yujra
Juan de Dios Mendoza Seclén
José Arturo Rodríguez Kong
Autor – Editor:
Manuel Jesús Sánchez Chero
Mza I Lote 19 Urb. Fremín Avila Morón – Pimentel
Chiclayo – Lambayeque - Perú
1a. Edición Digital – Septiembre 2021
Hecho el depósito legal en la
Biblioteca Nacional del Perú N° 2021-10725
ISBN:978-9942-8957-5-2
Obra revisada previamente por la modalidad doble par ciego, en caso de
requerir información sobre el proceso comunicarse al correo electrónico
editor@savezeditorial.com
Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por
cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros), sin
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sanciones establecidas por la ley. El contenido de esta publicación puede ser
reproducido citando la fuente.
El trabajo publicado expresa exclusivamente la opinión de los autores,
de manera que no compromete el pensamiento ni la responsabilidad del
Savez editorial
3
Prefacio
Este trabajo está pensado principalmente como una
introducción al campo para estudiantes de pregrado e
investigadores de la viscosidad y consistencia
correspondientes al área de la reología de los alimentos.
También puede contener algunos ejemplos que serían de
interés para los estudiantes e investigadores, mientras que
los profesionales de la industria alimentaria pueden
obtener información importante que los ayudaría a resolver
problemas prácticos para sus procesos. El trabajo consta
de cuatro capítulos, que cubren el cálculo de los esfuerzos
y deformaciones en alimentos, así como también cubre el
cálculo de los perfiles de velocidad. Los cálculos están
suficientemente detallados como para permitir al lector
realizar estos cálculos con confianza y obtener un
entendimiento y comprensión completa de los supuestos
involucrados en los ejemplos planteados, para que el lector
pueda tener una idea de los procedimientos. En reología la
viscosidad es una medida muy importante que determina
la calidad de los alimentos que se expenden en el
comercio. Este resumen revisa y describe los principales
cálculos disponibles en reología de alimentos en cuanto a
la viscosidad.
William Rolando Miranda–Zamora
Diana Lastenia Espinoza Valdiviezo
Manuel Jesús Sánchez Chero
Hans Himbler Minchán Velayarce
Juan Antonio Ticona Yujra
Juan de Dios Mendoza Seclén
José Arturo Rodríguez Kong
4
Contenido
Prefacio ................................................................................................................ 3
Reología de los alimentos: .................................................................................. 5
Esfuerzos ............................................................................................................. 5
1.1. Introducción ................................................................................................. 5
1.2. Conceptos básicos ....................................................................................... 6
1.2.1. Fuerza ........................................................................................................ 6
1.2.2. Esfuerzo ..................................................................................................... 7
1.3. Ejemplos de esfuerzos en alimentos ............................................................ 8
1.4. Ejemplos de esfuerzo de corte en alimentos ............................................. 14
Bibliografía ........................................................................................................ 18
Reología de los alimentos: Deformación .......................................................... 20
2.1. Introducción ............................................................................................... 20
2.2. Ejemplos de deformaciones longitudinales de alimentos ......................... 22
2.3. Ejemplos de deformaciones verdaderas de alimentos .............................. 26
2.4. Ejemplos de deformaciones de alimentos: axial, transversa y volumétrica 31
2.5. Ejemplos de deformación de corte y ángulo de deformación .................. 42
2.6. Cociente de Poisson ................................................................................... 47
2.7. Ejemplos de módulo de Poisson ................................................................ 48
2.8. Módulo ....................................................................................................... 57
2.9. Ejemplos de los módulos global y de corte ............................................... 58
Bibliografía ........................................................................................................ 68
Viscosidad de los alimentos .............................................................................. 69
3.1. Introducción ............................................................................................... 69
3.2. Medida de viscosidad o viscosimetría ....................................................... 70
3.3. Derivación de la ecuación de Poiseuille ..................................................... 71
Bibliografía ........................................................................................................ 74
Viscosímetros de tubo capilar ........................................................................... 76
4.1. Introducción ............................................................................................... 76
4.2. Viscosímetro Cannon-Fenske y viscosímetro Ubbelohde .......................... 89
4.3. Problemas de viscosímetros capilares ........................................................ 93
Bibliografía ...................................................................................................... 127
5
1.1. Introducción
La diversidad de los procesos de fabricación modernos en
la industria alimentaria y la importancia que se le otorga a
la calidad de los alimentos exige entender y comprender la
función de las propiedades de los materiales alimentarios
(biológicos) que constituyen los alimentos sólidos y
semisólidos. Las propiedades mecánicas se definen por lo
común como el comportamiento en cuanto al binomio
esfuerzo-deformación (Zulkifli et al., 2020, Nishinari, 2020,
Junwei et al., 2018) de un material en condiciones de
carga, ya sea esta estática o dinámica, en tanto que la
reología que es una rama de la física se define como la
ciencia que estudia la deformación y el flujo de la materia a
condiciones controladas o específicas. Por lo común, los
procedimientos o métodos para probar los materiales
consisten en pruebas destructivas que producen
deformaciones mayores y pruebas no destructivas que
conlleva a pocas deformaciones. Las primeras, son
necesarias para determinar la resistencia máxima y la
extensibilidad de los almidones y las proteínas, en tanto
que las segundas resultan muy convenientes para
caracterizar muchos alimentos como el queso; la
integración de los dos tipos de pruebas estáticas y
dinámicas es provechosa para entender y comprender las
relaciones entre la micro y la macro estructura y las diversas
propiedades de los alimentos, como la textura.
1
Reología de los alimentos:
Esfuerzos
6
1.2. Conceptos básicos
Si se quiere diseñar e interpretar pruebas de materiales y
sus resultados, es fundamental entender y comprender los
conceptos básicos de fuerza y esfuerzo.
1.2.1. Fuerza
El texturómetro, analizador de textura o máquina universal
(Figura 1.1) mide la fuerza que se requiere para que un
alimento se deforme y la registra en gramos fuerza (gf),
kilogramos fuerza (kgf) o kilopondio, libras fuerza (lbf) o
Newtons (1kgf = 9.81 N). La fuerza es dependiente de la
naturaleza del material, pero en vista de que también
depende de las medidas o dimensiones de la muestra de
prueba, no es una propiedad única del material
(Berthaume, 2016).
7
Figura 1.1. Esquema de un analizador de textura TA.XT2i.
1.2.2. Esfuerzo
La fuerza que se aplica a un alimento se distribuye por
todo el alimento. Si, en cualquier punto dentro del
alimento, se traza un plano perpendicular a esta fuerza
interna, se puede definir el esfuerzo en ese punto como la
magnitud de la fuerza por unidad de área de la sección
transversal. Es decir cuando la fuerza se aplica
perpendicular a la superficie del alimento, como suele ser
el caso con las fuerzas gravitacionales y de presión, el
esfuerzo resultante se denomina esfuerzo normal. El
esfuerzo queda definido en la ecuación [1.1]
8
[1.1]
donde: F = fuerza aplicada en el alimento, A = superficie
de la sección transversal, τ = esfuerzo.
En la Figura 1.2 se muestra el esquema de una barra
energética con cereales en la que la fuerza se aplica
perpendicular a la superficie del alimento.
Figura 1.2. Esquema de una barra energética con cereales.
Las unidades del esfuerzo al haberse definido como la
fuerza por superficie, son similares a la presión, es decir la
presión hidrostática es simplemente una forma de esfuerzo
normal y tiene las mismas unidades que la presión.
1.3. Ejemplos de esfuerzos en alimentos
Ejemplo 1.1
Si una barra rectangular de chocolate de 2 cm de altura, 1
cm de grosor y 4 cm de largo se comprime en los
extremos con una fuerza de 4 N ¿Cuál es el esfuerzo en
cualquier punto de la barra de chocolate?
A
F
=
t
L
a
b
F
A
L
a
b
F
A
9
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la barra rectangular de chocolate son
Largo = L = 4 cm
Grosor = b = 1 cm = 0.01 m
Altura = a = 2 cm = 0.02 m
Fuerza = 4 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo en
cualquier punto de la barra de chocolate.
Solución:
El esfuerzo sobre cualquier punto de la barra de chocolate
es
Ejemplo 1.2
Si una barra energética rectangular a base de Sacha Inchi
de 1 cm de altura, 4 cm de ancho y 14 cm de largo se
comprime en los extremos con una fuerza de 6 N ¿Cuál es
el esfuerzo en cualquier punto de la barra energética?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la barra energética rectangular son
Largo = L = 14 cm
Ancho = b = 4 cm = 0.04 m
Altura = a = 1 cm = 0.01 m
Fuerza = 6 N
kPa 20Pa 000 20
m
N
000 20
m 0.01m 0.02
N 4
2
===
´
=
t
10
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo en
cualquier punto de la barra energética.
Solución:
El esfuerzo sobre cualquier punto de la barra energética es
Ejemplo 1.3
Si una barra energética de quinua–kiwicha de 2 cm de
altura, 4 cm de ancho y 10 cm de largo se comprime en
los extremos con una fuerza de 5 N ¿Cuál es el esfuerzo en
cualquier punto de la barra energética?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la barra energética rectangular son
Largo = L = 10 cm
Ancho = b = 4 cm = 0.04 m
Altura = a = 2 cm = 0.02 m
Fuerza = 5 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo en
cualquier punto de la barra energética.
Solución:
El esfuerzo sobre cualquier punto de la barra energética es
kPa 51Pa 000 51
m
N
000 51
m 0.01m 0.04
N 6
2
===
´
=
t
11
Ejemplo 1.4
Si una barra de chocolate jumbo con forma rectangular
mide 8 cm de altura, 3 cm de grueso y 14 cm de largo se
comprime en los extremos con una fuerza de 3 N ¿Cuál es
el esfuerzo en cualquier punto de la barra de chocolate
jumbo?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la barra rectangular de chocolate son
Largo = L = 14 cm
Grueso = b = 3 cm = 0.03 m
Altura = a = 8 cm = 0.08 m
Fuerza = 3 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo en
cualquier punto de la barra de chocolate.
Solución:
El esfuerzo sobre cualquier punto de la barra de chocolate
es
Ejemplo 1.5
Si una barra de chocolate con forma de prisma triangular
mide 2 cm de altura, 2 cm de ancho y 15 cm de largo se
kPa 25.6Pa250 6
m
N
250 6
m 0.02m 0.04
N 5
2
===
´
=
t
kPa 25.1Pa250 1
m
N
250 1
m 0.08m 0.03
N 3
2
===
´
=
t
12
comprime en los extremos con una fuerza de 4 N ¿Cuál es
el esfuerzo en cualquier punto de la barra de chocolate?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la barra en forma de prisma triangular
de chocolate son
Largo = L = 15 cm
Ancho = b = 2 cm = 0.02 m
Altura = a = 2 cm = 0.02 m
Fuerza = 4 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo en
cualquier punto de la barra de chocolate.
Solución:
El esfuerzo sobre cualquier punto de la barra de chocolate
es
Una fuerza aplicada paralela a la superficie produce un
esfuerzo de corte, como se muestra en la Figura 1.3.
Cuando se aplica un esfuerzo de corte a un fluido, se
deforma continuamente y la deformación es permanente.
Esta situación se conoce como flujo (Singh y Heldman,
2013, Hartel et al., 2008).
kPa 10Pa000 10
m
N
000 10
m 0.02m 0.02
N 4
2
===
´
=
t
13
Figura 1.3. Fuerzas aplicadas a la parte superior de un
alimento; la parte inferior del alimento se fija al piso.
Al determinar el esfuerzo de corte, la magnitud de la
fuerzas se divide entre el área de la sección transversal del
alimento que es paralela a las fuerzas. Como las fuerzas
son tangenciales, en vez de perpendiculares a la superficie,
este esfuerzo se denomina como tangencial.
Cuando un alimento se coloca entre un par de fuerzas
opuestas que apuntan una a la otra como se muestra en la
Figura 1.4, el alimento se comprime, el esfuerzo que
resulta se conoce como de compresión. Ejemplo: cuando
se aprieta un masmelo o bombón entre las manos se aplica
un esfuerzo de compresión.
Cuando un alimento es sostenido por dos fuerzas que tiran
en sentidos opuestos como se representa en la Figura 1.5,
el efecto es que el alimento se estira o extiende, el
esfuerzo que resulta se conoce como esfuerzo de tensión,
tracción o extensión. Ejemplo: cuando se estira un fideo se
aplica un esfuerzo de tensión.
Fuerza normal: aplicada
perpendicular a la parte superior
del alimento
Fuerza de corte: aplicada en
paralelo a la parte superior del
alimento
Fuerza normal: aplicada
perpendicular a la parte superior
del alimento
Fuerza de corte: aplicada en
paralelo a la parte superior del
alimento
14
Las dos fuerzas aplicadas existen a lo largo de un eje
común en el esfuerzo de compresión y de tensión, por lo
tanto, ambos esfuerzos son esfuerzos axiales.
Figura 1.4. Esfuerzo de
compresión.
Figura 1.5. Esfuerzo de
tensión.
Cuando un par de fuerzas son paralelas pero no ocurren a
lo largo de un eje común, el efecto es que el alimento se
tuerce a un lado. Por ejemplo, si la parte superior de un
alimento rectangular se jala hacia la derecha mientras que
la inferior se jala hacia la izquierda como aparece en la
Figura 1.6, el alimento se convertirá en un paralelogramo,
el esfuerzo se denomina como de corte.
1.4. Ejemplos de esfuerzo de corte en alimentos
Ejemplo 1.6
Un trozo de flan mide 5 cm de grosor y 5 cm de altura se
encuentra entre dos placas horizontales, la placa inferior
permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 2 N, la placa
superior se mueve 0.5 cm hacia la derecha, lo que hace
que el flan se incline. ¿Cuál es el esfuerzo de corte del
trozo de flan?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de flan son
Grosor = b = 5 cm = 0.05 m
Altura = a = 5 cm = 0.05 m
A
FF
A
FF
A
FF
A
FF
15
Fuerza = 2 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte en el trozo de flan.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de flan es
Ejemplo 1.7
Un trozo de gelatina mide 6 cm de grosor y 6 cm de altura
se encuentra entre dos placas horizontales, la placa inferior
permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 1.35 N, la placa
superior se mueve 0.6 cm hacia la derecha, lo que hace
que la gelatina se incline. ¿Cuál es el esfuerzo de corte del
trozo de gelatina?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de gelatina son
Grosor = b = 6 cm = 0.06 m
Altura = a = 6 cm = 0.06 m
Fuerza = 1.35 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte en el trozo de gelatina.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de gelatina es
kPa 8.0Pa008
m
N
800
m 0.05m 0.05
N 2
2
===
´
=
t
16
Ejemplo 1.8
Un trozo de leche asada mide 7 cm de grosor y 7 cm de
altura se encuentra entre dos placas horizontales, la placa
inferior permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 0.49 N,
la placa superior se mueve 0.75 cm hacia la derecha, lo
que hace que la leche asada se incline. ¿Cuál es el
esfuerzo de corte del trozo de leche asada?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de leche asada son
Grosor = b = 7 cm = 0.07 m
Altura = a = 7 cm = 0.07 m
Fuerza = 0.49 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte en la leche asada.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de leche asada es
Ejemplo 1.9
Un trozo de torta helada mide 10 cm de grosor y 10 cm de
altura se encuentra entre dos placas horizontales, la placa
inferior permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 1 N, la
placa superior se mueve 0.25 cm hacia la derecha, lo que
kPa 375.0Pa375
m
N
375
m 0.06m 0.06
N 1.35
2
===
´
=
t
kPa 1.0Pa001
m
N
100
m 0.07m 0.07
N 0.49
2
===
´
=
t
17
hace que la torta helada se incline. ¿Cuál es el esfuerzo de
corte del trozo de la torta helada?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de torta helada son
Grosor = b = 10 cm = 0.1 m
Altura = a = 10 cm = 0.1 m
Fuerza = 1 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte en la torta helada.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de torta helada es
Ejemplo 1.10
Un trozo de torta helada irlandesa mide 0.09 m de grosor
y 0.09 m de altura se encuentra entre dos placas
horizontales, la placa inferior permanece fija. Al aplicarle
una fuerza de 1.15 N, la placa superior se mueve 0.75 cm
hacia la derecha, lo que hace que la torta helada irlandesa
se incline. ¿Cuál es el esfuerzo de corte del trozo de la
torta helada irlandesa?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de torta helada irlandesa son
Grosor = b = 0.09 m
kPa 1.0Pa001
m
N
100
m 0.1m 0.1
N 1
2
===
´
=
t
18
Altura = a = 0.09 m
Fuerza = 1.15 N
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte en la torta helada irlandesa.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de torta helada irlandesa
es
Bibliografía
Berthaume, M.A. (2016). Food mechanical properties and
dietary ecology. American Journal of Physical
Anthropology, 159, 79–104.
Hartel, R.W., Connelly, R.K., Howell Jr., T.A, Hyslop, D.B.
(2008). Math concepts for food engineering. Second
edition. CRC Press.
Junwei, L., Yunhai, M., Jin, T., Zichao, M., Lidong, W.,
Jiangtao, Y. (2018). Mechanical properties and
microstructure of potato peels. International Journal of
Food Properties, 21(1), 1395–1413.
Nishinari, K. (2020). Textural characteristics of world foods.
John Wiley and Sons Ltd.
Singh, R.P., Heldman, D.R. (2013). Introduction to food
engineering. 5th Edition. Academic Press.
kPa 142,0Pa142
m
N
142
m 0.09m 0.09
N 1.15
2
===
´
=
t
19
Zulkifli, N., Hashim, N., Harith, H.H., Mohamad Shukery,
M.F. (2020). Finite element modelling for fruit stress
analysis - A review. Trends in Food Science &
Technology, 97, 29–37.
20
2.1. Introducción
Si sometemos al mismo esfuerzo dos alimentos uno largo y
uno corto, es de esperar que el primero cambie más que el
segundo. La deformación dependerá tanto de la naturaleza
del alimento como de sus medidas o dimensiones. La
deformación es la magnitud del cambio longitudinal
dividido entre la dimensión inicial, por ejemplo si una de
las dimensiones de un alimento es L
0
(longitud inicial u
original) y ΔL (cambio longitudinal), la propiedad que está
en función únicamente del material será (Sharma et al.,
1999)
[2.1]
siendo ε
L
la deformación.
Las deformaciones de compresión [Figura 2.1(a)] y de
tensión o tracción [Figura 2.1(b)] observadas en la se les
conoce frecuentemente como deformaciones de
ingeniería.
0
L
L
ΔL
ε =
2
Reología de los alimentos: Deformación
21
(a)
(b)
Figura 2.1. Principio de la deformación de (a) compresión y
de (b) tensión.
Cuando se somete a esfuerzo un alimento de cualquier
forma, como cuando se encuentra bajo presión
hidrostática, su volumen cambia. Esto se conoce como
deformación volumétrica o compresión por todos los lados
y se determina como el cambio de volumen (∆V) dividido
entre el volumen inicial (V
0
), ya sea a presión absoluta o
manométrica.
[2.2]
siendo ε
V
la deformación.
La deformación volumétrica o compresión por todos los
lados se observa en la Figura 2.2.
∆L
L
0
∆L
L
0
∆L
L
0
∆L
L
0
0
V
V
ΔV
=
e
22
Figura 2.2. Principio de la deformación volumétrica o
compresión por todos los lados.
2.2. Ejemplos de deformaciones longitudinales de
alimentos
Ejemplo 2.1
Un fideo de 3 pulgadas de longitud se estira hasta 4.5
pulgadas. ¿Cuál es la deformación sobre este fideo?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del fideo son
Longitud inicial = L
0
= 3 pulg
Longitud final = L = 4.5 pulg
V
0
V
V
0
V
23
Enfoque:
La ecuación [2.1] es usada para determinar la deformación
en el fideo.
Solución:
La deformación longitudinal en el fideo es
Ejemplo 2.2
Una goma de mascar de 2 pulgadas de longitud se estira
hasta 3 pulgadas. ¿Cuál es la deformación sobre esta
goma de mascar?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la goma de mascar son
Longitud inicial = L
0
= 2 pulg
Longitud final = L = 3 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.1] es usada para determinar la deformación
en la goma de mascar.
Solución:
La deformación longitudinal en la goma de mascar es
0.50
3.00
1.50
3.00
3.004.50
L
ΔL
ε
0
L
==
-
==
0.5
2
1
2
23
L
ΔL
ε
0
L
==
-
==
24
Ejemplo 2.3
Un caramelo masticable de 1 pulgada de longitud se estira
hasta 1.25 pulgadas. ¿Cuál es la deformación sobre este
caramelo masticable?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del caramelo masticable son
Longitud inicial = L
0
= 1 pulg
Longitud final = L = 1.25 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.1] es usada para determinar la deformación
en el caramelo masticable.
Solución:
La deformación longitudinal en el caramelo masticable es
Ejemplo 2.4
Una lámina de queso de 1.75 pulgada de longitud se
estira hasta 1.95 pulgadas. ¿Cuál es la deformación sobre
esta lámina de queso?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la lámina de queso son
Longitud inicial = L
0
= 1.75 pulg
Longitud final = L = 1.95 pulg
0.25
1
0.25
1
125.1
L
ΔL
ε
0
L
==
-
==
25
Enfoque:
La ecuación [2.1] es usada para determinar la deformación
en la lámina de queso.
Solución:
La deformación longitudinal en la lámina de queso es
Ejemplo 2.5
Un fideo de 2 pulgada de longitud se estira hasta 2.35
pulgadas. ¿Cuál es la deformación sobre este fideo?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del fideo son
Longitud inicial = L
0
= 2 pulg
Longitud final = L = 2.35 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.1] es usada para determinar la deformación
en el fideo.
Solución:
La deformación longitudinal en el fideo es
La deformación de ingeniería se usa ampliamente. La
deformación de ingeniería es sólo una aproximación de la
0.11
1.75
0.20
1.75
1.7595.1
L
ΔL
ε
0
L
==
-
==
0.175
2
0.35
2
235.2
L
ΔL
ε
0
L
==
-
==
26
deformación verdadera. La deformación verdadera se
calcula
[2.3]
2.3. Ejemplos de deformaciones verdaderas de alimentos
Ejemplo 2.6
Un fideo de 3 pulgadas de longitud se estira hasta 4.5
pulgadas. ¿Cuál es la deformación verdadera sobre este
fideo?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del fideo son
Longitud inicial = L
0
= 3 pulg
Longitud final = L = 4.5 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.3] es usada para determinar la deformación
verdadera en el fideo.
Solución:
La deformación verdadera en el fideo es
Ejemplo 2.7
L
L
ln ε
0
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0.41
3.00
4.50
ln
L
L
lnε
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
27
Una goma de mascar de 2 pulgadas de longitud se estira
hasta 3 pulgadas. ¿Cuál es la deformación verdadera
sobre esta goma de mascar?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la goma de mascar son
Longitud inicial = L
0
= 2 pulg
Longitud final = L = 3 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.3] es usada para determinar la deformación
verdadera en la goma de mascar.
Solución:
La deformación verdadera en la goma de mascar es
Ejemplo 2.8
Un caramelo masticable de 1 pulgada de longitud se estira
hasta 1.25 pulgadas. ¿Cuál es la deformación verdadera
sobre este caramelo masticable?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del caramelo masticable son
Longitud inicial = L
0
= 1 pulg
Longitud final = L = 1.25 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.3] es usada para determinar la deformación
0.41
2
3
ln
L
L
lnε
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
28
verdadera en el caramelo masticable.
Solución:
La deformación verdadera en el caramelo masticable es
Ejemplo 2.9
Una lámina de queso de 1.75 pulgada de longitud se
estira hasta 1.95 pulgadas. ¿Cuál es la deformación
verdadera sobre esta lámina de queso?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones de la lámina de queso son
Longitud inicial = L
0
= 1.75 pulg
Longitud final = L = 1.95 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.3] es usada para determinar la deformación
verdadera en la lámina de queso.
Solución:
La deformación verdadera en la lámina de queso es
0.22
1
25.1
ln
L
L
lnε
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0.11
1.75
95.1
ln
L
L
lnε
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
29
Ejemplo 2.10
Un fideo de 2 pulgada de longitud se estira hasta 2.35
pulgadas. ¿Cuál es la deformación verdadera sobre este
fideo?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del fideo son
Longitud inicial = L
0
= 2 pulg
Longitud final = L = 2.35 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.3] es usada para determinar la deformación
verdadera en el fideo.
Solución:
La deformación verdadera en el fideo es
Cuando un alimento se somete a una deformación de
tensión o de compresión, la longitud aumenta o disminuye
a lo largo del eje del esfuerzo. A este cambio se denomina
deformación axial.
[2.4]
Siendo ε
A
la deformación axial.
0.16
2
53.2
ln
L
L
lnε
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0
A
L
ΔL
ε =
30
Cuando un alimento se comprime, por lo general se hace
más grueso; cuando se estira, comúnmente se adelgaza.
Así, para cualquier deformación axial, existe
frecuentemente una deformación compensatoria en
ángulos rectos a la fuerza, que se conoce como
deformación transversa (lateral).
[2.5]
Siendo ε
T
la deformación transversa o lateral.
La Figura 2.3 muestra el principio de la deformación axial y
la deformación transversa.
Figura 2.3. Principio de la deformación axial y la
deformación transversa.
0
T
D
ΔD
ε =
∆D
∆L
L
D
Forma original Forma comprimida
∆D
∆L
L
D
Forma original Forma comprimida
31
2.4. Ejemplos de deformaciones de alimentos: axial,
transversa y volumétrica
Ejemplo 2.11
Un cilindro de queso de 2 pulgadas de altura y 1 pulgada
de diámetro se comprime a lo largo de su eje hasta una
longitud de 1.80 pulgadas. El diámetro del cilindro
aumenta a 1.04 pulgadas. Determine la deformación axial
y la deformación transversa.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso son
Altura inicial = L
0
= 2 pulg
Altura final = L = 1.80 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1 pulg
Diámetro final = D = 1.04 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente en el cilindro de queso.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso es
La deformación transversa en el cilindro de queso es
0.1
2.00
1.802.00
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.04
1.00
1.001.04
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
32
Ejemplo 2.12
Un cilindro de queso cheddar de 2.5 pulgadas de altura y
1.5 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su eje
hasta una longitud de 2.0 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.54 pulgadas. Determine la
deformación axial y la deformación transversa.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso cheddar son
Altura inicial = L
0
= 2.5 pulg
Altura final = L = 2.0 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.5 pulg
Diámetro final = D = 1.54 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente en el cilindro de queso cheddar.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso cheddar es
La deformación transversa en el cilindro de queso cheddar
es
0.2
2.5
2.02.5
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.03
1.5
1.501.54
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
33
Ejemplo 2.13
Un cilindro de queso parmesano de 2.55 pulgadas de
altura y 1.55 pulgada de diámetro se comprime a lo largo
de su eje hasta una longitud de 2.15 pulgadas. El
diámetro del cilindro aumenta a 1.64 pulgadas. Determine
la deformación axial y la deformación transversa.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso parmesano son
Altura inicial = L
0
= 2.55 pulg
Altura final = L = 2.15 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.55 pulg
Diámetro final = D = 1.64 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente en el cilindro de queso parmesano.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso parmesano es
La deformación transversa en el cilindro de queso
parmesano es
0.16
2.55
2.152.55
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.06
1.55
1.551.64
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
34
Ejemplo 2.14
Un cilindro de queso roquefort de 2.25 pulgadas de altura
y 1.35 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su
eje hasta una longitud de 1.95 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.44 pulgadas. Determine la
deformación axial y la deformación transversa.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso roquefort son
Altura inicial = L
0
= 2.25 pulg
Altura final = L = 1.95 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.35 pulg
Diámetro final = D = 1.44 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente en el cilindro de queso roquefort.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso roquefort es
La deformación transversa en el cilindro de queso
roquefort es
0.13
2.25
1.952.25
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.07
1.35
1.351.44
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
35
Ejemplo 2.15
Un cilindro de queso azul de 2.28 pulgadas de altura y
1.38 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su
eje hasta una longitud de 1.97 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.47 pulgadas. Determine la
deformación axial y la deformación transversa.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso azul son
Altura inicial = L
0
= 2.28 pulg
Altura final = L = 1.97 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.38 pulg
Diámetro final = D = 1.47 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente en el cilindro de queso azul.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso azul es
La deformación transversa en el cilindro de queso azul es
0.14
2.28
1.972.28
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.07
1.47
1.381.47
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
36
Ejemplo 2.16
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
4.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 3.92 pulg
3
. Determinar la deformación volumétrica a esta
presión.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 4.00 pulg
3
Volumen final = V = 3.92 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable.
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
0.02
4.00
0.08
4.00
3.924.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
37
Ejemplo 2.17
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
3.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 2.92 pulg
3
. Determinar la deformación volumétrica a esta
presión.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 3.00 pulg
3
Volumen final = V = 2.92 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable.
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
0.03
3.00
0.08
3.00
2.923.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
38
Ejemplo 2.18
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
5.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 4.97 pulg
3
. Determinar la deformación volumétrica a esta
presión.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 5.00 pulg
3
Volumen final = V = 4.97 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable.
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
0.01
5.00
0.03
5.00
4.975.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
39
Ejemplo 2.19
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
2.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 1.93 pulg
3
. Determinar la deformación volumétrica a esta
presión.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 2.00 pulg
3
Volumen final = V = 1.93 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable.
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
0.04
2.00
0.07
2.00
1.932.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
40
Ejemplo 2.20
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
6.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 5.91 pulg
3
. Determinar la deformación volumétrica a esta
presión.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 6.00 pulg
3
Volumen final = V = 5.91 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable.
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
0.02
6.00
0.09
6.00
5.916.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
41
La deformación de corte (γ) es una distorsión que ocurre
cuando las fuerzas opuestas no están alineadas entre sí. La
deformación de corte es igual a la tangente del ángulo de
deformación (θ) causada por el esfuerzo de corte:
[2.6]
En la Figura 2.4 se muestra el principio de la deformación
de corte.
Para deformaciones pequeñas, γ ≈ θ, cuando el ángulo de
deformación se encuentra en radianes.
Figura 2.4. Deformación de corte.
( )
θtang
L
ΔL
γ
0
==
L
0
∆L
θ
L
0
∆L
θ
42
2.5. Ejemplos de deformación de corte y ángulo de
deformación
Ejemplo 2.21
Un trozo de gelatina de 1.5 pulgadas de grosor se
encuentra entre dos placas horizontales. La placa superior
se mueve 0.1 pulgadas hacia la derecha, lo que hace que
la gelatina se incline. Determinar la deformación de corte y
el ángulo de deformación.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de gelatina son
Grosor = L
0
= 1.5 pulg
Cambio longitudinal = ∆L = 0.1 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.6] es usada para determinar la deformación
de corte y el ángulo de deformación en el trozo de
gelatina.
Solución:
La deformación de corte en el trozo de gelatina es
y el ángulo de deformación es
0.067
1.5
0.10
γ ==
( )
°===
-
81.3rad 0.0670.067tangθ
1
43
Ejemplo 2.22
Un trozo de flan de 1.7 pulgadas de grosor se encuentra
entre dos placas horizontales. La placa superior se mueve
0.2 pulgadas hacia la derecha, lo que hace que el flan se
incline. Determinar la deformación de corte y el ángulo de
deformación.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de flan son
Grosor = L
0
= 1.7 pulg
Cambio longitudinal = ∆L = 0.2 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.6] es usada para determinar la deformación
de corte y el ángulo de deformación en el trozo de flan.
Solución:
La deformación de corte en el trozo de flan es
y el ángulo de deformación es
0.118
1.7
0.20
γ ==
( )
°===
-
71.6rad 0.1170.118tangθ
1
44
Ejemplo 2.23
Un trozo de leche asada de 1.8 pulgadas de grosor se
encuentra entre dos placas horizontales. La placa superior
se mueve 0.15 pulgadas hacia la derecha, lo que hace que
la leche asada se incline. Determinar la deformación de
corte y el ángulo de deformación.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de leche asada son
Grosor = L
0
= 1.8 pulg
Cambio longitudinal = ∆L = 0.15 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.6] es usada para determinar la deformación
de corte y el ángulo de deformación en el trozo de leche
asada.
Solución:
La deformación de corte en el trozo de leche asada es
y el ángulo de deformación es
0.083
1.8
0.15
γ ==
( )
°===
-
76.4rad 0.0830.083tangθ
1
45
Ejemplo 2.24
Un trozo de gelatina de 1.9 pulgadas de grosor se
encuentra entre dos placas horizontales. La placa superior
se mueve 0.25 pulgadas hacia la derecha, lo que hace que
la gelatina se incline. Determinar la deformación de corte y
el ángulo de deformación.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de gelatina son
Grosor = L
0
= 1.9 pulg
Cambio longitudinal = ∆L = 0.25 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.6] es usada para determinar la deformación
de corte y el ángulo de deformación en el trozo de
gelatina.
Solución:
La deformación de corte en el trozo de gelatina es
y el ángulo de deformación es
0.132
1.9
0.25
γ ==
( )
°===
-
50.7rad 0.1310.132tangθ
1
46
Ejemplo 2.25
Un trozo de gelatina de 2 pulgadas de grosor se encuentra
entre dos placas horizontales. La placa superior se mueve
0.35 pulgadas hacia la derecha, lo que hace que la
gelatina se incline. Determinar la deformación de corte y
el ángulo de deformación.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de gelatina son
Grosor = L
0
= 2.0 pulg
Cambio longitudinal = ∆L = 0.35 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.6] es usada para determinar la deformación
de corte y el ángulo de deformación en el trozo de
gelatina.
Solución:
La deformación de corte en el trozo de gelatina es
y el ángulo de deformación es
0.175
2.0
0.35
γ ==
( )
°===
-
93.9rad 0.1730.175tangθ
1
47
2.6. Cociente de Poisson
Es el cociente entre la deformación transversa y la
deformación axial (Pratapa et al., 2019, Grotte et al., 2002).
El cociente de Poisson (μ) mide en qué grado los cambios
de longitud se acompañan de cambios de las dimensiones
no axiales, es decir, el diámetro de un cilindro (Hu et al.,
2019). Por lo general, varía de 0 (sin arqueamiento) a un
máximo de 0.5 (un arqueamiento igual a la mitad de la
compresión). El cociente de Poisson se calcula como
(Shirmohammadi et al., 2018):
[2.7]
0
0
A
T
ΔL/L
ΔD/D
ε
ε
μ ==
48
2.7. Ejemplos de módulo de Poisson
Ejemplo 2.26
Un cilindro de queso de 2 pulgadas de altura y 1 pulgada
de diámetro se comprime a lo largo de su eje hasta una
longitud de 1.80 pulgadas. El diámetro del cilindro
aumenta a 1.04 pulgadas. Determine el módulo de
Poisson.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso son
Altura inicial = L
0
= 2 pulg
Altura final = L = 1.80 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1 pulg
Diámetro final = D = 1.04 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente y luego se procede a usar la ecuación
[2.7] para determinar el módulo de Poisson en el cilindro
de queso.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso es
La deformación transversa en el cilindro de queso es
0.1
2.00
1.802.00
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.04
1.00
1.001.04
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
49
El módulo de Poisson en el cilindro de queso es
4.0
1.0
0.04
==
µ
50
Ejemplo 2.27
Un cilindro de queso cheddar de 2.5 pulgadas de altura y
1.5 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su eje
hasta una longitud de 2.0 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.54 pulgadas. Determine el módulo
de Poisson.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso cheddar son
Altura inicial = L
0
= 2.5 pulg
Altura final = L = 2.0 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.5 pulg
Diámetro final = D = 1.54 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente y luego se procede a usar la ecuación
[2.7] para determinar el módulo de Poisson en el cilindro
de queso cheddar.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso cheddar es
La deformación transversa en el cilindro de queso cheddar
es
0.2
2.5
2.02.5
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.03
1.5
1.501.54
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
51
El módulo de Poisson en el cilindro de queso cheddar es
13.0
2.0
0.03
==
µ
52
Ejemplo 2.28
Un cilindro de queso parmesano de 2.55 pulgadas de
altura y 1.55 pulgada de diámetro se comprime a lo largo
de su eje hasta una longitud de 2.15 pulgadas. El
diámetro del cilindro aumenta a 1.64 pulgadas. Determine
el módulo de Poisson.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso parmesano son
Altura inicial = L
0
= 2.55 pulg
Altura final = L = 2.15 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.55 pulg
Diámetro final = D = 1.64 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente y luego se procede a usar la ecuación
[2.7] para determinar el módulo de Poisson en el cilindro
de queso parmesano.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso parmesano es
La deformación transversa en el cilindro de queso
parmesano es
0.16
2.55
2.152.55
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.06
1.55
1.551.64
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
53
El módulo de Poisson en el cilindro de queso parmesano
es
37.0
16.0
0.06
==
µ
54
Ejemplo 2.29
Un cilindro de queso roquefort de 2.25 pulgadas de altura
y 1.35 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su
eje hasta una longitud de 1.95 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.44 pulgadas. Determine el módulo
de Poisson.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso roquefort son
Altura inicial = L
0
= 2.25 pulg
Altura final = L = 1.95 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.35 pulg
Diámetro final = D = 1.44 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente y luego se procede a usar la ecuación
[2.7] para determinar el módulo de Poisson en el cilindro
de queso roquefort.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso roquefort es
La deformación transversa en el cilindro de queso
roquefort es
0.13
2.25
1.952.25
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.07
1.35
1.351.44
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
55
El módulo de Poisson en el cilindro de queso roquefort es
5.0
13.0
0.07
==
µ
56
Ejemplo 2.30
Un cilindro de queso azul de 2.28 pulgadas de altura y
1.38 pulgada de diámetro se comprime a lo largo de su
eje hasta una longitud de 1.97 pulgadas. El diámetro del
cilindro aumenta a 1.47 pulgadas. Determine el módulo
de Poisson.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de queso azul son
Altura inicial = L
0
= 2.28 pulg
Altura final = L = 1.97 pulg
Diámetro inicial = D
0
= 1.38 pulg
Diámetro final = D = 1.47 pulg
Enfoque:
La ecuación [2.4] y la ecuación [2.5] son usadas para
determinar la deformación axial y transversa
respectivamente y luego se procede a usar la ecuación
[2.7] para determinar el módulo de Poisson en el cilindro
de queso azul.
Solución:
La deformación axial en el cilindro de queso azul es
La deformación transversa en el cilindro de queso azul es
0.14
2.28
1.972.28
L
ΔL
ε
0
A
=
-
==
0.07
1.47
1.381.47
D
ΔD
ε
0
T
=
-
==
57
El módulo de Poisson en el cilindro de queso azul es
2.8. Módulo
El módulo es una medida de la resistencia o rigidez a la
deformación de un alimento. Debido a que el
denominador de un módulo es siempre adimensional, las
unidades de cualquier módulo son las mismas unidades de
esfuerzo (fuerza por unidad de área) por ejemplo en el
sistema internacional de unidades: Pa = N/m
2
.
El módulo global (K) para cambios volumétricos se define
como el cociente entre la presión hidrostática (P) y la
deformación volumétrica (ε
v
):
[2.8]
El módulo de corte (G) es el cociente entre el esfuerzo de
corte (τ) y la deformación de corte (γ):
[2.9]
48.0
14.0
0.07
==
µ
V
ε
P
K =
γ
τ
G =
58
2.9. Ejemplos de los módulos global y de corte
Ejemplo 2.31
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
4.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 3.92 pulg
3
. Determinar el módulo global.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 4.00 pulg
3
Volumen final = V = 3.92 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable y luego se
usa la ecuación [2.8] para determinar el módulo global (K).
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
El módulo global en el cilindro de acero inoxidable es
0.02
4.00
0.08
4.00
3.924.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
atm 100
0.02
atm 2
ε
P
K
V
===
59
Ejemplo 2.32
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
3.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 2.92 pulg
3
. Determinar el módulo global.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 3.00 pulg
3
Volumen final = V = 2.92 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable y luego se
usa la ecuación [2.8] para determinar el módulo global (K).
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
El módulo global en el cilindro de acero inoxidable es
0.03
3.00
0.08
3.00
2.923.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
atm 75
0.03
atm 2
ε
P
K
V
===
60
Ejemplo 2.33
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
5.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 4.97 pulg
3
. Determinar el módulo global.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 5.00 pulg
3
Volumen final = V = 4.97 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable y luego se
usa la ecuación [2.8] para determinar el módulo global (K).
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
El módulo global en el cilindro de acero inoxidable es
0.01
5.00
0.03
5.00
4.975.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
atm 33.333
0.01
atm 2
ε
P
K
V
===
61
Ejemplo 2.34
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
2.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 1.93 pulg
3
. Determinar el módulo global.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 2.00 pulg
3
Volumen final = V = 1.93 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable y luego se
usa la ecuación [2.8] para determinar el módulo global (K).
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
El módulo global en el cilindro de acero inoxidable es
0.04
2.00
0.07
2.00
1.932.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
atm 14.57
0.04
atm 2
ε
P
K
V
===
62
Ejemplo 2.35
Se encuentra que un cilindro de acero inoxidable ocupa
6.00 pulg
3
. Enseguida se sumerge en un tanque de agua y
se aumenta la presión a 2 atm. El volumen de éste cambia
a 5.91 pulg
3
. Determinar el módulo global.
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del cilindro de acero inoxidable son
Volumen inicial = V
0
= 6.00 pulg
3
Volumen final = V = 5.91 pulg
3
Enfoque:
La ecuación [2.2] es usada para determinar la deformación
volumétrica en el cilindro de acero inoxidable y luego se
usa la ecuación [2.8] para determinar el módulo global (K).
Solución:
La deformación volumétrica en el cilindro de acero
inoxidable es
El módulo global en el cilindro de acero inoxidable es
0.02
6.00
0.09
6.00
5.916.00
ε
V
==
-
==
0
V
ΔV
atm 33.133
0.02
atm 2
ε
P
K
V
===
63
Ejemplo 2.36
Un trozo de flan mide 5 cm de grosor y 5 cm de altura se
encuentra entre dos placas horizontales, la placa inferior
permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 2 N, la placa
superior se mueve 0.5 cm hacia la derecha, lo que hace
que el flan se incline. ¿Cuál es el módulo de corte del
trozo de flan?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de flan son
Grosor = b = 5 cm = 0.05 m
Altura = a = 5 cm = 0.05 m
Fuerza = 2 N
Cambio longitudinal = ∆L = 0.5 cm = 0.005 m
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte, la ecuación [2.6] para determinar la deformación de
corte y la ecuación [2.9] se utiliza para determinar el
módulo de corte.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de flan es
La deformación de corte en el trozo de flan es
El módulo de corte en el trozo de flan es
kPa 8.0Pa008
m
N
800
m 0.05m 0.05
N 2
2
===
´
=
t
0.1
0.05
0.005
γ ==
kPa 8
0.1
kPa 0.8
γ
τ
G ===
64
Ejemplo 2.37
Un trozo de gelatina mide 6 cm de grosor y 6 cm de altura
se encuentra entre dos placas horizontales, la placa inferior
permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 1.35 N, la placa
superior se mueve 0.6 cm hacia la derecha, lo que hace
que la gelatina se incline. ¿Cuál es el módulo de corte del
trozo de gelatina?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de gelatina son
Grosor = b = 6 cm = 0.06 m
Altura = a = 6 cm = 0.06 m
Fuerza = 1.35 N
Cambio longitudinal = ∆L = 0.6 cm = 0.006 m
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte, la ecuación [2.6] para determinar la deformación de
corte y la ecuación [2.9] se utiliza para determinar el
módulo de corte.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de gelatina es
La deformación de corte en el trozo de gelatina es
El módulo de corte en el trozo de gelatina es
kPa 375.0Pa375
m
N
375
m 0.06m 0.06
N 1.35
2
===
´
=
t
0.1
0.06
0.006
γ ==
kPa 3.75
0.1
kPa 0.375
γ
τ
G ===
65
Ejemplo 2.38
Un trozo de leche asada mide 7 cm de grosor y 7 cm de
altura se encuentra entre dos placas horizontales, la placa
inferior permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 0.49 N,
la placa superior se mueve 0.75 cm hacia la derecha, lo
que hace que la leche asada se incline. ¿Cuál es el módulo
de corte del trozo de leche asada?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de leche asada son
Grosor = b = 7 cm = 0.07 m
Altura = a = 7 cm = 0.07 m
Fuerza = 0.49 N
Cambio longitudinal = ∆L = 0.75 cm = 0.0075 m
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte, la ecuación [2.6] para determinar la deformación de
corte y la ecuación [2.9] se utiliza para determinar el
módulo de corte.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de leche asada es
La deformación de corte en el trozo de leche asada es
El módulo de corte en el trozo de leche asada es
kPa 1.0Pa001
m
N
100
m 0.07m 0.07
N 0.49
2
===
´
=
t
0.107
0.07
0.0075
γ ==
kPa 0.93
0.107
kPa 0.1
γ
τ
G ===
66
Ejemplo 2.39
Un trozo de torta helada mide 10 cm de grosor y 10 cm de
altura se encuentra entre dos placas horizontales, la placa
inferior permanece fija. Al aplicarle una fuerza de 1 N, la
placa superior se mueve 0.25 cm hacia la derecha, lo que
hace que la torta helada se incline. ¿Cuál es el módulo de
corte del trozo de la torta helada?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de torta helada son
Grosor = b = 10 cm = 0.1 m
Altura = a = 10 cm = 0.1 m
Fuerza = 1 N
Cambio longitudinal = ∆L = 0.25 cm = 0.0025 m
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte, la ecuación [2.6] para determinar la deformación de
corte y la ecuación [2.9] se utiliza para determinar el
módulo de corte.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de torta helada es
La deformación de corte en el trozo de torta helada es
El módulo de corte en el trozo de torta helada es
kPa 1.0Pa001
m
N
100
m 0.1m 0.1
N 1
2
===
´
=
t
0.025
0.1
0.0025
γ ==
kPa 4
0.025
kPa 0.1
γ
τ
G ===
67
Ejemplo 2.40
Un trozo de torta helada irlandesa mide 0.09 m de grosor
y 0.09 m de altura se encuentra entre dos placas
horizontales, la placa inferior permanece fija. Al aplicarle
una fuerza de 1.15 N, la placa superior se mueve 0.75 cm
hacia la derecha, lo que hace que la torta helada irlandesa
se incline. ¿Cuál es el módulo de corte del trozo de la
torta helada irlandesa?
Teniendo en cuenta:
Las dimensiones del trozo de torta helada irlandesa son
Grosor = b = 0.09 m
Altura = a = 0.09 m
Fuerza = 1.15 N
Cambio longitudinal = ∆L = 0.75 cm = 0.0075 m
Enfoque:
La ecuación [1.1] es usada para determinar el esfuerzo de
corte, la ecuación [2.6] para determinar la deformación de
corte y la ecuación [2.9] se utiliza para determinar el
módulo de corte.
Solución:
El esfuerzo de corte en el trozo de torta helada irlandesa
es
La deformación de corte en el trozo de torta helada
irlandesa es
El módulo de corte en el trozo de torta helada irlandesa es
kPa 142.0Pa142
m
N
142
m 0.09m 0.09
N 1.15
2
===
´
=
t
0.083
0.09
0.0075
γ ==
kPa 70.1
0.083
kPa 0.142
γ
τ
G ===
68
Bibliografía
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Young’s modulus of Pumpkin tissue- using laser
measurement sensors. Materials Today: Proceedings,
5(5), 11507–11515.
69
3.1. Introducción
La viscosidad es una medida de resistencia al flujo de un
fluido (Schultze-Jena et al., 2019). Aunque las moléculas de
un fluido están en constante movimiento aleatorio, la
velocidad neta en una dirección particular es cero a menos
que se aplique alguna fuerza para hacer fluir el fluido. La
magnitud de la fuerza necesaria para inducir el flujo a una
velocidad determinada está relacionada con la viscosidad
de un fluido (Sarghini y Erdogdu, 2016). El flujo ocurre
cuando las moléculas de fluido se deslizan una tras otra en
una dirección particular en cualquier plano dado. Por lo
tanto, debe haber una diferencia en la velocidad, un
gradiente de velocidad, entre las moléculas adyacentes. En
cualquier plano particular paralelo a la dirección del flujo,
las moléculas que están encima y debajo de ese plano
ejercen una resistencia a la fuerza que impulsa a una
molécula a moverse más rápido que la otra. Esta
resistencia de un material al flujo o a la deformación se
conoce como estrés. El esfuerzo por cizalladura (τ = σ) Es
el término que se le da al esfuerzo inducido cuando las
moléculas se deslizan una sobre otra a lo largo de un plano
definido. El gradiente de velocidad (-dv/dr = ) Es una
medida de la rapidez con que una molécula se desliza a
través de otra, por lo tanto, también se conoce como
velocidad de cizalladura. La posición desde la cual se mide
g
!
3
Viscosidad de los alimentos
70
la distancia para determinar la velocidad de cizalladura es
el punto en la corriente de flujo donde la velocidad es
máxima, por lo tanto, a medida que la distancia r aumenta
desde este punto de referencia, v disminuye y el gradiente
de velocidad es una cantidad negativa. Debido a que el
esfuerzo cortante siempre es positivo, expresar la
velocidad de corte como -dv/dr satisface la igualdad en la
ecuación del esfuerzo cortante como una función de la
velocidad de corte.
Los fluidos que exhiben un aumento lineal en el esfuerzo
cortante con la velocidad de cizalladura (ecuación [3.1]) se
denominan fluidos newtonianos (Benbettaïeb et al., 2020).
La constante de proporcionalidad (µ = η) Se llama
viscosidad.
[3.1]
3.2. Medida de viscosidad o viscosimetría
La viscosidad de un líquido se puede medir usando una
variedad de enfoques y métodos (Bista et al., 2019).
Los instrumentos utilizados para medir las propiedades de
flujo de los fluidos se denominan viscosímetros. La
viscosidad newtoniana se puede medir fácilmente ya que
solo se necesita utilizar una velocidad de cizallamiento y,
por lo tanto, los viscosímetros para este fin son
relativamente simples en comparación con los que se
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
dr
dv
µt
71
utilizan para evaluar fluidos no newtonianos (Mckenna y
Lyng, 2013). Los viscosímetros requieren un mecanismo
para inducir flujo que debe medirse, un mecanismo para
medir la fuerza aplicada y la geometría del sistema en el
que se produce el flujo debe ser simple en el diseño de
modo que la fuerza y el flujo se puedan traducir fácilmente
en un esfuerzo cortante y velocidad de corte.
3.3. Derivación de la ecuación de Poiseuille
El principio de funcionamiento de los viscosímetros
capilares o de tubo se basa en la ecuación de Poiseuille, si
el fluido es newtoniano.
La Figura 3.1 muestra un tubo de longitud L y radio R.
Existe una presión P
1
en la entrada y P
2
existe en el
extremo del tubo. A una distancia r del centro, se aísla un
anillo de grosor dr, y en este punto, la velocidad del fluido
es v, la velocidad del punto. El esfuerzo de cizalladura en
este punto es el flujo/área resistente a la fuerza del fluido
sometido a cizallamiento. La fuerza que resiste el flujo en el
fluido que ocupa el área del anillo es la caída de presión
por el área del anillo, y el área del plano donde se cizalla el
fluido es el área circunferencial del cilindro que se forma
cuando el anillo se proyecta longitudinalmente, L (Toledo
et al., 2018).
72
Figura 3.1. Elemento de control diferencial para el análisis
del flujo de fluido a través de un tubo.
[3.2]
Sustituyendo la ecuación [3.2] en la ecuación [3.1]:
Separando variables e integrando:
La constante de integración se puede determinar
aplicando la condición de frontera: en r = R, v = 0.
[3.3]
P
1
R P
2
r
v
dr
L
P
1
R P
2
r
v
dr
L
( )
( )
( )
L
rPP
Lr
rPP
2
2
21
2
21
-
=
-
=
p
p
t
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
-
dr
dv
L
rPP
2
21
µ
( )
òò
-
-
= rdr
L
PP
dv
µ
2
21
( )
C
r
L
PP
v +
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
22
2
21
µ
( )
µ
L
PP
C
4
R
2
21
-
=
( )
( ) ( )
2222
21
44
rR
L
P
rR
L
PP
v -
D
=-
-
=
µµ
73
La ecuación [3.3] da la velocidad del punto en una
corriente de flujo para cualquier fluido que fluya dentro de
un tubo cilíndrico. La velocidad del punto no es muy fácil
de medir. Sin embargo, una velocidad promedio definida
como la velocidad de flujo volumétrico/área se puede
medir fácilmente. La ecuación [3.3] se expresará en
términos de la velocidad promedio. Considere una tubería
de radio R y un volumen de control que son las paredes de
un cilindro hueco de espesor dr dentro de la tubería, que
se muestra en la Figura 3.2.
Figura 3.2. Tubo que muestra el anillo de espesor dr usado
como elemento de control para el análisis del flujo de
fluido.
El área de la sección transversal del anillo de grosor dr es
dA = π [(r + dr)
2
- r
2
)] = π (r
2
+ 2rdr + (dr)
2
- r
2
) = 2πrdr +
(dr)
2
. Como dr es pequeño (dr)
2
es insignificante por lo
tanto, dA = 2πrdr. La velocidad de flujo volumétrico
(volumen/tiempo) a través del volumen de control es dA
= 2πr dr. El volumen total que pasa por la tubería será la
dr
r
dA
R
L
v
dr
r
dA
R
L
v
v
v
74
integral de la tasa volumétrica de flujo a través del volumen
de control de r = 0 a r = R. Sustituyendo la ecuación [3.3]
por :
Reordenando e integrando:
Sustituyendo límites, combinando términos y sustituyendo
∆P por (P
1
- P
2
):
[3.4]
La ecuación [3.4] es la ecuación de Poiseuille y se puede
usar para determinar la viscosidad de un fluido newtoniano
a partir de los datos de caída de presión cuando se
permite que el fluido fluya a través de un tubo o un capilar.
Bibliografía
Benbettaïeb, N., Mahfoudh, R., Moundanga, S., Brachais,
C.-H., Chambin, O., & Debeaufort, F. (2020). Modeling
of the release kinetics of phenolic acids embedded in
gelatin/chitosan bioactive-packaging films: Influence of
both water activity and viscosity of the food simulant
v
( )
( )
( )
( )
rdrrR
L
PP
Rv
R
ò
-
-
=
0
22
21
2
2
4
p
µ
p
( )
R
rrR
RL
PP
v
0
422
2
21
42
2
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
µ
( )
µµ
L
PR
L
RPP
v
88
2
2
21
D
=
-
=
75
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International Journal of Biological Macromolecules.
doi:10.1016/j.ijbiomac.2020.05.199
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Toledo, R.T., Singh, R.K., Kong, F. (2018). Fundamentals of
Food Process Engineering. Fourth edition Springer.
76
4.1. Introducción
El viscosímetro capilar mide la viscosidad al medir el
tiempo que tarda el material de prueba de fluido en pasar
a través de un tubo de diámetro muy pequeño, un tubo
capilar. Si bien es concebible utilizar cualquier tubo capilar,
existen tubos que se producen comercialmente para este
fin. Estos tubos se llaman viscosímetros capilares.
La medición del tubo capilar se basa en el esquema que se
muestra en la Figura 4.1. Como se muestra, la presión (ΔP)
es suficiente para superar las fuerzas de corte dentro del
líquido y producir un flujo de una velocidad dada. Las
fuerzas de corte operan en todas las superficies líquidas
internas para toda la longitud L del tubo y la distancia r
desde el centro del tubo.
4
Viscosímetros de tubo capilar
77
Figura 4.1.
Equilibrio de fuerza para una sección del tubo
capilar.
Fuente:
Singh y Heldman (2013).
La ecuación [4.1] proporciona la base para el diseño y la
operación de cualquier viscosímetro de tubo capilar.
Para un tubo con longitud L y radio R, la medición de un
caudal volumétrico a una presión ΔP permitirá
determinar la viscosidad μ:
[4.2]
Como la ecuación [4.2] se deriva para un fluido
newtoniano, cualquier combinación de caudal y caída de
presión dará el mismo valor de viscosidad.
El diseño básico consiste en un tubo de vidrio en forma de
U con porciones capilares en un brazo de la “U”. Esta
porción tiene un bulbo central grande y dos líneas de
calibración grabadas. Se abre cerca de la parte superior
para que la succión se pueda aplicar de forma
conveniente. El otro lado tiene una abertura más grande
σ= τ
r
Flujo
R
σ = τ
L
∆P
σ= τ
r
Flujo
R
σ = τ
L
∆P
QV
!
!
=
Q8L
ΔPR π
μ
4
!
=
78
en la parte superior en la que se vierte el material de
prueba cuando se prepara para una medición. Una
representación simplificada se da en la Figura 4.2.
Figura 2.4. Representación simplificada de un viscosímetro
capilar.
Para medir el tiempo de flujo, el fluido de prueba se vierte
en el lado apropiado (Figura 4.3a) para que ocupe la parte
inferior de la “U” y para que el menisco en el lado capilar
esté debajo de la marca de calibración inferior (Figura
4.3b). Luego, la succión se aplica al lado del capilar para
que el líquido se dirija hacia arriba por encima de la marca
de calibración superior (Figura 4.3c). Cuando se libera el
fluido, fluye por gravedad a través del capilar (Figura 4.3d),
de modo que los niveles en los dos lados volverán a estar a
la misma altura (Figura 4.3b). El tiempo que le toma al
Marcas de
calibración
Tubo capilar
Marcas de
calibración
Tubo capilar
79
menisco en el lado capilar pasar las dos marcas de
calibración es el tiempo que se mide (con un cronómetro).
Figura 4.3. Concepto de medición de la viscosidad capilar.
Los viscosímetros capilares que tienen este diseño se
llaman viscosímetros Ostwald. En la Figura 4.4 se muestra
un viscosímetro Ostwald. El viscosímetro Ostwald fue
diseñado en 1885 por el científico alemán ganador del
Nobel de química en 1909 Friedrich Wilhelm Ostwald
(Bhattacharyya, 2012) (Figura 4.5).
Figura 4.4. Viscosímetro Ostwald.
Fuente: Adaptado de Monotaro (2019) y Poggio
et al
.
(2015).
Flujo
gravitacional
Inicio del
cronómetro
Detener
el cronómetro
(a) (b) (c) (d)
Flujo
gravitacional
Inicio del
cronómetro
Detener
el cronómetro
(a) (b) (c) (d)
80
Figura 4.5.
Friedrich Wilhelm Ostwald.
Fuente:
Oppenheim (2003).
A mediados de la década de 1930, dos profesores de
Ingeniería Química de la Universidad Penn State, el Dr.
Michael Cannon y el Dr. Merrell R. Fenske (Figura 4.6),
trabajaron en un proyecto de investigación del gobierno
de los Estados Unidos que caracteriza las propiedades
físicas de los productos derivados del petróleo.
81
Figura 4.6. Dr. Merrell R. Fenske.
Fuente:
National Academy of Engineering (2019).
El Dr. Michael Cannon y el Dr. Merrell R. Fenske utilizaron
un viscosímetro de vidrio manual Ostwald, común en ese
momento, para realizar mediciones de viscosidad
cinemática para su proyecto. Pronto, sin embargo,
descubrieron errores de medición asociados con el
viscosímetro. Descubrieron que incluso la menor
inclinación del viscosímetro en el baño de temperatura
constante afectaba la precisión de la medición de la
viscosidad. El problema se debió a que el depósito de flujo
de salida (bulbo más grande del viscosímetro) no estaba en
el mismo plano vertical que el bulbo de sincronización
(bulbo más pequeño del viscosímetro). Los profesores
teorizaron que el problema podría resolverse doblando el
viscosímetro a una geometría diferente, por lo que el Dr.
Cannon le pidió a la tienda de vidrio de Penn State (que
fabricaba cristalería científica para el departamento de
química de la universidad) que doblara varios viscosímetros
Ostwald en una geometría que él creía que podría eliminar
82
los problemas de alineación vertical. Después de una
prueba y error, el Dr. Cannon probó un viscosímetro
prototipo en su laboratorio de Penn State que proporcionó
los resultados deseados. Esta nueva geometría del
viscosímetro se conoció más tarde como el viscosímetro de
rutina Cannon-Fenske. Aunque los profesores no se dieron
cuenta en ese momento, el viscosímetro de rutina Cannon-
Fenske revolucionaría la medición de la viscosidad
cinemática y finalmente conduciría al desarrollo no solo de
una empresa, sino de toda una industria. Se ha convertido
en el viscosímetro de vidrio manual más utilizado en el
mundo. La Cannon Instrument Company (Figura 4.7) se ha
ganado el reconocimiento internacional por la calidad de
sus productos y servicios relacionados con la viscosidad
desde su fundación en 1938 por el científico, inventor y
educador Dr. Michael R. Cannon. Este mismo año el Dr.
Michael Cannon y el Dr. Merrell Fenske publicaron un
artículo científico sobre la medida de la viscosidad (Cannon
y Fenske, 1938).
Figura 4.7. La Cannon Instrument Company.
Fuente:
Cannon Instrument Company (2019)
83
El Dr. Cannon, que ya es miembro activo de ASTM D02,
llevó su nuevo viscosímetro a una reunión del comité y lo
presentó. Muchos colegas expresaron interés en su trabajo
y en el viscosímetro Cannon-Fenske. Siempre
emprendedor, el Dr. Cannon recolectó los nombres de
aquellos interesados en probar el nuevo viscosímetro y
regresó a la universidad. Hizo que la tienda de vidrio
fabricara más viscosímetros, pero a medida que crecía el
interés en su diseño, surgió un problema. La fabricación de
los viscosímetros del Dr. Cannon afectó la capacidad de la
tienda para fabricar otros aparatos científicos. El Decano
de la universidad finalmente le dijo al Dr. Cannon que
buscara otra forma de fabricar sus viscosímetros. Según
cuenta la historia, el Dr. Cannon fue a su casa y le informó
a su esposa que el garaje ya no era para estacionar su
automóvil. Subcontrató la producción de los viscosímetros
de vidrio, pero realizó la calibración, limpieza y empaque
en su propio garaje. Esto marcó el nacimiento de la
Scientific Development Company para trabajar en
proyectos especiales. A medida que pasó el tiempo y su
negocio continuó creciendo, el Dr. Cannon contrató a uno
de sus estudiantes de posgrado, el Dr. Robert E. Manning
(Figura 4.8), para ayudarlo con la calibración, el embalaje y
el envío de los viscosímetros de vidrio. Finalmente, el Dr.
Cannon también decidió expandir su línea de productos
agregando baños de temperatura constante.
84
Figura 4.8.
Dr. Robert E. Manning.
Fuente:
Cannon Instrument Company (2017).
En un viscosímetro capilar tipo Cannon-Fenske, que se
muestra en la Figura 4.9, permitimos que la fuerza
gravitacional proporcione la presión para que el líquido
fluya a través del tubo capilar de vidrio.
85
Figura 4.9. Un viscosímetro Cannon-Fenske.
Fuente:
Singh y Heldman (2013).
Podemos usar una variación simple de la formulación
matemática desarrollada para el viscosímetro de tubo
capilar. Al reconocer que la caída de presión necesaria
para inducir el flujo es
[4.3]
o
[4.4]
CapilarCapilar
A
gVρ
ΔP
××
=
hgP
r
=D
86
donde ρ es la densidad del fluido y h es la altura
disponible para la caída libre en el viscosímetro (Figura
4.10). El tamaño del capilar se elige para minimizar el
tiempo de flujo de salida para los líquidos viscosos.
y el caudal volumétrico a través del tubo capilar es
[4.5]
entonces, la ecuación [2.5] se convierte en
[4.6]
La ecuación [4.5] ilustra que la viscosidad de un líquido
medida por un tubo capilar de vidrio será función del
volumen del líquido en el bulbo, la densidad del fluido, la
aceleración debida a la gravedad (g = 9.81 m/s
2
) y la
longitud del tubo L. Podemos determinar la viscosidad
midiendo el período de tiempo para que el líquido drene
del bulbo.
La viscosidad luego se calcula utilizando la expresión
anterior para ∆P en la ecuación [4.1] de la siguiente
manera:
[4.7]
t
V
descarga de Tiempo
bulbo deVolumen
Q ==
!
8V
tR g ρ π
μ
4
=
vL
ghR
8
2
=
r
µ
87
La relación μ/ρ es la viscosidad cinemática.
La unidad más común de viscosidad o viscosidad dinámica
es el centipoise, una unidad basada en la fuerza por
velocidad. La “unidad base”, el poise (100 centipoise por
poise) rara vez se usa.
Figura 4.10. Diagrama de un viscosímetro capilar de vidrio
que muestra los componentes y parámetros utilizados en
el ajuste de los datos del viscosímetro a la ecuación de
Poiseuille.
La unidad más común de viscosidad cinemática es el
centistokes, cS, centipoise por unidad de densidad. De
nuevo, la unidad base, los stokes, S, (100 cS/S), rara vez se
usa.
h
L
h
L
88
La viscosidad se obtiene desde el momento del flujo de
salida del fluido a través del viscosímetro. Para operar el
viscosímetro, el fluido es pipeteado en el tubo grande del
viscosímetro hasta que la bombilla más baja esté medio
llena. El fluido se introduce en el tubo pequeño a
aproximadamente la mitad del bulbo superior.
Cuando se libera la succión del tubo pequeño, fluye fluido
y se inicia el cronometraje cuando el menisco fluido pasa a
través de la primera marca. Cuando el menisco fluido pasa
la segunda marca, el tiempo se detiene y se registra el
tiempo de salida. La porción inferior del tubo pequeño del
viscosímetro es un capilar de radio R y longitud L. Si te es
el tiempo de flujo de salida, la velocidad promedio será
L/t
e
. Sustituyendo en la ecuación [4.7]:
[4.8]
Para cada viscosímetro, la longitud y el diámetro del
capilar, y la altura disponible para la caída libre, son
específicos, por lo tanto, estos factores se pueden agrupar
en una constante, k
v
, para un viscosímetro particular. La
viscosidad cinemática se puede expresar como:
[4.9]
v
e
t
L
ghR
8
2
=
r
µ
ev
tk=
r
µ
89
La constante del viscosímetro se determina a partir del
tiempo de flujo de salida de un fluido de viscosidad y
densidad conocidas.
4.2. Viscosímetro Cannon-Fenske y viscosímetro Ubbelohde
Los más utilizados son el viscosímetro Cannon-Fenske y el
viscosímetro Ubbelohde, y estos son los dos que se
describirán aquí.
El viscosímetro Cannon-Fenske que se muestra en la Figura
4.11. El tubo en U tiene una curva en el centro. Hay varios
“bulbos” en “U”, lo que permite que se pruebe un mayor
volumen de líquido y esto también significa una medición
de tiempo larga y precisa. Las marcas de sincronización son
claramente visibles en la Figura 4.11.
Figura 4.11. (a) Viscosímetro capilar Cannon-Fenske. (b)
Vista de primer plano, que muestra las marcas de
90
sincronización. Tenga en cuenta el estrechamiento del
diámetro cerca de la marca de sincronización inferior.
Fuente: Kenkel (2013).
Para Leo Ubbeholde (Figura 4.12), la viscosidad fue una
fascinación de por vida. Mientras Ubbelohde
inspeccionaba la viscosimetría en general, las limitaciones
del dispositivo de Ostwald eran demasiado evidentes: a
medida que el nivel del líquido disminuía, disminuía su
velocidad en el capilar (lo que requería una corrección de
energía cinética) y la diferencia en la curvatura del menisco
en la parte superior e inferior. Del capilar introdujo un error
sistemático pero indeterminado. Esto significaba usar
volúmenes muy precisos; las mediciones en función de la
temperatura fueron excepcionalmente tediosas debido a la
expansión térmica.
Ubbelohde identificó la forma del líquido en la base del
capilar como un parámetro crítico que afecta la velocidad
del líquido que emerge del capilar. Al colocar un bulbo
con una sección transversal hemisférica precisa debajo del
capilar, el líquido fluyó como una película a lo largo de las
paredes, cancelando efectivamente las fuerzas capilares.
Un segundo bulbo más grande sobre el capilar actuó como
el depósito.
91
Figura 4.12. Leo Ubbeholde.
Fuente:
Sella (2017).
Su nuevo viscosímetro era fácil de usar. Se vertió un líquido
en el bulbo del depósito inferior y se introdujo en el bulbo
por encima del capilar por succión. Luego se registró el
tiempo que tarda el líquido en viajar entre las marcas M y
M
1
(Figura 4.13). Al ajustar las dimensiones del aparato con
extrema precisión, recomendó explícitamente la
fabricación comercial (Ubbelohde, 1937; Ubbelohde,
1936), la viscosidad absoluta podría calcularse
simplemente multiplicando o dividiendo el tiempo por una
potencia de 10. Un conjunto de “Ubbelohdes” de
92
diferentes tamaños podría medir viscosidades en seis
órdenes de magnitud en minutos.
Figura 4.13.
Esquema de un viscosímetro Ubbeholde , que
muestra las marcas de sincronización M y M
1
.
Fuente:
Sella (2017).
El viscosímetro Ubbelohde se muestra en la Figura 4.14. En
este diseño, la “U” es completamente vertical y, como el
viscosímetro Cannon-Fenske, también tiene varias
bombillas para contener el fluido. Las marcas de
sincronización también son claramente visibles en la Figura
4.14.
93
Figura 4.14. (a) Viscosímetro capilar Ubbelohde. (b) Vista
de primer plano, que muestra las marcas de sincronización.
Fuente: Kenkel (2013).
4.3. Problemas de viscosímetros capilares
Ejemplo 4.1
Se está utilizando un viscosímetro de tubo capilar para
medir la viscosidad de la miel a 30°C. El radio del tubo es
de 2.5 cm y la longitud es de 25 cm. Se han recopilado los
siguientes datos:
∆P (Pa)
(cm
3
/s)
10.0
1.25
12.5
1.55
15.0
1.80
17.5
2.05
20.0
2.55
Determinar la viscosidad de la miel a partir de los datos
Q
!
94
recogidos.
Dado
Datos necesarios para calcular los valores de viscosidad de
la ecuación [4.2], por ejemplo,
ΔP =10 Pa
R = 2.5 cm = 0.025 m
L =25 cm = 0.25 m
= 1.25 cm
3
/s = 1.25 x 10
-6
m
3
/s
Enfoque
La viscosidad para cada combinación de diferencia de
presión (ΔP) y velocidad de flujo ( ) se puede calcular a
partir de la ecuación [4.2].
Solución
1. Usando la ecuación [4.2], se puede calcular un valor de
viscosidad para cada combinación de ΔP- ; por ejemplo,
2. Al repetir el mismo cálculo en cada combinación de ΔP-
, se obtiene la siguiente información:
∆P (Pa)
(m
3
/s)
μ (Pa s)
10.0
1.25 x 10
-6
4.909
12.5
1.55 x 10
-6
4.948
15.0
1.80 x 10
-6
5.113
17.5
2.05 x 10
-6
5.238
20.0
2.55 x 10
-6
4.812
3. Aunque existe cierta variabilidad con la presión (ΔP), no
Q
!
Q
!
Q
!
( )
( )
sPa 4.909
/sm101.25m 0.258
m 0.025Pa 10π
Q8L
ΔPR π
μ
36
4
4
×=
´××
××
==
-
!
Q
!
Q
!
95
hay indicios de una tendencia constante, y la mejor
estimación de la viscosidad sería la media aritmética.
Ejemplo 4.2
Se está utilizando un viscosímetro de tubo capilar para
medir la viscosidad de un jugo despectinizado de
manzana de 75°Brix a 50°C. El radio del tubo es de 3.1 cm
y la longitud es de 20 cm. Los siguientes datos han sido
recogidos.
∆P (Pa)
(cm
3
/s)
10
125
12
165
15
180
17.5
200
20
230
Determinar la viscosidad del jugo despectinizado de
manzana de 75°Brix a partir de los datos recogidos.
Dado
Datos necesarios para calcular los valores de viscosidad de
la ecuación [4.2], por ejemplo,
ΔP =10 Pa
R = 3.1 cm = 0.031 m
L =20 cm = 0,20 m
= 125 cm
3
/s = 1.25 x 10
-4
m
3
/s
Enfoque
La viscosidad para cada combinación de diferencia de
sPa 5.004μ ×=
Q
!
Q
!
96
presión (ΔP) y velocidad de flujo ( ) se puede calcular a
partir de la ecuación [4.2].
Solución
1. Usando la ecuación [4.2], se puede calcular un valor de
viscosidad para cada combinación de ΔP- ; por ejemplo,
2. Al repetir el mismo cálculo en cada combinación de ΔP-
, se obtiene la siguiente información:
∆P (Pa)
(m
3
/s)
μ (Pa s)
10
1.25 x 10
-4
0.145
12
1.65 x 10
-4
0.132
15
1.80 x 10
-4
0.151
17.5
2.00 x 10
-4
0.159
20
2.30 x 10
-4
0.158
3. Aunque existe cierta variabilidad con la presión (ΔP), no
hay indicios de una tendencia constante, y la mejor
estimación de la viscosidad sería la media aritmética.
Ejemplo 4.3
Se está utilizando un viscosímetro de tubo capilar para
medir la viscosidad de un jugo de naranja filtrado de
18°Brix a 50°C. El radio del tubo es de 3.1 cm y la longitud
es de 20 cm. Los siguientes datos han sido recogidos.
Q
!
Q
!
( )
( )
sPa 145.0
/sm101.25m 0.208
m 0.031Pa 10π
Q8L
ΔPR π
μ
34
4
4
×=
´××
××
==
-
!
Q
!
Q
!
P 1.5
s1Pa
10P
sPa 0.149μ =
×
´×=
97
∆P (Pa)
(cm
3
/s)
10.3
10000
12.5
14000
16
20000
17
23000
20
25000
Determinar la viscosidad del jugo de naranja filtrado de
18°Brix a partir de los datos recogidos.
Dado
Datos necesarios para calcular los valores de viscosidad de
la ecuación [4.2], por ejemplo,
ΔP =10.3 Pa
R = 3.1 cm = 0.031 m
L =20 cm = 0.20 m
= 10000 cm
3
/s = 1.00 x 10
-2
m
3
/s
Enfoque
La viscosidad para cada combinación de diferencia de
presión (ΔP) y velocidad de flujo ( ) se puede calcular a
partir de la ecuación [4.2].
Solución
1. Usando la ecuación [4.2], se puede calcular un valor de
viscosidad para cada combinación de ΔP- ; por ejemplo,
2. Al repetir el mismo cálculo en cada combinación de ΔP-
, se obtiene la siguiente información:
∆P (Pa)
(m
3
/s)
μ (Pa s)
Q
!
Q
!
Q
!
Q
!
( )
( )
sPa 0019.0
/sm101.00m 0.208
m 0.031Pa 10.3π
Q8L
ΔPR π
μ
32
4
4
×=
´××
××
==
-
!
Q
!
Q
!
98
10.3
10000
0.0019
12.5
14000
0.0016
16
20000
0.0015
17
23000
0.0013
20
25000
0.0015
3. Aunque existe cierta variabilidad con la presión (ΔP), no
hay indicios de una tendencia constante, y la mejor
estimación de la viscosidad sería la media aritmética.
Ejemplo 4.4
Se está utilizando un viscosímetro de tubo capilar para
medir la viscosidad de huevo crudo entero con 75% de
humedad a 50°C. El radio del tubo es de 2.5 cm y la
longitud es de 15.5 cm. Los siguientes datos han sido
recogidos.
∆P (Pa)
(cm
3
/s)
12.5
4830
18.5
4900
20.8
5140
22.6
5350
24.5
5680
Determinar la viscosidad de huevo crudo entero con 75%
de humedad a partir de los datos recogidos.
Dado
Datos necesarios para calcular los valores de viscosidad de
la ecuación [4.2], por ejemplo,
cP 1.5
s1Pa
cP10
sPa 0.0015μ
3
=
×
´×=
Q
!
99
ΔP =12.5 Pa
R = 2.5 cm = 0.025 m
L = 15.5 cm = 0.155 m
= 4830 cm
3
/s = 4.83 x 10
-3
m
3
/s
Enfoque
La viscosidad para cada combinación de diferencia de
presión (ΔP) y velocidad de flujo ( ) se puede calcular a
partir de la ecuación [4.2].
Solución
1. Usando la ecuación [4.2], se puede calcular un valor de
viscosidad para cada combinación de ΔP- ; por ejemplo,
2. Al repetir el mismo cálculo en cada combinación de ΔP-
, se obtiene la siguiente información:
∆P (Pa)
(m
3
/s)
μ (Pa s)
12.5
4.83 x 10
-3
0.0026
18.5
4.90 x 10
-3
0.0037
20.8
5.14 x 10
-3
0.0040
22.6
5.35 x 10
-3
0.0042
24.5
5.68 x 10
-3
0.0043
3. Aunque existe cierta variabilidad con la presión (ΔP), no
hay indicios de una tendencia constante, y la mejor
estimación de la viscosidad sería la media aritmética.
Q
!
Q
!
Q
!
( )
( )
sPa 0026.0
/sm1083.4m 0.1558
m 0.025Pa 12.5π
Q8L
ΔPR π
μ
33
4
4
×=
´××
××
==
-
!
Q
!
Q
!
cP 8.3
s1Pa
cP10
sPa 0.0038μ
3
=
×
´×=
100
Ejemplo 4.5
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 2 cm de diámetro.
La caída de presión es de 330 Pa, la viscosidad del fluido
es de 5 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 300 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 2 cm
Longitud del tubo = 300 cm
Caída de presión = 330 Pa
Viscosidad = 5 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.25; 0.5; 0.75 y 1 cm.
r = 0 cm v = 0.055 cm/s
r = 0.25 cm v = 0.0516 cm/s
r = 0.5 cm v = 0.0413 cm/s
r = 0.75 cm v = 0.0241 cm/s
r = 1 cm v = 0 cm/s
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
101
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.1.
Figura E4.1. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0275 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.6
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 3 cm de diámetro.
La caída de presión es de 350 Pa, la viscosidad del fluido
es de 4 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 250 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 3 cm
Longitud del tubo = 250 cm
Caída de presión = 350 Pa
Viscosidad = 4 Pa s
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0.0400
0.0500
0.0600
0 0.5 1 1.5
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0275
2
cm/s 0.055
2
v
v
máx
===
102
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.375; 0.75; 1.125 y 1.5 cm.
r = 0 cm v = 0.1969 cm/s
r = 0.375 cm v = 0.1846 cm/s
r = 0.75 cm v = 0.1477 cm/s
r = 1.125 cm v = 0.0861 cm/s
r = 1.5 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.2.
Figura E4.2. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0984 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
103
Ejemplo 4.7
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 4 cm de diámetro.
La caída de presión es de 380 Pa, la viscosidad del fluido
es de 7 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 600 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 4 cm
Longitud del tubo = 600 cm
Caída de presión = 380 Pa
Viscosidad = 7 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.5; 1; 1.5 y 2 cm.
r = 0 cm v = 0.0905 cm/s
r = 0.5 cm v = 0.0848 cm/s
r = 1 cm v = 0.0679 cm/s
cm/s 0.0984
2
cm/s 0.1969
2
v
v
máx
===
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
104
r = 1.5 cm v = 0.0396 cm/s
r = 2 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.3.
Figura E4.3. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0452 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.8
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 5 cm de diámetro.
La caída de presión es de 450 Pa, la viscosidad del fluido
es de 10 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 700 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 5 cm
Longitud del tubo = 700 cm
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0 1 2 3
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0452
2
cm/s 0.0905
2
v
v
máx
===
105
Caída de presión = 450 Pa
Viscosidad = 10 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.625; 1.25; 1.875 y 2.5 cm.
r = 0 cm v = 0.1004 cm/s
r = 0.625 cm v = 0.0942 cm/s
r = 1.25 cm v = 0.0753 cm/s
r = 1.875 cm v = 0.0439 cm/s
r = 2.5 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.4.
Figura E4.4. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0502 cm/s; este
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0 1 2 3
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
106
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.9
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 2.5 cm de
diámetro. La caída de presión es de 345 Pa, la viscosidad
del fluido es de 6 Pa s, y la tubería tiene una longitud de
390 cm. Calcule la velocidad media y la velocidad del
fluido en diferentes ubicaciones radiales en la tubería y
construya su perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 2.5 cm
Longitud del tubo = 390 cm
Caída de presión = 345 Pa
Viscosidad = 6 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.3125; 0.625; 0.9375 y
1.25 cm.
cm/s 0.0502
2
cm/s 0.1004
2
v
v
máx
===
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
107
r = 0 cm v = 0.0576 cm/s
r = 0.3125 cm v = 0.054 cm/s
r = 0.625 cm v = 0.0432 cm/s
r = 0.9375 cm v = 0.0252 cm/s
r = 1.25 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.5.
Figura E4.5. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0288 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.10
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 6 cm de diámetro.
La caída de presión es de 240 Pa, la viscosidad del fluido
es de 12 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 500 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0.0400
0.0500
0.0600
0.0700
0 0.5 1 1.5
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0288
2
cm/s 0.0576
2
v
v
máx
===
108
Dado
Diámetro de la tubería = 6 cm
Longitud del tubo = 500 cm
Caída de presión = 240 Pa
Viscosidad = 12 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.75; 1.5; 2.25 y 3 cm.
r = 0 cm v = 0.09 cm/s
r = 0.75 cm v = 0.0844 cm/s
r = 1.5 cm v = 0.0675 cm/s
r = 2.25 cm v = 0.0394 cm/s
r = 3 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.6.
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0 1 2 3 4
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
109
Figura E4.6. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.045 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.11
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 8 cm de diámetro.
La caída de presión es de 250 Pa, la viscosidad del fluido
es de 14 Pa s, y la tubería tiene una longitud de 450 cm.
Calcule la velocidad media y la velocidad del fluido en
diferentes ubicaciones radiales en la tubería y construya su
perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 8 cm
Longitud del tubo = 450 cm
Caída de presión = 250 Pa
Viscosidad = 14 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
cm/s 0.045
2
cm/s 0.09
2
v
v
máx
===
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
110
La velocidad se calcula a r = 0, 1, 2, 3 y 4 cm.
r = 0 cm v = 0.1587 cm/s
r = 1 cm v = 0.1488 cm/s
r = 2 cm v = 0.1190 cm/s
r = 3 cm v = 0.0694 cm/s
r = 4 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.7.
Figura E4.7. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0794 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.12
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 6.5 cm de
diámetro. La caída de presión es de 240 Pa, la viscosidad
del fluido es de 7.5 Pa s, y la tubería tiene una longitud de
400 cm. Calcule la velocidad media y la velocidad del
fluido en diferentes ubicaciones radiales en la tubería y
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0.1800
0 2 4 6
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0794
2
cm/s 0.1587
2
v
v
máx
===
111
construya su perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 6.5 cm
Longitud del tubo = 400 cm
Caída de presión = 240 Pa
Viscosidad = 7.5 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.8125; 1.625; 2.4375 y
3.25 cm.
r = 0 cm v = 0.2113 cm/s
r = 0.8125 cm v = 0.198 cm/s
r = 1.625 cm v = 0.1584 cm/s
r = 2.4375 cm v = 0.0924 cm/s
r = 3.25 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.8.
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
112
Figura E4.8. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.1056 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.13
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 3.5 cm de
diámetro. La caída de presión es de 350 Pa, la viscosidad
del fluido es de 6 Pa s, y la tubería tiene una longitud de
250 cm. Calcule la velocidad media y la velocidad del
fluido en diferentes ubicaciones radiales en la tubería y
construya su perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 3.5 cm
Longitud del tubo = 250 cm
Caída de presión = 350 Pa
Viscosidad = 6 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0 1 2 3 4
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.1056
2
cm/s 0.2113
2
v
v
máx
===
113
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.4375; 0.875; 1.3125 y
1.75 cm.
r = 0 cm v = 0.1786 cm/s
r = 0.4375 cm v = 0.1675 cm/s
r = 0.875 cm v = 0.134 cm/s
r = 1.3125 cm v = 0.0782 cm/s
r = 1.75 cm v = 0 cm/s
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.9.
Figura E4.9. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0893 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0 0.5 1 1.5 2
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0893
2
cm/s 0.1786
2
v
v
máx
===
114
Ejemplo 4.14
Un fluido fluye en un tubo cilíndrico de 3.6 cm de
diámetro. La caída de presión es de 450 Pa, la viscosidad
del fluido es de 7.8 Pa s, y la tubería tiene una longitud de
350 cm. Calcule la velocidad media y la velocidad del
fluido en diferentes ubicaciones radiales en la tubería y
construya su perfil de velocidad.
Dado
Diámetro de la tubería = 3.6 cm
Longitud del tubo = 350 cm
Caída de presión = 450 Pa
Viscosidad = 7.8 Pa s
Enfoque
Usaremos la ecuación [3.3] para calcular la velocidad en
diferentes ubicaciones radiales.
Solución
1. De la ecuación [3.3]
La velocidad se calcula a r = 0; 0.45; 0.9; 1.35 y 1.8 cm.
r = 0 cm v = 0.1335 cm/s
r = 0.45 cm v = 0.1252 cm/s
r = 0.9 cm v = 0.1001 cm/s
r = 1.35 cm v = 0.0584 cm/s
r = 1.8 cm v = 0 cm/s
( )
22
4
rR
L
P
v -
D
=
µ
115
2. El perfil de velocidad se muestra en la Figura E4.10.
Figura E4.10. Perfil de velocidad del fluido.
3. La velocidad media se calcula como 0.0668 cm/s; este
valor es la mitad de la velocidad máxima.
Ejemplo 4.15
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 15.61 cS a 25°C. La prueba de
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
139 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
238 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
desconocido?
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
líquido desconocido,
ν = 15.61 cS
0.0000
0.0200
0.0400
0.0600
0.0800
0.1000
0.1200
0.1400
0.1600
0 0.5 1 1.5 2
Velocidad (cm/s)
Radio (cm)
cm/s 0.0668
2
cm/s 0.1335
2
v
v
máx
===
116
t =139 s
t
e
= 238 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.16
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 13.62 cS a 25°C. La prueba de
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
128 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
235 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
desconocido?
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
cS/s 0.112
s 139
cS 15.61
k
v
==
cS 26.7s 238cS/s 0.112tk
ev
=´==
u
117
líquido desconocido,
ν = 13.62 cS
t = 128 s
t
e
= 235 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.17
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 14.52 cS a 25°C. La prueba de
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
143 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
256 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
desconocido?
cS/s 0.106
s 128
cS 13.62
k
v
==
cS 25s 235cS/s 0.106tk
ev
=´==
u
118
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
líquido desconocido,
ν = 14.52 cS
t = 143 s
t
e
= 256 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.18
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 10.52 cS a 25°C. La prueba de
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
156 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
346 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
cS/s 0.102
s 143
cS 14.52
k
v
==
cS 26s 256cS/s 0.102tk
ev
=´==
u
119
desconocido?
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
líquido desconocido,
ν = 10.52 cS
t = 156 s
t
e
= 346 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.19
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 12.51 cS a 25°C. La prueba de
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
168 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
cS/s 0.067
s 156
cS 10.52
k
v
==
cS 23.3s 643cS/s 0.067tk
ev
=´==
u
120
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
259 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
desconocido?
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
líquido desconocido,
ν = 12.51 cS
t = 168 s
t
e
= 259 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.20
Se sabe que un líquido de calibración dado tiene una
viscosidad cinemática de 13.71 cS a 25°C. La prueba de
cS/s 0.074
s 168
cS 12.51
k
v
==
cS 3.91s 259cS/s 0.074tk
ev
=´==
u
121
este líquido en un viscosímetro capilar dio un tiempo de
221 s. Luego se probó un líquido desconocido con el
mismo viscosímetro y se encontró que daba un tiempo de
234 s. ¿Cuál es la viscosidad cinemática del líquido
desconocido?
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad cinemática del
líquido desconocido,
ν = 13.71 cS
t = 221 s
t
e
= 234 s
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución
Para un viscosímetro particular, la constante, k
v
, del capilar
se puede calcular
Entonces se puede calcular la viscosidad del líquido
desconocido usando la ecuación [4.9]
Ejemplo 4.21
cS/s 0.062
s 221
cS 13.71
k
v
==
cS 5.41s 234cS/s 0.062tk
ev
=´==
u
122
Un viscosímetro capilar de vidrio cuando se usa en un
fluido con una viscosidad de 10 cP permitió que el fluido
fluyera en 1.5 minutos. Este mismo viscosímetro utilizado
en otro fluido permitió un tiempo de flujo de salida de 2.5
minutos. Si las densidades de los dos fluidos son las
mismas, calcule la viscosidad del segundo fluido.
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad o viscosidad
dinámica del segundo fluido,
μ = 10 cP
t
e
= 1.5 min
t
e2
= 2.5 min
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución:
Usando la ecuación [4.9] para resolver la constante del
viscosímetro:
Para el segundo fluido:
min 1.5ρ
10cP
tρ
μ
k
e
v
´
==
[ ]
16.67cPmin 2.5
min 1.5ρ
cP 10
ρμ =
ú
û
ù
ê
ë
é
´
=
123
Ejemplo 4.22
Un viscosímetro capilar de vidrio cuando se usa en un
fluido con una viscosidad de 11 cP permitió que el fluido
fluyera en 2.5 minutos. Este mismo viscosímetro utilizado
en otro fluido permitió un tiempo de flujo de salida de 3.5
minutos. Si las densidades de los dos fluidos son las
mismas, calcule la viscosidad del segundo fluido.
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad o viscosidad
dinámica del segundo fluido,
μ = 11 cP
t
e
= 2.5 min
t
e2
= 3.5 min
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución:
Usando la ecuación [4.9] para resolver la constante del
viscosímetro:
Para el segundo fluido:
min 2.5ρ
cP 11
tρ
μ
k
e
v
´
==
[ ]
cP 15.40min 3.5
min 2.5ρ
cP 11
ρμ =
ú
û
ù
ê
ë
é
´
=
124
Ejemplo 4.23
Un viscosímetro capilar de vidrio cuando se usa en un
fluido con una viscosidad de 15 cP permitió que el fluido
fluyera en 4.5 minutos. Este mismo viscosímetro utilizado
en otro fluido permitió un tiempo de flujo de salida de 6.5
minutos. Si las densidades de los dos fluidos son las
mismas, calcule la viscosidad del segundo fluido.
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad o viscosidad
dinámica del segundo fluido,
μ = 15 cP
t
e
= 4.5 min
t
e2
= 6.5 min
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución:
Usando la ecuación [4.9] para resolver la constante del
viscosímetro:
Para el segundo fluido:
min 4.5ρ
cP 15
tρ
μ
k
e
v
´
==
125
Ejemplo 4.24
Un viscosímetro capilar de vidrio cuando se usa en un
fluido con una viscosidad de 18 cP permitió que el fluido
fluyera en 2.5 minutos. Este mismo viscosímetro utilizado
en otro fluido permitió un tiempo de flujo de salida de 5.5
minutos. Si las densidades de los dos fluidos son las
mismas, calcule la viscosidad del segundo fluido.
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad o viscosidad
dinámica del segundo fluido,
μ = 18 cP
t
e
= 2.5 min
t
e2
= 5.5 min
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución:
Usando la ecuación [4.9] para resolver la constante del
viscosímetro:
Para el segundo fluido:
[ ]
cP .6712min 6.5
min 4.5ρ
cP 15
ρμ =
ú
û
ù
ê
ë
é
´
=
min 2.5ρ
cP 18
tρ
μ
k
e
v
´
==
126
Ejemplo 4.25
Un viscosímetro capilar de vidrio cuando se usa en un
fluido con una viscosidad de 8 cP permitió que el fluido
fluyera en 2.5 minutos. Este mismo viscosímetro utilizado
en otro fluido permitió un tiempo de flujo de salida de 4.5
minutos. Si las densidades de los dos fluidos son las
mismas, calcule la viscosidad del segundo fluido.
Dado
Datos necesarios para calcular la viscosidad o viscosidad
dinámica del segundo fluido,
μ = 8 cP
t
e
= 2.5 min
t
e2
= 4.5 min
Enfoque
Primero, la constante de calibración del viscosímetro se
determina a partir de los datos de calibración y luego la
viscosidad del líquido desconocido con la ecuación [4.9]
Solución:
Usando la ecuación [4.9] para resolver la constante del
viscosímetro:
Para el segundo fluido:
[ ]
cP 6.39min 5.5
min 2.5ρ
cP 18
ρμ =
ú
û
ù
ê
ë
é
´
=
min 2.5ρ
cP 8
tρ
μ
k
e
v
´
==
127
Bibliografía
Bhattacharyya, P. (2012). Wilhelm Ostwald–The scientist.
Resonance 17(5).
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William Rolando Miranda–Zamora
Universidad Nacional de Frontera
https://orcid.org/0000-0002-0829-2
568
wmiranda@unf.edu.pe
Investigador CONCYTEC. Profesor
Asociado de la UNF, Sullana, Piura,
Perú. Exprofesor de la Universidad
Nacional de Piura. Doctor en
Ingeniería Industrial (UNP), Maestro
en Agricultura Sostenible (UNP),
Ingeniero Agroindustrial e Industrias
Alimentarias (UNP) y Estudios de
Maestría en Tecnología de Alimentos
(UNALM). Con gran trayectoria en
investigación en el área de la
ingeniería de los alimentos con
énfasis en el tratamiento térmico
Diana Lastenia Espinoza
Valdiviezo
Universidad Nacional de
Frontera
https://orcid.org/0000-0003-486
6-0035
dianaespinozaveld@gmail.com
Bachiller en Ingeniería de
Industrias Alimentarias de la
Universidad Nacional de
Frontera. Preparada para
enfrentar retos profesionales,
con sólidos y modernos
conocimientos técnicos, gran
capacidad de creatividad,
adaptación, iniciativa y energía
para proponer y establecer
objetivos innovadores que
promuevan el cambio y el
crecimiento. Proactiva y con gran
facilidad para las relaciones
interpersonales.
Manuel Jesús Sánchez Chero
Universidad Nacional de
Frontera
https://orcid.org/0000-0003-164
6-3037
msanchezch@unf.edu.pe
Ingeniero de Sistemas, Magister
en docencia universitaria,
doctorado en educación,
Docente Asociado adscripto a la
Facultad de Ingeniería de
Industrias Alimentarias de la
Universidad Nacional de
Frontera, Investigador Renacyt
con registro P0011796, en el
grupo de Carlos Monge
Medrano, Nivel III. Con amplia
experiencia en publicaciones y
proyectos de investigación en el
área de Ingeniería.
Hans Himbler Minchán Velayarce
Universidad Nacional de Jaén
https://orcid.org/0000-0001-9033-9
734
hans_minchan@unj.edu.pe
Ingeniero en Industrias Alimentarias
(UNPRG), Magister en Agronegocios
(Universidad AUSTRAL), Exprofesor
de la Universidad Nacional de
Frontera, Sullana (UNF). Docente
Auxiliar adscrito a la Facultad de
Ingeniería de Industrias Alimentarias
de la Universidad Nacional de Jaén
(UNJ). Investigador principal y
coinvestigador en proyectos del
Programa Nacional de Innovación en
Pesca y Acuicultura. Con amplia
experiencia en investigación en el
área de Ciencia y Tecnología de los
Alimentos.
Juan Antonio Ticona Yujra
Universidad Nacional de Jaén
https://orcid.org/0000-0003-3348-0
621
jticonay@unj.edu.pe
Ingeniero Pesquero (UNJBG),
Magister en Gestión de la Calidad e
Inocuidad de Alimentos (UNPRG), Ex
docente de la Universidad Nacional
de Jaén, Ex docente de la
Universidad Nacional de Moquegua.
Investigador principal en proyectos
del Programa Nacional de
Innovación en Pesca y Acuicultura,
Consultor externo en empresas
privadas relacionado a ISO 9001,
ISO 22000 en alimentos y con amplia
experiencia en investigación en el
área de Ciencia y Tecnología de los
Alimentos.
Juan de Dios Mendoza Seclén
Universidad Nacional de Jaén
https://orcid.org/0000-0002-5096-4
604
juan.mendoza@unj.edu.pe
Ingeniero en Industrias Alimentarias
(UNAS), Magister en Proyectos de
Inversión (UNPRG), Ex docente de la
Universidad Nacional Pedro Ruiz
Gallo, Lambayeque. Docente
Auxiliar adscrito a la Facultad de
Ingeniería de Industrias Alimentarias
de la Universidad Nacional de Jaén
(UNJ). Con amplia experiencia en el
área de Panificación Industrial,
Ciencia y Tecnología de los
Alimentos.
José Arturo Rodríguez Kong
Universidad Señor de Sipán
https://orcid.org/0000-0002-9526-8
231
Arturokong@gmail.com
Ingeniero Industrial de la
Universidad Privada del Norte,
Maestría en Ciencias Económicas
mención en Gestión Empresarial,
estudios concluidos del Doctorado
en Administración de la Universidad
Nacional de Trujillo. Especialización
en Gestión del Talento Humano,
Diplomado en Estrategias didácticas
en la enseñanza de educación
superior en la Universidad Nacional
de Trujillo. Docente Universitario con
amplia experiencia en proyectos de
investigación y publicaciones
científicas.
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